Quadratische Gleichungen im Überblick

  • In quadratischen Gleichungen kommt mindestens eine Variable mit der Potenz 2 vor. Gleichzeitig ist 2 die größte Potenz, die in quadratischen Gleichungen auftritt.
  • Quadratische Gleichungen lassen sich in verschiedenen Formen darstellen.
  • Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet:
    ax^2 + bx + c = 0

  • Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen haben.
Quadratische Gleichungen: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Quadratische Gleichungen Definition

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen mindestens eine Variable mit der Potenz 2 vorkommt (Beispiel: x^2). In quadratischen Gleichungen kommen keine höheren Potenzen als 2 (Beispiel: x^3) vor.

Quadratische Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen haben. Die Menge der Lösungen einer quadratischen Gleichung wird Lösungsmenge \mathbb{L} genannt und geschrieben als:

  • \mathbb{L} = \{ ~ \} (keine Lösung),
  • \mathbb{L} = \{x_0 \} (eine Lösung) oder
  • \mathbb{L} = \{x_1;~ x_2 \} (zwei Lösungen).

Die unterschiedliche Anzahl der Lösungen hängt damit zusammen, dass eine quadratische Potenz vorliegt. Dabei müssen wir beim Auflösen in der Regel eine Wurzel ziehen. Beim Ziehen einer Wurzel kommen immer zwei Ergebnisse heraus:

\sqrt{9} = 3~ und ~\sqrt{9} = -3

Ausnahme ist die Wurzel aus null: \sqrt{0} = 0. Steht unter der Wurzel eine Null, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung.
Zudem kann aus negativen Zahlen keine Wurzel gezogen werden. Steht unter der Wurzel eine negative Zahl, hat die quadratische Gleichung keine Lösung. Die Lösungsmenge ist dann leer:

x = \sqrt{-9} \quad \Rightarrow \quad \mathbb{L} = \{ ~ \}

Der Unterschied zwischen linearen und quadratischen Gleichungen ist zum einen die Potenz von x und zum anderen die Anzahl der möglichen Lösungen.

Quadratische Gleichungen – Formen

Quadratische Gleichungen lassen sich in verschiedenen Formen darstellen. Die verschiedenen Formen sind unterschiedliche Schreibweisen und können jeweils ineinander umgewandelt werden.
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

ax^2 + bx + c = 0

Dabei sind a \neq 0, b und c Variablen, für die beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden können.

Ist a = 1, sprechen wir von der Normalform der quadratischen Gleichung. Sie wird meist folgendermaßen geschrieben:

x^2 + px + q = 0

Dabei sind p und q ebenfalls Variablen, für die beliebige reelle Zahlen eingesetzt werden können.

Die allgemeine Form kann in die Normalform umgewandelt werden, indem der gesamte Term durch a geteilt wird:

ax^2 + bx + c = 0
x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = x^2 + px + q = 0

Weitere Formen sind:

  • Reinquadratische Form (b=0): ax^2 + c = 0 mit a \neq 0
  • Produktform: (x-d) cdot (x-e) = 0
  • Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied (c=0): ax^2 + bx = 0

Quadratische Gleichungen lösen

Die Lösungen quadratischer Gleichungen berechnen wir, je nach Form, in der sie gegeben sind, unterschiedlich.

Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form lösen

Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form lösen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel). Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in allgemeiner Form lautet:

x_{1,~2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Setzen wir für a, b und c die entsprechenden Werte aus der Gleichung ein, dann erhalten wir die Ergebnisse x_1 und x_2 der quadratischen Gleichung.

Beispiel 1: 3x^2 + 9x + 6 = 0
In dieser quadratischen Gleichung sind a=3, b=9 und c=6. Setzen wir diese Werte in die Mitternachtsformel ein, dann erhalten wir die folgenden Lösungen:

x_{1,~2} = \dfrac{-9 \pm \sqrt{9^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} = \dfrac{-9 \pm \sqrt{9}}{6}

x_1 = \dfrac{-9 + \sqrt{9}}{6} = \dfrac{-9 + 3}{6} = -1
x_2 = \dfrac{-9 - \sqrt{9}}{6} = \dfrac{-9 - 3}{6} = -2

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:
\mathbb{L} = \{-1; ~-2 \}

Beispiel 2: -3x^2 - 6x - 3 = 0
In dieser quadratischen Gleichung sind a=-3, b=-6 und c=-3. Setzen wir diese Werte in die Mitternachtsformel ein, dann erhalten wir die folgenden Lösungen:

x_{1,~2} = \dfrac{- (-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot (-3) \cdot (-3)}}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{6 \pm \sqrt{0}}{-6}

Da unter der Wurzel eine Null steht, erhalten wir nur eine Lösung:

x_0 = \dfrac{6}{-6} = -1

Die quadratische Gleichung hat eine Lösung:
\mathbb{L} = \{-1 \}

Quadratische Gleichungen in Normalform lösen

Quadratische Gleichungen in Normalform lösen wir mit der pqFormel. Diese lautet:

x_{1,~2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}

Setzen wir für p und q die entsprechenden Werte aus der Gleichung ein, dann erhalten wir die Ergebnisse x_1 und x_2 der quadratischen Gleichung.

Beispiel 1: x^2 + 8x - 9 = 0
In dieser quadratischen Gleichung sind p=8 und q=-9. Die Vorzeichen der Koeffizienten müssen immer beachtet werden. Setzen wir diese Werte in die pq-Formel ein, erhalten wir die Lösungen:

x_{1,~2} = - \dfrac{8}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2 - (-9)} = - 4 \pm \sqrt{25}

x_1 = - 4 + \sqrt{25} = - 4 + 5 = 1
x_2 = - 4 - \sqrt{25} = - 4 - 5 = -9

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:
\mathbb{L} = \{-9;~ 1 \}

Beispiel 2: x^2 - 2x + 6 = 0
In dieser quadratischen Gleichung sind p=-2 und q=6. Setzen wir diese Werte in die pq-Formel ein, erhalten wir die Lösungen:

x_{1,~2} = - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 - 6} = 1 \pm \sqrt{-5}

Da die Zahl unter der Wurzel negativ ist, besitzt diese quadratische Gleichung keine Lösung und hat eine leere Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{ ~ \}

Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form lösen

Ist eine quadratische Gleichung in reinquadratischer Form gegeben, muss diese nur nach x umgestellt werden, um die Gleichung zu lösen.

\begin{array}{rcll} ax^2 + c & = & 0 & \vert - c \\ ax^2 & = & -c & \vert : a \\ x^2 & = & - \dfrac{c}{a} & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,~2} & = & \pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}} & \\ \end{array}

Hinweis: Es handelt sich dabei nicht unbedingt um die Wurzel aus einer negativen Zahl. Ist entweder a oder c eine negative Zahl, steht unter der Wurzel eine positive Zahl.

Beispiel: 2x^2 - 18 = 0
Stellen wir diese Gleichung nach x um, erhalten wir die Lösungen:

\begin{array}{rcll} 2x^2 -18 & = & 0 & \vert +18 \\ 2x^2 & = & 18 & \vert : 2 \\ x^2 & = & 9 & \vert \sqrt{~} \\ x_{1,~2} & = & \pm \sqrt{9} & \\ \end{array}

x_1 = 3
x_2 = -3

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:
\mathbb{L} = \{-3; ~3 \}

Quadratische Gleichungen in Punktform lösen

Ist eine quadratische Gleichung in Punktform gegeben, besteht sie aus zwei Faktoren. Ist einer dieser beiden Faktoren null, ist die Gleichung gleich null (Satz vom Nullprodukt). Wir erhalten die Ergebnisse, indem wir schauen, was für x eingesetzt werden muss, damit einer der Faktoren gleich null ist.

Beispiel: (x+3) \cdot (3x - 6) = 0
Einer der beiden Faktoren muss null sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Daraus ergeben sich die Lösungen:

(x + 3) = 0 ~ \Rightarrow ~ x_1 = -3 oder
(3x - 6) = 0 ~ \Rightarrow ~ x_2 = 2

Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:
\mathbb{L} = \{-3; ~2 \}

Quadratische Gleichungen lösen Ausklammern

Besitzt die quadratische Gleichung keine Zahl ohne x, lässt sie sich durch Ausklammern lösen. Das ist der Fall, wenn c = 0 (quadratische Gleichung ohne absolutes Glied). Betrachten wir die Vorgehensweise an folgendem Beispiel:

x^2 + 3x = 0

Zunächst klammern wir das x aus:

x \cdot (x + 3) = 0

Nun handelt es sich um ein Produkt. Die Gleichung ist dann erfüllt, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist (Satz vom Nullprodukt).

x_1 = 0 oder
x_2 + 3 = 0

Die erste Lösung ist x_1 = 0. Die zweite Lösung erhalten wir durch Umformen der zweiten Gleichung:

x_2 + 3 = 0 ~ \Leftrightarrow ~ x_2 = -3

Die zweite Lösung ist also x_2 = -3.
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{-3; ~0 \}

Quadratische Gleichungen grafisch lösen

Neben den rechnerischen Lösungswegen gibt es auch zwei Möglichkeiten, die Lösungen näherungsweise grafisch zu bestimmen.

Lösungen mithilfe der Nullstellen ermitteln

Für diese Methode wird die linke Seite einer quadratischen Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 als Funktionsterm einer quadratischen Funktion angenommen. Im Anschluss wird die quadratische Funktion gezeichnet. Die Nullstellen der Funktion, die am Graphen der Funktion abgelesen werden können, entsprechen den Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel: 2x^2 - 2x - 1,\!5 = 0
Die dazugehörige Funktionsgleichung lautet: f(x) = 2x^2 - 2x - 1,5

quadratische Gleichung graphisch lösen

Quelle sofatutor.com

Die Nullstellen der Funktionsgleichung liegen bei x_1=-0,\!5 und x_2=1,\!5.
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:
\mathbb{L} = \{-0,\!5;~ 1,\!5 \}

Lösungen über Schnittpunkte ermitteln

Eine zweite Möglichkeit ist es, die Gleichung so umzustellen, dass x^2 allein auf einer Seite der Gleichung steht. Im Anschluss werden beide Seiten der Gleichung als Funktionsterme aufgefasst. Dann werden die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet. Bei der quadratischen Funktion handelt es sich dabei immer um eine Normalparabel. Die Schnittpunkte der beiden Funktionen entsprechen den Lösungen der quadratischen Gleichung.

Beispiel: 2x^2 - 2x - 1,\!5 = 0
Zunächst stellen wir die Gleichung so um, dass x^2 allein steht.

\begin{array}{rcll} 2x^2 - 2x - 1,\!5 & = & 0 & \vert +2x ~ \vert +1,\!5 \\ 2x^2 & = & 2x + 1,5 & \vert : 2 \\ x^2 & = & x + 0,\!75 & \\ \end{array}

Die beiden Terme werden nun als Funktionsterme eingesetzt:

f(x) = x^2
g(x) = x +0,75

Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die x-Werte der Schnittpunkte dieser beiden Funktionen. Also zeichnen wir die Funktionen in ein Koordinatensystem ein und lesen die Schnittpunkte ab:

quadratische Gleichung zeicherisch lösen

Die Schnittpunkte liegen bei x_1=-0,\!5 und x_2=1,\!5.
Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist somit:
\mathbb{L} = \{-0,\!5;~ 1\!,5 \}

Quadratische Gleichungen Aufgaben

Bestimme die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen:

x^2 + 2x + 2 = 0
2x^2 + 4x + 2 = 0
3x^2 + 6x = 0
x^2 - 4 = 0

Lösung Aufgabe 1: x^2 + 2x + 2 = 0
Die quadratische Gleichung x^2 + 2x + 2 = 0 ist in Normalform gegeben. Um sie zu lösen, kann die pq-Formel angewendet werden. In der Gleichung sind p=2 und q=2.

x_{1,~2} = - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2 - 2} = -1 \pm \sqrt{-1}

Der Ausdruck unter der Wurzel ist negativ, also existieren keine Lösungen für diese quadratische Gleichung. Die Lösungsmenge ist leer:
\mathbb{L} = \{ ~ \}

Lösung Aufgabe 2: 2x^2 + 4x + 2 = 0
Die quadratische Gleichung 2x^2 + 4x + 2 = 0 ist in der allgemeinen Form gegeben. Um sie zu lösen, kann die Mitternachtsformel angewendet werden. In der Gleichung sind a=2, b=4 und c=2.

x_{1,~2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{0}}{4}
x=\dfrac{-4}{4} = -1

Diese quadratische Gleichung besitzt nur eine Lösung x=-1. Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung ist:
\mathbb{L}= \{-1 \}

Lösung Aufgabe 3: 3x^2 + 6x = 0
Die Gleichung 3x^2 + 6x = 0 besitzt kein absolutes Glied, kann also durch Ausklammern gelöst werden.

3x^2 + 6x = 0
x \cdot (3x + 6) = 0

Einer der beiden Faktoren muss null sein, damit die Gleichung erfüllt ist.

x_1 = 0
(3x_2 + 6) = 0 ~ \Leftrightarrow ~ x_2 = -2

Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen:
\mathbb{L} = \{-2; ~0 \}

Lösung Aufgabe 4: x^2 - 4 = 0
Die Gleichung x^2 - 4 = 0 ist in reinquadratischer Form gegeben, kann also durch Umformung gelöst werden.

\begin{array}{rcll} x^2 - 4 & = & 0 & \vert +4 \\ x^2 & = & 4 & \vert \sqrt \\ x_{1,~2} & = & \pm \sqrt{4} & \\ \end{array}

x_1 = 2
x_2 = -2

Die Lösungsmenge lautet:
\mathbb{L} = \{-2; ~2\}

Quadratische Gleichungen Textaufgaben

Aufgabe 1
Berechne die Seitenlängen eines Rechtecks mit dem Flächeninhalt 50~\text{cm}^2, wenn die Seite a doppelt so lang ist wie die Seite b.

Lösung Aufgabe 1
Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich mit der Formel A = a \cdot b. Wir wissen a = 2 \cdot b und A = 50~\text{cm}^2. Beide Informationen können wir in die Gleichung einsetzen:

50~\text{cm}^2 = 2 \cdot b \cdot b = 2 \cdot b^2

Um die Seitenlänge b zu erhalten, müssen wir diese quadratische Gleichung nach b umstellen:

\begin{array}{rcll} 50~\text{cm}^2 & = & 2 \cdot b^2 & \vert :2\\ 25~\text{cm}^2 & = & b^2 & \vert \sqrt \\ \pm \sqrt{25~\text{cm}^2} & = & b & \\ \end{array}

\Rightarrow b_1 = 5~\text{cm} ; b_2 = -5~\text{cm}

Bei Anwendungsaufgaben muss immer geschaut werden, wie sinnvoll ein Ergebnis ist. Da die Seitenlänge nicht negativ sein kann, ist nur b_1 realistisch. Mit b_1 kann nun a berechnet werden:

a = 2 \cdot b = 10~\text{cm}

Antwortsatz: Das Rechteck hat die Seitenlängen a=10~\text{cm} und b=5~\text{cm}.

Aufgabe 2
Emmas Zimmer ist 24~\text{m}^2 groß und hat eine rechteckige Form. Eine Seite des Zimmers ist zwei Meter länger als die andere Seite. Bestimme die Länge der beiden Seiten!

Lösung Aufgabe 2
Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet: A = a \cdot b. Wir wissen, dass das Zimmer eine Fläche von 24~\text{m}^2 hat, diesen Wert können wir für A in die Formel einsetzen. Außerdem ist eine Seite zwei Meter länger als die andere. Wir können also sagen: a = b + 2. Wir erhalten die Formel:

24 = (b + 2) \cdot b = b^2 + 2b

Aufgrund der Übersichtlichkeit lassen wir die Einheiten bei der Berechnung weg. Sowohl a als auch b haben die Einheit \text{m}. Diese darf am Ende bei der Antwort nicht vergessen werden.

Um die Gleichung zu lösen, nutzen wir die pq-Formel. Dafür muss die Gleichung so umgestellt werden, dass auf einer Seite null steht:

\begin{array}{rcll} 24 & = & b^2 + 2b & \vert -24\\ 0 & = &b^2 + 2b - 24 & \\ \end{array}

Somit sind p=2 und q=-24. Nun kann die Gleichung mit der pq-Formel gelöst werden:

b_{1,~2} = - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2 - (-24)} = - 1 \pm \sqrt{25}

b_1 = -1 + \sqrt{25} = 4
b_2 = -1 - \sqrt{25} = -6

Auch hier ist nur b_1 eine sinnvolle Lösung, weil eine Zimmerseite keine negative Länge haben kann. Da wir wissen, dass die Seite a um 2~\text{m} länger ist, ist a=6~\text{m}.

Probe: a \cdot b = 6~\text{m} \cdot 4~\text{m} = 24~\text{m}^2

Antwortsatz: Das Zimmer hat die Seitenlängen a=6~\text{m} und b=4~\text{m}.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen mindestens ein x mit der Potenz 2 enthalten ist. Zudem ist die 2 die höchste Potenz, die in quadratischen Gleichungen vorkommt.

Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet: ax^2 + bx + c = 0 wobei a \neq 0. Neben der allgemeinen Form gibt es noch weitere Formen, in denen quadratische Gleichungen vorkommen können, zum Beispiel die Normalform, die reinquadratische Form oder die Punktform.

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form ist die Mitternachtsformel:
x_{1,~2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform ist die pq-Formel:
x_{1,~2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 - q}
Quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied können durch Ausklammern gelöst werden. Sind quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form gegeben, kann die Gleichung direkt durch Umstellen nach x gelöst werden.

Die Lösungen quadratischer Gleichungen werden je nach Form, in der die quadratische Gleichung gegeben ist, unterschiedlich berechnet. Für die allgemeine Form nutzen wir die Mitternachtsformel, für die Normalform die pq-Formel, reinquadratische Gleichungen können einfach nach x umgestellt werden, während quadratische Gleichungen ohne absolutes Glied durch Ausklammern gelöst werden können.

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