Bogenmaß und Gradmaß – Bedeutung, Umrechnung und Beispiele

Erfahre, dass ein Vollwinkel sowohl im Bogenmaß als auch im Gradmaß entspricht. Entdecke die Definitionen, die Umrechnung zwischen den Maßen und Beispiele für verschiedene Winkel.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Bogenmaß und Gradmaß

Bogenmaß und Gradmaß im Überblick
Bogenmaß und Gradmaß einfach erklärt
Bogenmaß eines Winkels – Definition
Gradmaß eines Winkels – Definition
Umrechnung zwischen Winkelmaßen
Gradmaß in Bogenmaß umrechnen
Bogenmaß in Gradmaß umrechnen
Beispiele für Winkel im Bogen- und Gradmaß
Bogenmaß und Gradmaß am Taschenrechner
Häufig gestellte Fragen zum Thema Bogenmaß und Gradmaß

Teste dein Wissen

Was ist das Bogenmaß eines Winkels?

Frage 1 von 5

Wie wird Gradmaß in Bogenmaß umgerechnet?

Frage 2 von 5

Wann wird das Gradmaß verwendet?

Frage 3 von 5

Wie rechnet man ein Gradmaß in Bogenmaß um?

Frage 4 von 5

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß?

Frage 5 von 5

Bogenmaß und Gradmaß im Überblick

Bogenmaß und Gradmaß sind Einheiten für die Größe eines Winkels.
Ein ganzer Kreis (Vollwinkel) entspricht $360^\circ$ im Gradmaß und $2\pi$ im Bogenmaß.
Das Bogenmaß leitet sich aus der Bogenlänge am Einheitskreis ab und wird bevorzugt im Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen verwendet.

Quelle sofatutor.com

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Bogenmaß und Gradmaß

Bogenmaß und Gradmaß einfach erklärt

In Mathe können Winkelmaße im Gradmaß und im Bogenmaß angegeben werden.
Das Gradmaß eines Winkels bezieht sich auf den Vollwinkel von $360^\circ$ , der einem ganzen Kreis entspricht. Das Bogenmaß beschreibt den Mittelpunktswinkel am Einheitskreis durch die Länge des Bogens, den das Kreissegment hat. Da der Einheitskreis den Radius $r = 1$ hat, ist sein Umfang die Länge: $2r\pi = 2 \cdot 1 \cdot \pi = 2\pi$ . Dies entspricht dem Vollwinkel im Bogenmaß. Es gilt der Zusammenhang:
$\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{b}{2\pi}$

Hierbei bezeichnet $\alpha$ den Mittelpunktswinkel und $b$ die Bogenlänge des Kreissegments.

In der Abbildung siehst du beide Angaben bezogen auf einen Viertelkreis. Für das Gradmaß ergibt sich:
$\alpha = 360^\circ : 4 = 90^\circ$

Im Bogenmaß erhalten wir:
$b = 2\pi : 4 = \frac{\pi}{2}$

Bogenmaß eines Winkels – Definition

Das Bogenmaß eines Winkels $\alpha$ gibt die Bogenlänge eines Kreissegments, mit Mittelpunktswinkel $\alpha$ , im Einheitskreis an.

Gradmaß eines Winkels – Definition

Das Gradmaß eines Winkels $\alpha$ gibt an, welchen Anteil eines Vollwinkels er überstreicht. Ein ganzer Kreis entspricht dabei einem Winkel von $360^\circ$ .

Umrechnung zwischen Winkelmaßen

Durch Umstellen des allgemeinen Zusammenhangs
$\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{b}{2\pi}$
können wir Winkel vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt umwandeln.

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen

Das Maß eines Winkels $\alpha$ im Gradmaß können wir im Bogenmaß mit folgender Formel berechnen:

$b = \dfrac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi$

Dazu haben wir den allgemeinen Zusammenhang der Einheiten mit $2\pi$ multipliziert. Du kannst die Formel noch vereinfachen, indem du mit $2$ kürzt:

$b = \dfrac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi$

So ergibt sich für einen Winkel von $\alpha = 120^\circ$ (Gradmaß) der entsprechende Winkel $b$ im Bogenmaß:

$b = \dfrac{120^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \dfrac{2}{3}\pi \approx 2,09$

Bogenmaß in Gradmaß umrechnen

Das Maß eines Winkels $b$ im Bogenmaß können wir mit folgender Formel in Gradzahlen umrechnen:

$\alpha = \dfrac{b}{2\pi} \cdot 360^\circ$

Dazu haben wir den allgemeinen Zusammenhang der Einheiten mit $360^\circ$ multipliziert. Du kannst die Formel noch vereinfachen, indem du mit $2$ kürzt:

$\alpha = \dfrac{b}{\pi} \cdot 180^\circ$

So ergibt sich für einen Winkel von $b =\dfrac{2}{3}\pi$ (Bogenmaß) der entsprechende Winkel $\alpha$ im Gradmaß:

$\alpha = \dfrac{\frac{2}{3}\pi}{\pi} \cdot 180^\circ = \frac{2}{3} \cdot 180^\circ = 120^\circ$

Beispiele für Winkel im Bogen- und Gradmaß

In der Tabelle siehst du wichtige Winkel im Gradmaß und im Bogenmaß zusammengefasst:

Gradmaß $\alpha$	Bogenmaß $b$	Anteil Kreis
$0^\circ$	$0$	–
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{1}{8}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{6}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{1}{4}$
$180^\circ$	$\pi$	$\frac{1}{2}$
$360^\circ$	$2\pi$	$1$

Bogenmaß und Gradmaß am Taschenrechner

Bei deinem Taschenrechner kannst du einstellen, ob du Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß verwendest. Die aktuelle Einstellung erkennst du in der Regel an einem kleinen D oder R oben im Display. Dabei steht D für das Gradmaß: englisch degree, kurz DEG. Der Buchstabe R steht für das Bogenmaß: englisch radiant, kurz RAD.
Es empfiehlt sich, die Einstellung der Taschenrechners bei der Verwendung von Winkeln immer einmal kurz zu überprüfen und wenn nötig entsprechend anzupassen.
Eine Umrechnung eines Winkelmaßes von Grad in Rad und umgekehrt kannst du mit den bekannten Formeln vornehmen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß

Was ist ein Bogenmaß?

Das Bogenmaß ist eine Einheit für Winkel. Die Größe des Winkels wird dabei über die Bogenlänge eines Kreissektors mit entsprechendem Mittelpunktswinkel am Einheitskreis beschrieben.

Wann wird das Gradmaß, wann das Bogenmaß verwendet?

Jeder Winkel kann sowohl im Grad- als auch im Bogenmaß angegeben werden. Bei geometrischen Überlegungen wird meist das Gradmaß verwendet. Im Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen findet häufig das Bogenmaß Anwendung.

Wie ist das Bogenmaß definiert?

Das Bogenmaß eines Winkels ist definiert als die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis.

Wie lautet der Winkel im Bogenmaß?

Die Berechnung eines Winkels im Bogenmaß erfolgt über die Formel:
$b = \dfrac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi$

Was ist der Unterschied zwischen Bogenmaß und Gradmaß?

Unterschied Bogenmaß und Gradmaß: Das Gradmaß beschreibt die Größe eines Winkels als Anteil am Vollwinkel $360^\circ$ . Beim Bogenmaß wird der Winkel durch die korrespondierende Bogenlänge eines Kreissegments im Einheitskreis beschrieben.

Für was braucht man das Bogenmaß?

Das Bogenmaß wird häufig im Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen, zum Beispiel $\sin x$ und $\cos x$ , verwendet.

Wie berechnet man das Bogenmaß mit dem Taschenrechner?

Um im Taschenrechner mit dem Bogenmaß zu rechnen, sollte dieser auf RAD eingestellt sein. Das erkennst du meist an einem kleinen R oben im Display, ein D steht hier für das Gradmaß, kurz DEG.

Was versteht man unter Gradmaß?

Das Gradmaß beschreibt einen Winkel über den Anteil des Vollwinkels $360^\circ$ , den dieser überstreicht.

Wie berechnet man ein Gradmaß?

Aus dem Bogenmaß $b$ kann das Gradmaß eines Winkels mit der folgenden Formel berechnet werden:
$\alpha = \dfrac{b}{\pi} \cdot 180^\circ$

Wann brauche ich das Gradmaß?

Für die geometrische Betrachtung von Winkeln werden diese zumeist im Gradmaß angegeben.

Was ist ein 20°-Winkel?

Ein Winkel von $20^\circ$ überstreicht $\frac{1}{18}$ des Vollwinkels $360^\circ$ , er entspricht also $\frac{1}{18}$ eines Kreises.
Im Bogenmaß hat er einen Wert von:
$b = \dfrac{20^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{\pi}{9}$

Was bedeutet 45°?

Ein Winkel von $45^\circ$ entspricht $\frac{1}{8}$ des Vollwinkels $360^\circ$ . Das bedeutet, er entspricht $\frac{1}{8}$ des Kreises.
Im Bogenmaß hat er einen Wert von:
$b = \dfrac{45^\circ}{180^\circ} \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$

Wie rechnet man Winkel ins Gradmaß um?

Ein Winkel im Gradmaß erhält man als entsprechenden Anteil des Vollwinkels $360^\circ$ .
Zum Beispiel entspricht ein halber Kreis einem Winkel von $360^\circ : 2 = 180^\circ$ .

Wie rechnet man Grad in Rad?

Rad oder Radiant ist ein anderer Begriff für das Bogenmaß. Ein Winkel $\alpha$ im Gradmaß kann mit folgender Formel in das Bogenmaß umgerechnet werden:
$b = \dfrac{\alpha}{180^\circ} \cdot \pi$

Bogenmaß und Gradmaß – Bedeutung, Umrechnung und Beispiele

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