Winkelfunktionen – Formeln, Rechenregeln und Beispiele
Sinus, Cosinus und Tangens sind wichtige Winkelfunktionen, die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck widerspiegeln. Lerne ihre Definition, Beispiele für Berechnungen und Rechenregeln kennen.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Winkelfunktionen
Das Quiz zum Thema: Winkelfunktion
Was sind die drei Winkelfunktionen?
Frage 1 von 5
Was stellt der Sinus im rechtwinkligen Dreieck dar?
Frage 2 von 5
Wie viele Winkelfunktionen gibt es?
Frage 3 von 5
Was ist der Cosinus eines Winkels?
Frage 4 von 5
Wie rechnet man mit Sinus, Cosinus und Tangens?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
Definition der Winkelfunktionen
Die Winkelfunktionen beziehen sich auf Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Wir unterscheiden die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Diese Winkelfunktionen nennen wir in der Mathematik auch trigonometrische Funktionen.
Wir betrachten dazu zunächst ein rechtwinkliges Dreieck:

Wir benennen die Seiten wie folgt:
Hypotenuse: längste Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt
Gegenkathete von : Kathete, die dem Winkel
gegenüberliegt
Ankathete von : Kathete, die an dem Winkel
anliegt
Die Winkelfunktionen stellen einfach erklärt Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dar. Wir definieren die drei Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck wie folgt:
Häufig verwenden wir für die Winkelfunktionen auch Abkürzungen.
In dem abgebildeten Dreieck ist die Seite die Gegenkathete von
, die Seite
die Ankathete von
und die Seite
die Hypotenuse.
Wir schreiben die Winkelfunktionen in diesem Dreieck dann kurz wie folgt:
Da jedem Winkel eindeutig ein Wert zugeordnet wird, sprechen wir von Winkelfunktionen. Die Seitenverhältnisse, durch die die Funktionswerte der Winkelfunktionen definiert sind, schreiben wir als Zahlen (ohne Einheit).
Beispiele für Winkelfunktionen
Wir betrachten das folgende Dreieck:

Wir wollen mithilfe der Winkelfunktionen berechnen, wie lang die Seite ist. Gegeben ist der Winkel
und die anliegende Kathete mit
. Dies ist die Ankathete des gegebenen Winkels. Gesucht ist die Hypotenuse
des rechtwinkligen Dreiecks.
Wir können die gesuchte Seite mit der Winkelfunktion Sinus berechnen, da diese die Hypotenuse, die Ankathete und den zugehörigen Winkel in Beziehung setzt:
=
Wir setzen ein:
=
Um die Seite zu berechnen, müssen wir die so aufgestellte Winkelfunktion nach
umstellen. Dazu multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit
:
=
Wir dividieren dann beide Seiten durch :
=
Wir können nun den so ermittelten Term ausrechnen. Wir verwenden dazu die im Taschenrechner aufgeführte Sinusfunktion (Taste sin) und erhalten:
Andersherum können wir mithilfe der Winkelfunktionen auch einen Winkel ermitteln. Wir betrachten dazu das folgende rechtwinklige Dreieck:

Gegeben sind die Seiten und
. Gesucht ist der Winkel
. Die beiden gegebenen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete des gesuchten Winkels. Wir verwenden die Winkelfunktion Tangens, da diese die drei Angaben in Verbindung setzt:
Wir setzen ein:
Wir berechnen das Seitenverhältnis:
Wir können nun mithilfe der im Taschenrechner gespeicherten Umkehrfunktion des Tangens (Taste tan) den Winkel selbst bestimmen:
Hinweis: Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß eingestellt ist. Das erkennst du in der Regel an einem kleinen D für „degree“ oben im Display.
Wichtige Funktionswerte von Winkelfunktionen
Für einige spezielle Winkelgrößen sind die Funktionswerte der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens leicht zu merken.
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Der Zusammenhang der Funktionswerte der Winkelfunktion in der Tabelle ergibt sich wie folgt:
Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein -Winkel ist, muss außer dem rechten Winkel der dritte Winkel aufgrund des Winkelsummensatzes
betragen. Daher gilt:
In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck gilt:
und somit:
Wir können die Winkelfunktionen auch in beliebigen Dreiecken verwenden. Dazu müssen wir den Sinussatz und Cosinussatz herleiten. Diese werden hier jedoch nicht ausgeführt.
Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis
Die oben eingeführten Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind durch die Definition am rechtwinkligen Dreieck nur für Winkelgrößen unter definiert. Um die Winkelfunktionen auf beliebige Winkelgrößen anwenden zu können, betrachten wir den Einheitskreis. Dies ist ein Kreis mit dem Radius
, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt:

Wir tragen den Radius im ersten Quadranten ein und ergänzen zu einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel . Die Hypotenuse ist hierbei gleich dem Radius
. Dadurch ergibt sich:
Der Sinus im Einheitskreis entspricht also genau der -Koordinate eines Punkts auf dem Einheitskreis. Der Cosinus entspricht genau der
-Koordinate des Punkts.
Den Tangens erhalten wir, indem wir den Radius so weit verlängern, bis die Ankathete gleich ist. Dann gilt:
Somit können wir die drei Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens nun für beliebige Winkel angeben, indem wir den Punkt gegen den Uhrzeigersinn am Einheitskreis entlanglaufen lassen. Auch hierbei können wir einige spezielle, gut einzuprägende Werte der Winkelfunktionen ableiten:
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Rechenregeln zu den Winkelfunktionen
Wenden wir in dem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis den Satz des Pythagoras an, ergibt sich:
Mittels der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens ergibt sich außerdem folgender Zusammenhang:
Häufig gestellte Fragen zu Winkelfunktionen
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