Brüche kürzen und erweitern – Erklärung und Beispiele

Erfahre, wie man Brüche durch Kürzen und Erweitern anpasst, ohne ihren Wert zu verändern. Entdecke Regeln, Beispiele und den Mehrwert des Erweiterns bei der Bruchrechnung.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Erweitern und Kürzen von Brüchen

Das Quiz zum Thema: Brüche Kürzen und Brüche Erweitern

Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Frage 1 von 5

Wann dürfen Brüche gekürzt werden?

Frage 2 von 5

Wie wird ein Bruch erweitert?

Frage 3 von 5

Warum ist es wichtig, Brüche zu kürzen?

Frage 4 von 5

Wie erweitert man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?

Frage 5 von 5

Erweitern und Kürzen von Brüchen im Überblick

  • Durch Erweitern und Kürzen können Zähler und Nenner eines Bruchs verändert werden, ohne dabei den Wert des Bruchs zu ändern.

  • Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche Zahl dividiert.

  • Beim Erweitern werden Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert.

  • Das Erweitern von Brüchen ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Addition und Subtraktion von Brüchen.
Brüche kürzen und Brüche erweitern: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Brüche kürzen und erweitern einfach erklärt

Beim Rechnen mit Brüchen kann es hilfreich oder sogar erforderlich sein, den Nenner eines Bruchs zu ändern. Das Kürzen und Erweitern von Brüchen sind Möglichkeiten, den Nenner eines Bruchs anzupassen, ohne dabei den Wert des Bruchs zu verändern. Dazu werden Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl dividiert.

Brüche kürzen – Erklärung

In Mathe wird ein Bruch gekürzt, indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden. Anschaulich entspricht dies dem Zusammenfassen mehrerer gleicher Anteile zu einem größeren Anteil.

Brüche kürzen Erklärung

Hier siehst du links, dass 3 von 12 Teilen rot gefärbt sind, das sind \frac{3}{12}. Indem wir je 3 Teile zusammenfassen, erhalten wir auf der rechten Seite 1 von 4 Teilen, also \frac{1}{4}.

Wir schreiben:
\dfrac{3}{12} = \dfrac{3 : 3}{12 : 3} = \dfrac{1}{4}

Die Zahl, durch die Zähler und Nenner dividiert werden, heißt Kürzungszahl.

Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs einen gemeinsamen Faktor enthalten, kann der Bruch gekürzt werden, indem wir beide Zahlen durch diesen Faktor teilen. Oft wird das auch durch Wegstreichen des Faktors dargestellt:

\dfrac{10}{15} = \dfrac{2 \cdot \not{5}}{3 \cdot \not{5}} = \dfrac{2}{3}

Ein Bruch kann so lange gekürzt werden, bis Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren mehr haben. Wurde ein Bruch so weit wie möglich gekürzt, sagen wir auch: Der Bruch ist vollständig gekürzt.

Brüche kürzen – Regeln und Beispiele

In der folgenden Tabelle sind einige typische Beispiele zum Kürzen von Brüchen und die entsprechenden Regeln zusammengefasst.

Beschreibung Beispiele Regeln
hohe Brüche kürzen \frac{90}{102}
\text{ggT}(90, 102) = 6
\frac{90 : 6}{102 : 6} = \frac{15}{17}
\frac{130}{390} = \frac{130 : 10}{390 : 10} = \frac{13 : 13}{39 : 13} = \frac{1}{3}
\frac{1155}{1260} = \frac{\not{3} \cdot \not{5} \cdot \not{7} \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot \not{5} \cdot \not{7}} = \frac{11}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{11}{12}		 Um einen Bruch vollständig zu kürzen, werden Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler, kurz \text{ggT}, geteilt. Es ist auch möglich, die Brüche schrittweise zu kürzen oder Zähler und Nenner als Produkt aus Primfaktoren zu schreiben.
zwei Brüche kürzen \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\not{5}}{2 \cdot \not{3}} \cdot \frac{\not{3}}{\not{5}} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} Bei der Multiplikation von Brüchen kann auch über Kreuz gekürzt werden.
Brüche mit Summen kürzen \frac{3x + 6}{9} = \frac{3 \cdot (x + 2)}{3 \cdot 3} = \frac{\not{3} \cdot (x + 2)}{\not{3} \cdot 3} =\frac{x + 2}{3} Steht im Zähler oder Nenner eines Bruchs eine Summe, dann kann nur gekürzt werden, wenn der Term zuvor, zum Beispiel durch Ausklammern, als Produkt geschrieben wird.
Brüche mit Variablen kürzen \frac{y^2x^3}{y^3x} = \frac{\not{y} \cdot \not{y} \cdot \not{x} \cdot x \cdot x}{\not{y} \cdot \not{y} \cdot y \cdot \not{x}} = \frac{x^2}{y} Auch Variablen wie x oder y können aus Brüchen gekürzt werden.

Brüche erweitern – Erklärung

In Mathe wird ein Bruch erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden. Anschaulich entspricht dies dem gleichmäßigen Unterteilen jedes Anteils.

Brüche erweitern Erklärung

Oben siehst du, dass 5 von 12 Teilen blau und 7 von 12 Teilen grün gefärbt sind, das sind \frac{5}{12} blau und \frac{7}{12} grün. Indem wir jeden Teil in 3 kleinere Teile unterteilen, erhalten wir unten 15 blaue und 21 grüne Teile, bei insgesamt 36 Teilen. Es sind also \frac{15}{36} blau und \frac{21}{36} grün.

Wir schreiben:

  • \dfrac{5}{12} = \dfrac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{15}{36}
  • \dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \dfrac{21}{36}

Die Zahl, mit der Zähler und Nenner multipliziert werden, heißt Erweiterungszahl.

Da sich nach der Definition durch das Erweitern eines Bruchs sein Wert nicht ändert, erhalten wir einen gleichwertigen Bruch mit einem größeren Nenner.

Brüche erweitern – Regeln und Beispiele

In der folgenden Tabelle sind einige typische Beispiele zum Erweitern von Brüchen und die entsprechenden Regeln zusammengefasst.

Beschreibung Beispiele Regeln
Brüche erweitern mit 2 oder 4 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10}
\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}
\frac{3x + 2}{x - 1} = \frac{(3x + 2) \cdot 2}{(x - 1) \cdot 2} = \frac{6x + 2}{2x - 2}		 Zähler und Nenner des Bruchs werden mit der gleichen Zahl, zum Beispiel 2 oder 4, multipliziert. Werden komplizierte Brüche, deren Zähler und Nenner Summen oder Differenzen enthalten, erweitert, müssen wir Klammern setzen.
Brüche erweitern auf 100 \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{20}{100} = 0,20
\frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{175}{100} = 1,75		 Brüche mit Nenner 2, 4, 5, 10, 20, 25 oder 50 können auf den Nenner 100 erweitert und dann direkt als Dezimalbruch geschrieben werden.
gemischte Brüche erweitern 3\frac{5}{7} = 3\frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 3\frac{25}{35} = \frac{3 \cdot 35 + 25}{35} = \frac{130}{35} = \frac{(3 \cdot 7 + 5) \cdot 5}{7 \cdot 5} Bei einer gemischten Zahl kann der Bruch erweitert werden, die ganze Zahl bleibt dabei stehen.
Brüche mit Variablen erweitern \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot x}{5 \cdot x} = \frac{3x}{5x} Brüche können auch mit Variablen erweitert werden, indem diese im Zähler und Nenner als Faktor ergänzt werden.
Brüche mit Minus erweitern \frac{4}{11} = \frac{4 \cdot (-1)}{11 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-11} Brüche können mit negativen Zahlen erweitert werden, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Brüche erweitern – Hauptnenner

Das Erweitern von Brüchen spielt bei der Addition von Brüchen eine wichtige Rolle. Vor dem Addieren müssen die Brüche gleichnamig gemacht werden, das bedeutet, die Brüche müssen den gleichen Nenner haben. Dafür wird das kleinste gemeinsame Vielfache, kurz \text{kgV}, der Nenner der beiden Brüche benötigt. Die Brüche werden so erweitert, dass im Nenner bei beiden dieses kleinste gemeinsame Vielfache, das auch Hauptnenner genannt wird, steht.
Beispiel: \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{3}{18} + \frac{4}{18} = \frac{3 + 4}{18} = \frac{7}{18}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Erweitern und Kürzen von Brüchen

Erweitern und Kürzen von Brüchen sind Methoden, Zähler und Nenner eines Bruchs so zu verändern, dass der Wert des Bruchs unverändert bleibt.

Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden, und gekürzt, indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert werden.

Als Kürzen eines Bruchs wird bezeichnet, wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch die gleiche Zahl geteilt werden.

Ein Bruch wird gekürzt, indem Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl geteilt werden.
Beispiel: \frac{2}{4} = \frac{2 : 2}{4 : 2} = \frac{1}{2}

Werden zwei Brüche miteinander multipliziert, können sie auch über Kreuz gekürzt werden.

Das Kürzen von Brüchen ist erlaubt, wenn im Zähler und Nenner eines Bruchs ein gemeinsamer Faktor vorkommt.

Um Brüche zu kürzen, müssen gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner gefunden werden. Dabei kann zum Beispiel eine Primfaktorzerlegung oder die Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner helfen.

Bei gemischten Brüchen kann im Bruch wie gewohnt gekürzt werden. Der ganzzahlige Teil bleibt dabei unverändert.
Beispiel: 2\frac{4}{6} = 2\frac{4 : 2}{6 : 2} = 2\frac{2}{3}

Beim Kürzen von Brüchen mit großen Zahlen im Zähler und Nenner gelten die gleichen Regeln wie bei allen Brüchen.

Brüche, bei denen im Zähler oder Nenner eine Summe steht, können nicht ohne Weiteres gekürzt werden. Soll bei einem solchen Bruch gekürzt werden, dann müssen wir den Term zunächst faktorisieren, das heißt als Produkt schreiben. 

Werden Brüche nicht multipliziert, sondern addiert, dann dürfen diese untereinander nicht gekürzt werden. Die einzelnen Brüche können nur separat gekürzt werden. Beim Ergebnis der Addition darf dann gekürzt werden.

Durch das Kürzen von Brüchen werden sehr große Zahlen im Zähler und Nenner von Brüchen vermieden. Die vollständig gekürzte Form ist außerdem eine eindeutige Darstellungsweise für Brüche. 

Bei einer Multiplikation von Brüchen können die Brüche zunächst auf einen Bruchstrich geschrieben werden. Dabei steht im Zähler das Produkt der Zähler und im Nenner das Produkt der Nenner. Vor dem Ausmultiplizieren kann hier gekürzt werden.

Als Erweitern von Brüchen wird die Multiplikation mit der gleichen Zahl in Zähler und Nenner eines Bruchs bezeichnet. Dadurch bleibt der Wert des Bruchs unverändert.

Ein Bruch wird erweitert, indem Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert werden.

Brüche werden beispielsweise erweitert, um sie für die Addition gleichnamig zu machen, um sie besser vergleichen zu können oder um sie als Dezimalbruch zu schreiben.

Zwei Brüche können auf einen gemeinsamen Nenner erweitert werden, indem jeder Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitert wird oder indem der kleinste gemeinsame Nenner gefunden wird.

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