Quadratische Gleichungen – Erklärung

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen mindestens eine Variable mit der Potenz vorkommt (Beispiel: ). In quadratischen Gleichungen kommen keine höheren Potenzen als (Beispiel: ) vor.

Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen haben. Die Menge der Lösungen einer quadratischen Gleichung wird Lösungsmenge genannt und geschrieben als:

• (keine Lösung),
• (eine Lösung) oder
• (zwei Lösungen).

Die unterschiedliche Anzahl der Lösungen hängt damit zusammen, dass eine quadratische Potenz vorliegt. Dabei müssen wir beim Auflösen in der Regel eine Wurzel ziehen. Beim Ziehen einer Wurzel kommen immer zwei Ergebnisse heraus:

und

Ausnahme ist die Wurzel aus null: . Steht unter der Wurzel eine Null, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung.
Zudem kann aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden. Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist dann leer:

Der Unterschied zwischen linearen und quadratischen Gleichungen ist zum einen die Potenz von und zum anderen die Anzahl der möglichen Lösungen.

Quadratische Gleichungen lassen sich in verschiedenen Formen darstellen. Die verschiedenen Formen sind unterschiedliche Schreibweisen und können jeweils ineinander umgewandelt werden.
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

Dabei sind , und Variablen, für die beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden können.

Ist , sprechen wir von der Normalform der quadratischen Gleichung. Sie wird meist folgendermaßen geschrieben:

Dabei sind und ebenfalls Variablen, für die beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden können.

Die allgemeine Form kann in die Normalform umgewandelt werden, indem der gesamte Term durch geteilt wird:

Weitere Formen sind:

• Reinquadratische Form (): mit
• Produktform:
• Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied ():

Die Lösungen quadratischer Gleichungen berechnen wir, je nach Form, in der sie gegeben sind, unterschiedlich.

Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form lösen wir mit der Mitternachtsformel (-Formel). Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in allgemeiner Form lautet:

Setzen wir für , und die entsprechenden Werte aus der Gleichung ein, dann erhalten wir die Ergebnisse und der quadratischen Gleichung.

Beispiel 1:
In dieser quadratischen Gleichung sind , und . Setzen wir diese Werte in die Mitternachtsformel ein, dann erhalten wir die folgenden Lösungen:

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:

Beispiel 2:
In dieser quadratischen Gleichung sind , und . Setzen wir diese Werte in die Mitternachtsformel ein, dann erhalten wir die folgenden Lösungen:

Da unter der Wurzel eine Null steht, erhalten wir nur eine Lösung:

Die quadratische Gleichung hat eine Lösung:

Quadratische Gleichungen in Normalform lösen wir mit der –Formel. Diese lautet:

Setzen wir für und die entsprechenden Werte aus der Gleichung ein, dann erhalten wir die Ergebnisse und der quadratischen Gleichung.

Beispiel 1:
In dieser quadratischen Gleichung sind und . Die Vorzeichen der Koeffizienten müssen immer beachtet werden. Setzen wir diese Werte in die -Formel ein, erhalten wir die Lösungen:

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:

Beispiel 2:
In dieser quadratischen Gleichung sind und . Setzen wir diese Werte in die -Formel ein, erhalten wir die Lösungen:

Da die Zahl unter der Wurzel negativ ist, besitzt diese quadratische Gleichung keine Lösung und hat eine leere Lösungsmenge:

Ist eine quadratische Gleichung in reinquadratischer Form gegeben, muss diese nur nach umgestellt werden, um die Gleichung zu lösen.

Hinweis: Es handelt sich dabei nicht unbedingt um die Wurzel aus einer negativen Zahl. Ist entweder a oder c eine negative Zahl, steht unter der Wurzel eine positive Zahl.

Beispiel:
Stellen wir diese Gleichung nach um, erhalten wir die Lösungen:

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:

Ist eine quadratische Gleichung in Punktform gegeben, besteht sie aus zwei Faktoren. Ist einer dieser beiden Faktoren null, ist die Gleichung gleich null (Satz vom Nullprodukt). Wir erhalten die Ergebnisse, indem wir schauen, was für eingesetzt werden muss, damit einer der Faktoren gleich null ist.

Beispiel:
Einer der beiden Faktoren muss null sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Daraus ergeben sich die Lösungen:

oder

Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:

Besitzt die quadratische Gleichung keine Zahl ohne , lässt sie sich durch Ausklammern lösen. Das ist der Fall, wenn (quadratische Gleichung ohne absolutes Glied). Betrachten wir die Vorgehensweise an folgendem Beispiel:

Zunächst klammern wir das aus:

Nun handelt es sich um ein Produkt. Die Gleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist (Satz vom Nullprodukt).

oder

Die erste Lösung ist . Die zweite Lösung erhalten wir durch Umformen der zweiten Gleichung:

Die zweite Lösung ist also .
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:

Neben den rechnerischen Lösungswegen gibt es auch zwei Möglichkeiten, die Lösungen näherungsweise grafisch zu bestimmen.

Für diese Methode wird die linke Seite einer quadratischen Gleichung der Form als Funktionsterm einer quadratischen Funktion angenommen. Im Anschluss wird die quadratische Funktion gezeichnet. Die Nullstellen der Funktion, die am Graphen der Funktion abgelesen werden können, entsprechen den Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel:
Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet:

Quelle sofatutor.com

Die Nullstellen der Funktionsgleichung liegen bei und .
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:

Eine zweite Möglichkeit ist es, die Gleichung so umzustellen, dass allein auf einer Seite der Gleichung steht. Im Anschluss werden beide Seiten der Gleichung als Funktionsterme aufgefasst. Dann werden die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Bei der quadratischen Funktion handelt es sich dabei immer um eine Normalparabel. Die Schnittpunkte der beiden Funktionen entsprechen den Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel:
Zunächst stellen wir die Gleichung so um, dass allein steht.

Die beiden Terme werden nun als Funktionsterme eingesetzt:

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die -Werte der Schnittpunkte dieser beiden Funktionen. Also zeichnen wir die Funktionen in ein Koordinatensystem ein und lesen die Schnittpunkte ab:

Die Schnittpunkte liegen bei und .
Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist somit:

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

Lösung Aufgabe 1:
Die quadratische Gleichung ist in Normalform gegeben. Um sie zu lösen, kann die -Formel angewendet werden. In der Gleichung sind und .

Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ, also existieren keine Lösungen für diese quadratische Gleichung. Die Lösungsmenge ist leer:

Lösung Aufgabe 2:
Die quadratische Gleichung ist in der allgemeinen Form gegeben. Um sie zu lösen, kann die Mitternachtsformel angewendet werden. In der Gleichung sind , und .

Diese quadratische Gleichung besitzt nur eine Lösung . Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:

Lösung Aufgabe 3:
Die Gleichung besitzt kein absolutes Glied, kann also durch Ausklammern gelöst werden.

Einer der beiden Faktoren muss null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:

Lösung Aufgabe 4:
Die Gleichung ist in reinquadratischer Form gegeben, kann also durch Umformung gelöst werden.

Die Lösungsmenge lautet:

Aufgabe 1
Berechne die Seitenlängen eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt , wenn die Seite doppelt so lang ist wie die Seite .

Lösung Aufgabe 1
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit der Formel . Wir wissen und . Beide Informationen können wir in die Gleichung einsetzen:

Um die Seitenlänge zu erhalten, müssen wir diese quadratische Gleichung nach umstellen:

Bei Anwendungsaufgaben muss immer geschaut werden, wie sinnvoll ein Ergebnis ist. Da die Seitenlänge nicht negativ sein kann, ist nur realistisch. Mit kann nun berechnet werden:

Antwortsatz: Das Rechteck hat die Seitenlängen und .

Aufgabe 2
Emmas Zimmer ist groß und hat eine rechteckige Form. Eine Seite des Zimmers ist zwei Meter länger als die andere Seite. Bestimme die Länge der beiden Seiten!

Lösung Aufgabe 2
Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet: . Wir wissen, dass das Zimmer eine Fläche von hat, diesen Wert können wir für in die Formel einsetzen. Außerdem ist eine Seite zwei Meter länger als die andere. Wir können also sagen: . Wir erhalten die Formel:

Aufgrund der Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten bei der Berechnung weg. Sowohl als auch haben die Einheit . Diese darf am Ende bei der Antwort nicht vergessen werden.

Um die Gleichung zu lösen, nutzen wir die -Formel. Dafür muss die Gleichung so umgestellt werden, dass auf einer Seite null steht:

Somit sind und . Nun kann die Gleichung mit der -Formel gelöst werden:

Auch hier ist nur eine sinnvolle Lösung, weil eine Zimmerseite keine negative Länge haben kann. Da wir wissen, dass die Seite um länger ist, ist .

Probe:

Antwortsatz: Das Zimmer hat die Seitenlängen und .