Stammfunktionen – Definition, Erklärung und Beispiele

Erfahre, wie Stammfunktionen in der Integralrechnung eine wichtige Rolle spielen. Stammfunktionen werden durch Integrieren gebildet und sind der umgekehrte Prozess des Ableitens. Entdecke, wie du Stammfunktionen bestimmen kannst und warum sie unendlich viele Varianten haben. Dies und mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Stammfunktionen

Die Stammfunktionen im Überblick

  • Stammfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Integralrechnung.

  • Für die Stammfunktion F einer Funktion f gilt:
    F^\prime (x) = f(x)

  • Eine Stammfunktion erhalten wir durch das Integrieren einer Funktion.

  • Jede stetige Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, die sich lediglich durch die Integrationskonstante c unterscheiden.

  • Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird durch das unbestimmte Integral zusammengefasst.
Stammfunktion: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Stammfunktionen – Definition

Leiten wir die Stammfunktion einer Funktion ab, erhalten wir wieder die Ausgangsfunktion. Das Bilden der Stammfunktion ist somit der umgekehrte Prozess zum Ableiten und wird deshalb umgangssprachlich manchmal auch als Aufleiten bezeichnet. Für die Stammfunktion wird in der Regel der Buchstabe der Funktion als Großbuchstabe verwendet. Die Stammfunktion der Funktion f heißt demnach F.

Die Stammfunktion F zu einer Funktion f ist definiert als:

F^\prime (x) = f(x)

Es gilt also: Ist F Stammfunktion einer reellen Funktion f, ist die Ableitung von F wieder die Ausgangsfunktion f.
Jede stetige Funktion besitzt Stammfunktionen.

Die Stammfunktion hängt eng mit dem unbestimmten Integral zusammen und ist somit ein wichtiger Teil der Integralrechnung.

Stammfunktionen bilden

Wollen wir eine Stammfunktion ermitteln, müssen wir die Ausgangsfunktion integrieren. Die mathematische Schreibweise dafür lautet:

F(x) = \displaystyle \int f(x) ~ \text{d}x

Im Text zur Integralrechnung werden die Integrationsregeln und der Vorgang des Integrierens genauer erklärt.
Dabei wird überlegt, wie die Stammfunktion F aussehen muss, damit sie abgeleitet f ergibt.

Jede stetige Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen. Sie unterscheiden sich lediglich durch die Integrationskonstante c. Da Konstanten beim Ableiten wegfallen, wird c beim Bilden der Stammfunktion addiert oder subtrahiert:

\bigl(F(x) + c\bigr)^\prime = F^\prime(x) + c^\prime = F^\prime(x) + 0 = F^\prime(x) = f(x)

Die Integrationskonstante darf, wenn allgemein nach Stammfunktionen gefragt wird, nicht vergessen werden.
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird als unbestimmtes Integral bezeichnet:

\displaystyle \int f(x) ~ \text{d}x = F(x) + c

Stammfunktionen nachweisen

Um nachzuweisen, dass es sich bei einer Funktion um eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion handelt, kannst du diese Funktion ableiten. Erhältst du die Ausgangsfunktion, ist die abgeleitete Funktion eine Stammfunktion.

Stammfunktionen bestimmen – Beispiele und Aufgaben

In den folgenden Absätzen wird gezeigt, wie die Stammfunktionen verschiedener Funktionsarten gebildet werden, bei denen sich die Stammfunktionen nicht einfach ablesen lassen. Im Text über Integrale wird noch einmal genauer darauf eingegangen, wie die Stammfunktionen berechnet werden und welche Regeln dabei beachtet werden müssen.

Stammfunktionen von Potenzfunktionen

Für das Bilden der Stammfunktion von Potenzfunktionen der Form f(x) = x^n, n\in\mathbb{N} gilt die Formel:

F(x) = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}

Für die allgemeine Form wird am Ende noch die Integrationskonstante c addiert. Somit hat jede Stammfunktion die Form:

F(x) = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c~ mit c \in\mathbb{R}

Beispiel:
f(x) = 2x^3 - 5 \quad \Rightarrow \quad F(x) = \dfrac{1}{2}x^4 - 5x + c

Stammfunktionen mit Brüchen

Funktionen, bei denen die Variable im Nenner eines Bruchs steht, können als Potenzfunktionen mit negativen Exponenten geschrieben werden. Dann lässt sich die Stammfunktion wie die einer Potenzfunktion bilden:

f(x) = \dfrac{1}{x^n} = x^{-n} ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = \dfrac{1}{-n+1} x^{-n+1} + c~ für n\in\mathbb{Z}\backslash\{0,1\}

Beispiel:
f(x) = \dfrac{3}{x^2} = 3x^{-2} \quad \Rightarrow \quad F(x) = -3x^{-1} + c = -\dfrac{3}{x} + c

Ausnahme:
Etwas anders sieht das bei der Funktion f(x) = \dfrac{1}{x} aus. Hier gilt:

f(x) = \dfrac{1}{x} ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = \ln(\vert x \vert) + c

Stammfunktionen von Wurzelfunktionen

Auch Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzfunktionen schreiben und dann wie diese integrieren:

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = \dfrac{1}{\frac{1}{n}+1} x^{\frac{1}{n}+1} + c

Beispiel:
f(x) = \sqrt[3]{x^4} = x^{\frac{4}{3}} \quad \Rightarrow \quad F(x) = \dfrac{3}{7}x^{\frac{7}{3}} + c = \dfrac{3}{7} \sqrt[3]{x^7} + c

Stammfunktionen der \ln– und der e-Funktion

Die Funktion f(x) = e^x ergibt abgeleitet wieder e^x, somit gilt für die Stammfunktion ebenfalls:

f(x) = e^x ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = e^x + c

Für die Stammfunktion der Logarithmusfunktion gilt:

f(x) = \ln(x) ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = x \cdot \ln(x) - x + c

Stammfunktionen der Sinus– und Cosinusfunktion

Wir wissen bereits:

f(x) = \sin(x) ~ \Leftrightarrow ~ f^\prime(x) = \cos(x)
f(x) = \cos(x) ~ \Leftrightarrow ~ f^\prime(x) = -\sin(x)

Daraus ergibt sich für die Stammfunktionen:

f(x) = \sin(x) ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = -\cos(x) + c
f(x) = \cos(x) ~ \Leftrightarrow ~ F(x) = \sin(x) + c

Wichtige Stammfunktionen – Überblick (Tabelle)

Die folgende Tabelle fasst die Stammfunktionen verschiedener Funktionsarten noch einmal zusammen:

Funktionsart Funktion f(x) Stammfunktion F(x)
Nullfunktion 0 0
konstante Funktion a ax + c
Potenzfunktion x^n für n\in\mathbb{Z}\backslash\{0,1\} \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c
\dfrac{1}{x} \dfrac{1}{x} = x^{-1} \ln(\vert x \vert) + c
Wurzelfunktion \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \dfrac{1}{\frac{1}{n}+1} x^{\frac{1}{n}+1} + c
Sinusfunktion \sin(x) -\cos(x) + c
Cosinusfunktion \cos(x) \sin(x) +c
e-Funktion e^x e^x + c
Logarithmus \ln(x) x \cdot \ln(x) - x + c
Exponentialfunktion a^x \dfrac{1}{\ln(a)} \cdot a^x +c

Ableitung und Stammfunktionen – Zusammenhang

Der enge Zusammenhang zwischen dem Differenzieren (ableiten) und dem Integrieren wird durch den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung beschrieben. Durch das Integrieren der Ausgangsfunktion erhalten wir eine Stammfunktion. Differenzieren wir diese, erhalten wir wieder die Ausgangsfunktion.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Stammfunktionen

Für eine Stammfunktion F zu einer Funktion f gilt:
F^\prime (x) = f(x)

Leiten wir eine Stammfunktion ab, erhalten wir die Ausgangsfunktion. Das Bilden einer Stammfunktion ist somit der entgegengesetzte Prozess zum Ableiten.

Die Stammfunktion F ist eine differenzierbare Funktion, deren Ableitungsfunktion F^\prime der Funktion f entspricht.

Eine Stammfunktion wird gebildet, indem man das Ableiten rückwärts ausführt. Wir überlegen also, welche Funktion abgeleitet die Ausgangsfunktion ergibt. Mithilfe der Regeln der Integralrechnung können die Stammfunktionen verschiedener Funktionsarten gebildet werden.

Das c ist die Integrationskonstante. Sie wird ergänzt, da Konstanten beim Ableiten wegfallen.

Die Funktion f(x) = 3x hat die Form F(x) = \dfrac{3}{2} x^2 + c.

Die Stammfunktion f(x) = 1 hat die Form F(x) = x + c.

Jede stetige Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur in der Integrationskonstante c unterscheiden. Es gibt aber auch Funktionen, die keine Stammfunktion haben – oder zumindest keine, die im gesamten Definitionsbereich gilt.

Jede stetige Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, die sich durch die Integrationskonstante c unterscheiden.

Leiten wir eine Stammfunktion ab, erhalten wir wieder die Ausgangsfunktion.
Es gilt:
F^\prime (x) = f(x)

Das unbestimmte Integral fasst alle Stammfunktionen einer Funktion zusammen.

Nein, die Stammfunktion ist das Gegenteil der Ableitung. Die erste Ableitung der Stammfunktion ist die Ausgangsfunktion.

Willst du beispielsweise die Steigung einer Funktion in jedem Punkt ermitteln, wird die erste Ableitung gebildet. Willst du hingegen beispielsweise die zwischen zwei Funktionen eingeschlossene Fläche berechnen, muss die Stammfunktion gebildet werden.

Um zu zeigen, dass es sich bei einer Funktion F um eine Stammfunktion der Ausgangsfunktion f handelt, wird die Stammfunktion F abgeleitet. Erhalten wir dadurch die Ausgangsfunktion, ist F Stammfunktion von f.

Stammfunktionen sind ein wesentlicher Bestandteil der Integralrechnung. Sie werden beispielsweise genutzt, um die Fläche zwischen Funktionsgraphen zu berechnen.

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