Stammfunktionen – Definition, Erklärung und Beispiele
Erfahre, wie Stammfunktionen in der Integralrechnung eine wichtige Rolle spielen. Stammfunktionen werden durch Integrieren gebildet und sind der umgekehrte Prozess des Ableitens. Entdecke, wie du Stammfunktionen bestimmen kannst und warum sie unendlich viele Varianten haben. Dies und mehr findest du im folgenden Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Stammfunktionen
Wie willst du heute lernen?
Stammfunktionen – Definition
Leiten wir die Stammfunktion einer Funktion ab, erhalten wir wieder die Ausgangsfunktion. Das Bilden der Stammfunktion ist somit der umgekehrte Prozess zum Ableiten und wird deshalb umgangssprachlich manchmal auch als Aufleiten bezeichnet. Für die Stammfunktion wird in der Regel der Buchstabe der Funktion als Großbuchstabe verwendet. Die Stammfunktion der Funktion heißt demnach
.
Die Stammfunktion zu einer Funktion
ist definiert als:
Es gilt also: Ist Stammfunktion einer reellen Funktion
, ist die Ableitung von
wieder die Ausgangsfunktion
.
Jede stetige Funktion besitzt Stammfunktionen.
Die Stammfunktion hängt eng mit dem unbestimmten Integral zusammen und ist somit ein wichtiger Teil der Integralrechnung.
Stammfunktionen bilden
Wollen wir eine Stammfunktion ermitteln, müssen wir die Ausgangsfunktion integrieren. Die mathematische Schreibweise dafür lautet:
Im Text zur Integralrechnung werden die Integrationsregeln und der Vorgang des Integrierens genauer erklärt.
Dabei wird überlegt, wie die Stammfunktion aussehen muss, damit sie abgeleitet
ergibt.
Jede stetige Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen. Sie unterscheiden sich lediglich durch die Integrationskonstante . Da Konstanten beim Ableiten wegfallen, wird
beim Bilden der Stammfunktion addiert oder subtrahiert:
Die Integrationskonstante darf, wenn allgemein nach Stammfunktionen gefragt wird, nicht vergessen werden.
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird als unbestimmtes Integral bezeichnet:
Stammfunktionen nachweisen
Um nachzuweisen, dass es sich bei einer Funktion um eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion handelt, kannst du diese Funktion ableiten. Erhältst du die Ausgangsfunktion, ist die abgeleitete Funktion eine Stammfunktion.
Stammfunktionen bestimmen – Beispiele und Aufgaben
In den folgenden Absätzen wird gezeigt, wie die Stammfunktionen verschiedener Funktionsarten gebildet werden, bei denen sich die Stammfunktionen nicht einfach ablesen lassen. Im Text über Integrale wird noch einmal genauer darauf eingegangen, wie die Stammfunktionen berechnet werden und welche Regeln dabei beachtet werden müssen.
Stammfunktionen von Potenzfunktionen
Für das Bilden der Stammfunktion von Potenzfunktionen der Form ,
gilt die Formel:
Für die allgemeine Form wird am Ende noch die Integrationskonstante addiert. Somit hat jede Stammfunktion die Form:
mit
Beispiel:
Stammfunktionen mit Brüchen
Funktionen, bei denen die Variable im Nenner eines Bruchs steht, können als Potenzfunktionen mit negativen Exponenten geschrieben werden. Dann lässt sich die Stammfunktion wie die einer Potenzfunktion bilden:
für
Beispiel:
Ausnahme:
Etwas anders sieht das bei der Funktion aus. Hier gilt:
Stammfunktionen von Wurzelfunktionen
Auch Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzfunktionen schreiben und dann wie diese integrieren:
Beispiel:
Stammfunktionen der – und der
-Funktion
Die Funktion ergibt abgeleitet wieder
, somit gilt für die Stammfunktion ebenfalls:
Für die Stammfunktion der Logarithmusfunktion gilt:
Stammfunktionen der Sinus– und Cosinusfunktion
Wir wissen bereits:
Daraus ergibt sich für die Stammfunktionen:
Wichtige Stammfunktionen – Überblick (Tabelle)
Die folgende Tabelle fasst die Stammfunktionen verschiedener Funktionsarten noch einmal zusammen:
Funktionsart | Funktion ![]() |
Stammfunktion ![]() |
---|---|---|
Nullfunktion | ![]() |
![]() |
konstante Funktion | ![]() |
![]() |
Potenzfunktion | ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Wurzelfunktion | ![]() |
![]() |
Sinusfunktion | ![]() |
![]() |
Cosinusfunktion | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Logarithmus | ![]() |
![]() |
Exponentialfunktion | ![]() |
![]() |
Ableitung und Stammfunktionen – Zusammenhang
Der enge Zusammenhang zwischen dem Differenzieren (ableiten) und dem Integrieren wird durch den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung beschrieben. Durch das Integrieren der Ausgangsfunktion erhalten wir eine Stammfunktion. Differenzieren wir diese, erhalten wir wieder die Ausgangsfunktion.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Stammfunktionen
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