Ausklammern und Ausmultiplizieren – Erklärung, Beispiele und Anwendung

Lerne, wie man Summen in Produkte umwandelt und Produkte in Summen mit Ausklammern und Ausmultiplizieren. Erfahre, wie diese Techniken angewendet werden, um Terme zu vereinfachen und Nullstellen von Funktionen zu finden.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Ausklammern und Ausmultiplizieren

Das Quiz zum Thema: Ausklammern und Ausmultiplizieren

Was ist Ausklammern?

Frage 1 von 4

Wann muss man ausmultiplizieren?

Frage 2 von 4

Wie multipliziert man zwei Klammern aus?

Frage 3 von 4

Wie geht Ausklammern?

Frage 4 von 4

Ausklammern und Ausmultiplizieren im Überblick

  • Beim Ausklammern wird eine Summe in ein Produkt umgeschrieben. Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe umgeschrieben.
  • Beim Ausklammern wird ein gemeinsamer Teiler aller Summanden vor die Klammer geschrieben. Die Summanden in der Klammer sind jeweils der Quotient aus dem ursprünglichen Summanden und dem Teiler vor der Klammer.
  • Beim Ausmultiplizieren wird das Distributivgesetz angewendet. Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert.
Ausklammern und Ausmultiplizieren: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Regeln zum Ausklammern und Ausmultiplizieren – Erklärung

Das Ausklammern und das Ausmultiplizieren sind Methoden in der Mathematik, um Terme umzuformen. Beim Ausklammern wird der Term als Produkt geschrieben, beim Ausmultiplizieren werden Klammern aufgelöst.

Das Ausklammern ist in Mathe eine Methode, um Terme als Produkt zu schreiben. Der Name Ausklammern kommt daher, dass ein Faktor beim Ausklammern in Klammern gesetzt wird.
Betrachten wir den folgenden Term:
3x+xy
Wir untersuchen die beiden Summanden auf einen gemeinsamen Teiler. In unserem Fall sind die Summanden 3x und xy beide durch x teilbar. Dieser gemeinsame Teiler ist dann einer der beiden Faktoren des Produkts.
Der andere Faktor ist eine Summe, die in Klammern steht. Wir erhalten die beiden Summanden in der Klammer, indem wir die ursprünglichen Summanden durch den ausgeklammerten Faktor teilen:
3x:x=3 und xy:x=y
Wir können den Term wie folgt ausklammern:
3x+xy = x \cdot (\frac{3x}{x} + \frac{xy}{x}) = x \cdot (3+y)
Beim Ausklammern schreiben wir also eine Summe als Produkt um.

Das Ausmultiplizieren ist das Gegenteil des Ausklammerns.
Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt, bei dem einer der Faktoren eine Summe in Klammern ist, als Summe umgeschrieben. Dazu müssen wir die Summe ausmultiplizieren.
Betrachten wir den folgenden Term:
5 \cdot (x+3)
Um die Klammer aufzulösen, müssen wir das Distributivgesetz anwenden. Dies besagt, dass wir den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden multiplizieren müssen. Wir sprechen dann auch davon, dass wir die Klammer ausmultiplizieren. Es ergibt sich:
5 \cdot (x+3) = 5 \cdot x+ 5 \cdot 3
Wenn wir hier ausmultiplizieren und zusammenfassen, erhalten wir:
5 \cdot x+ 5 \cdot 3 = 5x + 15

Beispiele zum Ausklammern

Wir können das Ausklammern in unterschiedlichen Zusammenhängen anwenden. Dazu betrachten wir einige Beispiele:

Ausklammern mit Variablen

Wir betrachten das folgende Beispiel:
3ab - 9ac
Der größte gemeinsame Teiler von 3ab und 9ac ist 3a. Diesen können wir aus der Summe ausklammern und erhalten ein Produkt:
3ab-9ac = 3a \cdot b - 3a \cdot 3c = 3a(b-3c)

Binomische Formeln als Spezialfall beim Ausklammern

Auch bei der Anwendung der binomischen Formeln schreiben wir eine Summe als Produkt. Dabei stehen beide Faktoren in Klammern. Hier einige Beispiele dazu:
a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b)
c^2-4c+c^2 = (c-2)^2 = (c-2) \cdot (c-2)
25 - 9a^2 = (5+3a) \cdot (5-3a)

Ausklammern mit Brüchen

Beim Ausklammern mit Brüchen gelten die gleichen Regeln wie beim Ausklammern mit ganzen Zahlen oder Variablen. Wir betrachten dazu folgendes Beispiel:
\frac{9}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y
Der größte gemeinsame Teiler ist in diesem Fall \frac{1}{4}. Wir klammern diesen Bruch aus. In die Klammer schreiben wir die drei Summanden, die wir durch \frac{1}{4} teilen:
\frac{9}{4} + \frac{1}{4}x + \frac{1}{2}y = \frac{1}{4} \cdot (\frac{9}{4}:\frac{1}{4} + \frac{1}{4}x:\frac{1}{4} + \frac{1}{2}y:\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} \cdot (9+x+2y)

Ausklammern mit Potenzen

Wir können auch Potenzen ausklammern, wie in folgendem Beispiel:
3a^2 - a^5 = a^2(3-a^3)
Beim Ausklammern von Potenzen verwenden wir die Potenzregel zum Multiplizieren und Dividieren:
a^n \cdot a^m = a^{n+m}
a^n : a^m = a^{n-m}

Beispiele zum Ausmultiplizieren

Beim Ausmultiplizieren können unterschiedliche mathematische Ausdrücke auftauchen. Wir betrachten dazu einige Beispiele.

Terme ausmultiplizieren

Wir betrachten das folgende Beispiel:
3x \cdot (4 + \sqrt{y} + 2x)
Beim Ausmultiplizieren der Klammer müssen wir jeden der drei Summanden mit 3x multiplizieren. Die Wurzel behandeln wir beim Ausmultiplizieren wie jeden anderen Term auch.
3x \cdot 4 + 3x \cdot \sqrt{y} + 3x \cdot 2x
Zuletzt können wir den Term noch zusammenfassen und erhalten:
12x + 3x \sqrt{y} + 6x^2

Brüche ausmultiplizieren

Wir können die Regeln zum Ausmultiplizieren auch anwenden, wenn der Term Brüche enthält:
\frac{2}{5} \cdot (x^2 - \frac{1}{2}x + 5) = \frac{2}{5} x^2 - \frac{2}{10}x + 2

Ausmultiplizieren von binomischen Formeln

Beim Ausmultiplizieren können auch die binomischen Formeln helfen, wie in folgendem Beispiel:
(3x -5) (3x+5) = 9x^2-25
Hier wurde die dritte binomische Formel angewendet. Die Klammer kann damit direkt aufgelöst werden, ohne die Summanden einzeln miteinander zu multiplizieren und dann zusammenzufassen.

Zwei Klammern ausmultiplizieren

Wir können auch zwei oder mehr Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen. Dazu verwenden wir die Definition des Ausmultiplizierens: Wir multiplizieren jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer:
(3x + 4)(y+9) = 3x \cdot y + 3x \cdot 9 + 4 \cdot y + 4 \cdot 9 = 3xy + 27x + 4y + 36

Anwendung – Nullstellenberechnung von Funktionen durch Ausklammern

Beim Umgang mit Funktionstermen können das Ausklammern und das Ausmultiplizieren sehr nützlich sein.
Durch das gezielte Ausklammern können wir Nullstellen einer Funktion bestimmen. Wir betrachten die Funktionsgleichung
f(x)=3x^2+6x
Wir können in der Funktion 3x ausklammern und erhalten:
f(x)=3x \cdot (x+2)
Wir haben nun den Funktionsterm als Produkt geschrieben. Durch das Ausklammern haben wir ihn also faktorisiert. Um die Nullstellen der Funktion zu ermitteln, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen:
0 = 3x \cdot (x+2)
Um die Nullstellen der quadratischen Gleichung nach dem Ausklammern zu bestimmen, nutzen wir den Satz vom Nullprodukt. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist, daher können wir nun die Nullstellen der Funktion ganz einfach bestimmen:
Eine Nullstelle ergibt sich, wenn der erste Faktor gleich null ist, also:
3x=0 \leftrightarrow x_1=0
Um die andere Nullstelle zu bestimmen, müssen wir den zweiten Faktor gleich null setzen und erhalten:
x+2=0 \leftrightarrow x_2=-2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ausklammern und Ausmultiplizieren

Das Ausklammern ist eine Methode, um Summen als Produkt zu schreiben. Dabei wird der gemeinsame Teiler der Summanden ausgeklammert.

Beim Ausklammern untersuchen wir zuerst, welchen gemeinsamen Teiler die Summanden haben. Dieser gemeinsame Teiler ist dann einer der beiden Faktoren des Produkts und wird vor die Klammer geschrieben.
Der andere Faktor ist eine Summe in Klammern. Wir erhalten die Summanden in der Klammer, indem wir die ursprünglichen Summanden durch den ausgeklammerten Faktor teilen.



Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt, bei dem einer der Faktoren eine Summe in Klammern ist, als Summe umgeschrieben. Dazu wird das Distributivgesetz angewendet, also der Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden multipliziert.

Das Ausmultiplizieren wenden wir an, um Klammern aufzulösen. Durch das Ausmultiplizieren können wir ein Produkt als Summe schreiben.

Beim Ausmultiplizieren schreiben wir ein Produkt als Summe. Dabei wenden wir das Distributivgesetz an. Beim Ausklammern schreiben wir eine Summe als Produkt. Dabei wenden wir das Distributivgesetz rückwärts an.

Um drei Klammern aufzulösen, beginnen wir mit zwei Klammern und multiplizieren diese aus. Dabei multiplizieren wir alle Summanden der einen Klammer mit allen Summanden der anderen Klammer. Den so entstandenen Term setzen wir erneut in Klammern und multiplizieren ihn dann mit der dritten Klammer.

Um zwei Klammern auszumultiplizieren, multiplizieren wir jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer.

Wir können Klammern durch Ausmultiplizieren auflösen. Dabei wenden wir das Distributivgesetz an. Dies besagt, dass wir einen Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren müssen.

Das Gegenteil von Ausmultiplizieren ist Ausklammern. Hierbei schreiben wir eine Summe als Produkt, indem wir die Summe in Klammer setzen und einen gemeinsamen Faktor der Summanden vor die Klammer ziehen.

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