Winkelfunktionen – Formeln, Rechenregeln und Beispiele

Sinus, Cosinus und Tangens sind wichtige Winkelfunktionen, die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck widerspiegeln. Lerne ihre Definition, Beispiele für Berechnungen und Rechenregeln kennen.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Winkelfunktionen

Das Quiz zum Thema: Winkelfunktion

Was sind die drei Winkelfunktionen?

Frage 1 von 5

Was stellt der Sinus im rechtwinkligen Dreieck dar?

Frage 2 von 5

Wie viele Winkelfunktionen gibt es?

Frage 3 von 5

Was ist der Cosinus eines Winkels?

Frage 4 von 5

Wie rechnet man mit Sinus, Cosinus und Tangens?

Frage 5 von 5

Winkelfunktionen im Überblick

  • Sinus, Cosinus und Tangens sind Winkelfunktionen, auch trigonometrische Funktionen genannt.
  • Die drei Winkelfunktionen stellen Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dar.
  • Mithilfe der Winkelfunktionen können fehlende Seiten oder Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden.

Winkelfunktion: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Definition der Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen beziehen sich auf Winkel im rechtwinkligen Dreieck. Wir unterscheiden die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens. Diese Winkelfunktionen nennen wir in der Mathematik auch trigonometrische Funktionen.

Wir betrachten dazu zunächst ein rechtwinkliges Dreieck:

Ein rechtwinkliges Dreieck

Wir benennen die Seiten wie folgt:

Hypotenuse: längste Seite, die gegenüber dem rechten Winkel liegt

Gegenkathete von \alpha: Kathete, die dem Winkel \alpha gegenüberliegt

Ankathete von \alpha: Kathete, die an dem Winkel \alpha anliegt

Die Winkelfunktionen stellen einfach erklärt Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dar. Wir definieren die drei Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck wie folgt:

  • \text{Sinus von }\alpha = \sin(\alpha) =  \frac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}}
  • \text{Cosinus von }\alpha = \cos(\alpha) =  \frac{\text{Ankathete von} ~\alpha}{\text{Hypotenuse}}
  • \text{Tangens von }\alpha = \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete von} ~\alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}

Häufig verwenden wir für die Winkelfunktionen auch Abkürzungen.

In dem abgebildeten Dreieck ist die Seite a die Gegenkathete von \alpha, die Seite b die Ankathete von \alpha und die Seite c die Hypotenuse.

Wir schreiben die Winkelfunktionen in diesem Dreieck dann kurz wie folgt:

  • \sin(\alpha) = \frac{a}{c}
  • \cos(\alpha) = \frac{b}{c}
  • \tan(\alpha) = \frac{a}{b}

Da jedem Winkel eindeutig ein Wert zugeordnet wird, sprechen wir von Winkelfunktionen. Die Seitenverhältnisse, durch die die Funktionswerte der Winkelfunktionen definiert sind, schreiben wir als Zahlen (ohne Einheit).

Beispiele für Winkelfunktionen

Wir betrachten das folgende Dreieck:

Beispiel Sinus, Hypothenuse, Ankathete, Winkel

Wir wollen mithilfe der Winkelfunktionen berechnen, wie lang die Seite x ist. Gegeben ist der Winkel 58^\circ und die anliegende Kathete mit 14,5~\text{cm}. Dies ist die Ankathete des gegebenen Winkels. Gesucht ist die Hypotenuse x des rechtwinkligen Dreiecks.

Wir können die gesuchte Seite x mit der Winkelfunktion Sinus berechnen, da diese die Hypotenuse, die Ankathete und den zugehörigen Winkel in Beziehung setzt:

\text{Sinus von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}

Wir setzen ein:

\sin(58^\circ) = \frac{14,5~\text{cm}}{x}

Um die Seite x zu berechnen, müssen wir die so aufgestellte Winkelfunktion nach x umstellen. Dazu multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit x:

\sin(58^\circ) \cdot x14,5~\text{cm}

Wir dividieren dann beide Seiten durch \sin(58^\circ):

x= \frac{14,5~\text{cm}}{\sin(58^\circ)}

Wir können nun den so ermittelten Term ausrechnen. Wir verwenden dazu die im Taschenrechner aufgeführte Sinusfunktion (Taste sin) und erhalten:

x \approx 17,1~\text{cm}

Andersherum können wir mithilfe der Winkelfunktionen auch einen Winkel ermitteln. Wir betrachten dazu das folgende rechtwinklige Dreieck:

Rechtwinkliges Dreieck

Gegeben sind die Seiten a=5~\text{dm} und b=12~\text{dm}. Gesucht ist der Winkel \beta. Die beiden gegebenen Seiten sind die Ankathete und die Gegenkathete des gesuchten Winkels. Wir verwenden die Winkelfunktion Tangens, da diese die drei Angaben in Verbindung setzt:

\text{Tangens von }\beta=\frac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Ankathete von }\beta}

Wir setzen ein:

\tan(\beta)=\frac{12~\text{dm}}{5~\text{dm}}

Wir berechnen das Seitenverhältnis:

\tan(\beta)=2,4

Wir können nun mithilfe der im Taschenrechner gespeicherten Umkehrfunktion des Tangens (Taste tan^{-1}) den Winkel selbst bestimmen:

\beta\approx67,4^\circ

Hinweis: Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf das Gradmaß eingestellt ist. Das erkennst du in der Regel an einem kleinen D für „degree“ oben im Display.

Wichtige Funktionswerte von Winkelfunktionen

Für einige spezielle Winkelgrößen sind die Funktionswerte der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens leicht zu merken.

\alpha 30^\circ 45^\circ 60^\circ
\sin(\alpha) \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}
\cos(\alpha) \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2}
\tan(\alpha) \frac{1}{\sqrt{3}} 1 \sqrt{3}

Der Zusammenhang der Funktionswerte der Winkelfunktion in der Tabelle ergibt sich wie folgt:

Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein 30^\circ-Winkel ist, muss außer dem rechten Winkel der dritte Winkel aufgrund des Winkelsummensatzes 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ betragen. Daher gilt:

\sin(30^\circ) = cos(60^\circ)

\sin(60^\circ) = cos(30^\circ)

In einem gleichschenkligen rechtwinkligen Dreieck gilt:
\alpha = \beta = 45^\circ

und somit:

\sin(45^\circ) = cos(45^\circ)

Wir können die Winkelfunktionen auch in beliebigen Dreiecken verwenden. Dazu müssen wir den Sinussatz und Cosinussatz herleiten. Diese werden hier jedoch nicht ausgeführt.

Trigonometrische Funktionen am Einheitskreis

Die oben eingeführten Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind durch die Definition am rechtwinkligen Dreieck nur für Winkelgrößen unter 90^\circ definiert. Um die Winkelfunktionen auf beliebige Winkelgrößen anwenden zu können, betrachten wir den Einheitskreis. Dies ist ein Kreis mit dem Radius 1, dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt:

Einheitskreis Winkelfunktionen

Wir tragen den Radius im ersten Quadranten ein und ergänzen zu einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Winkel \alpha. Die Hypotenuse ist hierbei gleich dem Radius 1. Dadurch ergibt sich: 

\sin(\alpha) = \frac{y}{1}=y

\cos(\alpha) = \frac{x}{1}=x

Der Sinus im Einheitskreis entspricht also genau der y-Koordinate eines Punkts auf dem Einheitskreis. Der Cosinus entspricht genau der x-Koordinate des Punkts.

Den Tangens erhalten wir, indem wir den Radius so weit verlängern, bis die Ankathete gleich 1 ist. Dann gilt: \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{1}=\text{Gegenkathete}

Somit können wir die drei Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens nun für beliebige Winkel angeben, indem wir den Punkt P gegen den Uhrzeigersinn am Einheitskreis entlanglaufen lassen. Auch hierbei können wir einige spezielle, gut einzuprägende Werte der Winkelfunktionen ableiten:

\alpha 0^\circ 90^\circ 180^\circ 270^\circ
\sin(\alpha) 0 1 0 -1
\cos(\alpha) 1 0 -1 0
\tan(\alpha) 0 n. d. 0 n. d.

Rechenregeln zu den Winkelfunktionen

Wenden wir in dem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis den Satz des Pythagoras an, ergibt sich:

\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1

Mittels der Definition von Sinus, Cosinus und Tangens ergibt sich außerdem folgender Zusammenhang:

\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

Häufig gestellte Fragen zu Winkelfunktionen

Eine Winkelfunktion ist eine eindeutige Zuordnung, die einem Winkel einen bestimmten Wert zuordnet. Dabei sind die Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens als Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck wie folgt definiert:

\text{Sinus von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Kosinus von }\alpha = \frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Tangens von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}

Die drei Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens lauten:

\text{Sinus von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Kosinus von }\alpha = \frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Tangens von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}

Es gibt drei Winkelfunktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.

Die drei Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens stellen einfach erklärt Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck dar.

Wir können mit Sinus, Cosinus und Tangens rechnen, indem wir zunächst betrachten, welche Werte gegeben und gesucht sind. Wir suchen uns dann diejenige der drei folgenden Winkelfunktionen aus, die diese Größen in Beziehung setzt:

\text{Sinus von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Kosinus von }\alpha = \frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

\text{Tangens von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Ankathete von } \alpha}

Anschließend setzen wir die gegebenen Größen in die entsprechende Gleichung ein und lösen nach der gesuchten Größe auf.

Der Sinus eines Winkels ist ein Seitenverhältnis im rechtwinkligen Dreieck. Er ist definiert als:

\text{Sinus von }\alpha = \frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}

Der Sinus ist also eine Zahl (ohne Einheit).

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