Ausklammern und Ausmultiplizieren – Erklärung, Beispiele und Anwendung

Das Ausklammern und das Ausmultiplizieren sind Methoden in der Mathematik, um Terme umzuformen. Beim Ausklammern wird der Term als Produkt geschrieben, beim Ausmultiplizieren werden Klammern aufgelöst.

Das Ausklammern ist in Mathe eine Methode, um Terme als Produkt zu schreiben. Der Name Ausklammern kommt daher, dass ein Faktor beim Ausklammern in Klammern gesetzt wird.
Betrachten wir den folgenden Term:

Wir untersuchen die beiden Summanden auf einen gemeinsamen Teiler. In unserem Fall sind die Summanden und beide durch teilbar. Dieser gemeinsame Teiler ist dann einer der beiden Faktoren des Produkts.
Der andere Faktor ist eine Summe, die in Klammern steht. Wir erhalten die beiden Summanden in der Klammer, indem wir die ursprünglichen Summanden durch den ausgeklammerten Faktor teilen:
und
Wir können den Term wie folgt ausklammern:

Beim Ausklammern schreiben wir also eine Summe als Produkt um.

Das Ausmultiplizieren ist das Gegenteil des Ausklammerns.
Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt, bei dem einer der Faktoren eine Summe in Klammern ist, als Summe umgeschrieben. Dazu müssen wir die Summe ausmultiplizieren.
Betrachten wir den folgenden Term:

Um die Klammer aufzulösen, müssen wir das Distributivgesetz anwenden. Dies besagt, dass wir den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden multiplizieren müssen. Wir sprechen dann auch davon, dass wir die Klammer ausmultiplizieren. Es ergibt sich:

Wenn wir hier ausmultiplizieren und zusammenfassen, erhalten wir:

Wir können das Ausklammern in unterschiedlichen Zusammenhängen anwenden. Dazu betrachten wir einige Beispiele:

Wir betrachten das folgende Beispiel:

Der größte gemeinsame Teiler von und ist . Diesen können wir aus der Summe ausklammern und erhalten ein Produkt:

Auch bei der Anwendung der binomischen Formeln schreiben wir eine Summe als Produkt. Dabei stehen beide Faktoren in Klammern. Hier einige Beispiele dazu:

Beim Ausklammern mit Brüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Ausklammern mit ganzen Zahlen oder Variablen. Wir betrachten dazu folgendes Beispiel:

Der größte gemeinsame Teiler ist in diesem Fall . Wir klammern diesen Bruch aus. In die Klammer schreiben wir die drei Summanden, die wir durch teilen:

Wir können auch Potenzen ausklammern, wie in folgendem Beispiel:

Beim Ausklammern von Potenzen verwenden wir die Potenzregel zum Multiplizieren und Dividieren:

Beim Ausmultiplizieren können unterschiedliche mathematische Ausdrücke auftauchen. Wir betrachten dazu einige Beispiele.

Wir betrachten das folgende Beispiel:

Beim Ausmultiplizieren der Klammer müssen wir jeden der drei Summanden mit multiplizieren. Die Wurzel behandeln wir beim Ausmultiplizieren wie jeden anderen Term auch.

Zuletzt können wir den Term noch zusammenfassen und erhalten:

Wir können die Regeln zum Ausmultiplizieren auch anwenden, wenn der Term Brüche enthält:

Beim Ausmultiplizieren können auch die binomischen Formeln helfen, wie in folgendem Beispiel:

Hier wurde die dritte binomische Formel angewendet. Die Klammer kann damit direkt aufgelöst werden, ohne die Summanden einzeln miteinander zu multiplizieren und dann zusammenzufassen.

Wir können auch zwei oder mehr Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen. Dazu verwenden wir die Definition des Ausmultiplizierens: Wir multiplizieren jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer:

Beim Umgang mit Funktionstermen können das Ausklammern und das Ausmultiplizieren sehr nützlich sein.
Durch das gezielte Ausklammern können wir Nullstellen einer Funktion bestimmen. Wir betrachten die Funktionsgleichung

Wir können in der Funktion ausklammern und erhalten:

Wir haben nun den Funktionsterm als Produkt geschrieben. Durch das Ausklammern haben wir ihn also faktorisiert. Um die Nullstellen der Funktion zu ermitteln, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen:

Um die Nullstellen der quadratischen Gleichung nach dem Ausklammern zu bestimmen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist, daher können wir nun die Nullstellen der Funktion ganz einfach bestimmen:
Eine Nullstelle ergibt sich, wenn der erste Faktor gleich null ist, also:

Um die andere Nullstelle zu bestimmen, müssen wir den zweiten Faktor gleich null setzen und erhalten: