Funktionsgraphen – Eigenschaften, Erklärung und Beispiele

Lerne, wie Funktionsgraphen Funktionen im Koordinatensystem darstellen. Lerne, Funktionsgraphen zu zeichnen, wichtige Punkte zu identifizieren, Transformationen durchzuführen und verschiedene Funktionstypen zu erkennen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Funktionsgraphen

Funktionsgraphen im Überblick

  • Funktionsgraphen werden genutzt, um Funktionen in einem Koordinatensystem darstellen zu können.

  • Ein Funktionsgraph kann anhand einer Wertetabelle gezeichnet werden, indem einige Wertepaare (x|y) bestimmt, in ein Koordinatensystem eingetragen und die Punkte verbunden werden.

  • Häufige Formen von Funktionsgraphen sind Geraden bei linearen Funktionen oder Parabeln bei quadratischen Funktionen.

  • Funktionsgraphen können transformiert, also gestreckt, gestaucht, verschoben und gespiegelt, werden.

Funktionsgraphen: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Funktionsgraphen – Definition

Eine Funktion f(x) ordnet jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y aus dem Wertebereich zu. Jedoch kann ein y-Wert zu mehreren x-Werten gehören, wie wir gleich sehen werden.
Ein Funktionsgraph, kurz Graph, ist nun die Menge aller dieser Wertepaare (x|y), die in einem Koordinatensystem dargestellt werden. Er ist also eine bildliche Darstellung der Funktion.

Funktionsgraphen zeichnen

Um den Graphen einer Funktion f(x) zu bestimmen, befolgst du folgende Schritte:

  1. Eine Wertetabelle erstellen, in die du für verschiedene x-Werte den zugehörigen Wert y-Wert einträgst. Dazu setzt du einen x-Wert in f(x) ein und schreibst das Ergebnis zu y.
    Merke: Je mehr Punkte du verwendest, desto genauer wird der Graph.
  2. Nun hast du einige Punkte (x|y), die du im Koordinatensystem markierst.
  3. Den Verlauf des Graphen kannst du skizzieren, indem du die Punkte zu einer Geraden oder Kurve verbindest.

Funktionsgraph zeichnen – Beispiel lineare Funktion

Eine lineare Funktion kann geschrieben werden als:
f(x) = mx + b
Dabei steht m für die Steigung und b wird als y-Achsenabschnitt bezeichnet.
Die Steigung zeigt an, wie stark ein Graph steigt bzw. fällt. Der y-Achsenabschnitt ist der Punkt, an dem der Graph die y-Achse schneidet:
b = f(0)
Der Funktionsgraph einer linearen Funktion zeigt eine Gerade.

Graph einer linearen Funktion

Schauen wir uns die einfache lineare Funktion f(x) = \frac{1}{2}x an.
Die Wertetabelle hierzu sieht wie folgt aus:

x y=\frac{1}{2}x
0 \frac{1}{2} \cdot 0 = 0
1 \frac{1}{2} \cdot 1= 0,5
2 \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
6 \frac{1}{2} \cdot 6= 3

Trägst du diese Werte in ein Koordinatensystem ein, erhältst du den zugehörigen Graphen. Bei einer linearen Funktion reichen zwei Punkte aus, die zu einer Gerade verbunden werden.
Statt eine Wertetabelle zu nutzen, kann der Graph der linearen Funktion auch mithilfe des y-Achsenabschnitts und eines Steigungsdreiecks gezeichnet werden.
Dazu wird die Steigung als Bruch dargestellt: m = \frac{\Delta y}{\Delta x}. Ausgehend von einem beliebigen Punkt der Geraden, zum Beispiel dem y-Achsenabschnitt, gehst du dann \Delta x Einheiten in x-Richtung und \Delta y Einheiten in y-Richtung und erhältst so einen weiteren Punkt, durch den die Gerade verläuft.
Um den Funktionsgraphen einer linearen Funktion zu beschreiben, brauchst du also eine Wertetabelle oder markante Werte, wie den y-Achsenabschnitt und die Steigung.
Für Funktionen höherer Potenzen sind weitere charakteristische Punkte nötig.

Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen

Wichtige Punkte, die den Graphen einer Funktion charakterisieren, sind: Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen.

Hoch- bzw. Tiefpunkte werden auch Extrempunkte genannt. Folgende Bedingungen müssen gelten:

  • f^\prime(x) = 0 (die Steigung an dieser Stelle ist null) \rightarrow notwendige Bedingung
  • f^{\prime\prime}(x) \neq 0 (zweite Ableitung an diesem Punkt ist ungleich null) \rightarrow hinreichende Bedingung

Beispiel: Die quadratische Funktion f(x) = x^2 auf dem oberen Bild hat einen Tiefpunkt an der Stelle (0 \vert 0). Die quadratische Funktion f(x) = -x^2 auf dem unteren Bild hingegen hat an dieser Stelle einen Hochpunkt.

Tiefpunkt
Hochpunkt

Zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt bzw. umgekehrt kann ein Wende- oder Sattelpunkt liegen. Für den Wendepunkt gilt:

  • f^{\prime\prime}(x) = 0 (zweite Ableitung an diesem Punkt ist null)
    \rightarrow notwendige Bedingung
  • f^{\prime\prime\prime}(x) \neq 0
    \rightarrow hinreichende Bedingung

Für den Sattelpunkt gilt zusätzlich, dass die Steigung an diesem Punkt null sein muss:
f^\prime(x) = 0

Beispiele:
Im folgenden Bild sehen wir einen Graphen mit einer Wendestelle im Punkt (0|0):

Graph mit Wendestelle

Die kubische Funktion x^3 hat einen Sattelpunkt bei (0|0):

Kubische Funktion

Für die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen gilt:

  • Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Er liegt bei S_y\left(0 \vert f(0)\right).
  • Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse. Sie werden als Lösungen x_i der Gleichung f(x)= 0 bestimmt. Die Nullstellen haben dann die Koordianten N_i(x_i \vert 0)

Beispiel:
Folgende Parabel schneidet die y-Achse bei (0\vert -2). Außerdem hat der Graph Nullstellen, also Schnittpunkte mit der x-Achse, bei (-1,5 \vert 0) und (1,5 \vert 0):

Schnittpunkte der Parabel mit der x- und y-Achse

Symmetrie von Funktionsgraphen

Es gibt Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Achsensymmetrie/Punktsymmetrie bedeutet, dass bei der Spiegelung von Funktionsgraphen an bestimmten Achsen/Punkten der gleiche Graph resultiert. Häufig ist damit die y-Achse bzw. der Ursprung gemeint.
Die Punktsymmetrie zum Ursprung prüfst du mit folgender Bedingung:
f(-x) = -f(x)
Ein Beispiel hierfür ist die Funktion x^3, die wir oben betrachtet haben.
Setzt du -x in f(x) ein, erhältst du:
f(-x) = (-x)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 = -x^3 = -f(x)
Achsensymmetrie zur y-Achse ist gegeben, wenn gilt:
f(-x) = f(x)
Dies ist der Fall bei der quadratischen Funktion f(x) = x^2. Setze -x ein:
f(-x) = (-x)^2 = (-1)^2\cdot x^2 = x^2 = f(x)

Transformation von Funktionsgraphen

Du kannst Funktionsgraphen in x– oder y-Richtung verschieben, strecken, stauchen oder spiegeln. Wir betrachten im Folgenden, wie sich diese Transformationen auf den Funktionsterm auswirken.

Verschieben entlang der x-Achse:

Um einen Graphen entlang der x-Achse zu verschieben, wird eine Konstante a zu x addiert:

h(x) = f(x+a)

Dabei gilt:

  • a>0: Der Graph ist um a Einheiten nach links verschoben.
  • a<0: Der Graph ist um a Einheiten nach rechts verschoben.

Verschieben entlang der y-Achse:

Eine Verschiebung entlang der y-Achse nach oben oder unten erhalten wir, indem wir eine Konstante b zum Funktionsterm von f(x) addieren:

h(x) = f(x) + b

Dabei gilt:

  • b>0: Der Graph ist um b Einheiten nach oben verschoben.
  • b<0: Der Graph ist um b Einheiten nach unten verschoben.

Stauchung/Streckung in x-Richtung:

Um den Graphen in x-Richtung zu stauchen oder zu strecken, wird die Variable x mit einem Faktor c multipliziert:

h(x) =f(c \cdot x)

Dabei gilt:

  • 0< c < 1: Der Graph ist in x-Richtung gestreckt.
  • c>1: Der Graph ist in x-Richtung gestaucht.

Stauchung/Streckung in y-Richtung:

Um den Graphen in y-Richtung zu stauchen oder zu strecken, wird ein Faktor d mit dem Funktionsterm von f(x) multipliziert:

h(x) = d \cdot f(x)

Dabei gilt:

  • 0< d < 1: Der Graph ist in y-Richtung gestaucht.
  • d>1: Der Graph ist in y-Richtung gestreckt.

Spiegelung:

Häufig werden Graphen an der x– bzw. y-Achse oder am Ursprung des Koordinatensystems gespiegelt. Es gelten folgende Bedingungen:

  • Spiegelung an der x-Achse: h(x) = -f(x)
  • Spiegelung an der y-Achse: h(x) = f(-x)
  • Spiegelung am Ursprung (0|0): h(x) = -f(-x)

Transformation am Beispiel der Parabel

Verschiebung der Normalparabel in x- und y-Richtung
  • Im ersten Bild oben rechts wird f(x) um eins nach oben geschoben, indem 1 addiert wird. Der zugehörige Funktionsterm ist f(x) + 1 = x^2 + 1.
  • Im nächsten Bild wird f(x) um 3 Einheiten nach unten verschoben. Der zugehörige Funktionsterm ist f(x) - 3 = x^2 - 3.
  • Der dritte Graph von oben ist um eine Einheit nach rechts verschoben. Hier lautet der Funktionsterm f(x - 1) = (x - 1)^2.
  • In der letzten Abbildung erkennen wir eine Verschiebung um zwei Einheiten nach links. Damit ist der Funktionsterm f(x + 2) = (x + 2)^2.
Streckung, Stauchung, Spiegelung

Im oben stehenden Bild sehen wir die Normalparabel in Grün, eine gestreckte Parabel in Rot und eine gestauchte Parabel in Gelb. Die blaue Parabel wurde an der x-Achse gespiegelt.

Funktionstypen – Beispiele

Wir haben im obigen Text schon verschiedene Funktionsgraphen und Funktionstypen kennengelernt. Es gibt noch mehr Arten von Funktionen. Die folgende Übersicht zeigt dir einige davon:

Art der Funktion Beispiel
lineare Funktion (Gerade) f(x) = 3x + 2
quadratische Funktion (Parabel) f(x) = 3x^2 + x + 3
Potenzfunktion f(x) = x^5
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt{3x}
Exponentialfunktion f(x) = 3\exp{2x}
trigonometrische Funktion f(x) = 3\sin(x)
….

Funktionsgraphen erkennen

Wir können Funktionsgraphen anhand der Wertetabelle erkennen. Dies schauen wir uns anhand linearer und quadratischer Funktionen an:
Lineare Funktionen:
Erhöhst du den x-Wert um eine Einheit, erhöht sich der y-Wert immer um eine feste Konstante:

x y
0 1,5
1 1,8
2 2,1
3 2,4

Wenn sich x um eins erhöht, erhöht sich y immer um die Konstante 0{,}3.

Quadratische Funktionen:
Hier muss zunächst die Differenzendifferenz berechnet werden. Das bedeutet, wir berechnen die Differenz der ersten beiden y-Werte und die Differenz des dritten und zweiten y-Werts. Ist die Differenz zwischen diesen beiden Differenzen konstant, handelt es sich um eine quadratische Funktion. Wir betrachten hierzu ein Beispiel:

x y
0 1
1 2
2 5
3 10

Die Differenz der ersten beiden y-Werte ist: 2-1 = 1.
Die Differenz des zweiten und dritten y-Werts ist : 5-2=3.
Die Differenz dieser beiden Differenzen ist: 3-1=2
Die Veränderung des y-Werts erhöht sich also immer um 2:
Von 1 zu 2 ist die Veränderung 1.
Von 2 zu 5 ist die Veränderung 1+2=3.
Von 5 zu 10 ist sie: 3+3=5 etc.

Exkurs – Flächen zwischen Funktionsgraphen

Eine weitere Aufgabe, die häufig gestellt wird, ist die Berechnung der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen, beispielsweise f(x) und g(x).
Dazu berechnest du die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x).
Um die Fläche unter dieser Differenzfunktion zu berechnen, sind zunächst die Nullstellen zu bestimmen. Sind lediglich zwei Nullstellen vorhanden, bilden diese die Unter- und Obergrenze für das Integral (Flächenberechnung). Hast du mehr als zwei Nullstellen (und damit Schnittstellen zwischen f(x) und g(x)), benötigst du Teilintegrale. Das erste Integral geht dann von der ersten zur zweiten Nullstelle, das zweite Teilintegral von der zweiten zur dritten Nullstelle etc. Beachte, dass die Integrale in Betragsstriche gesetzt werden müssen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionsgraphen

Ein Funktionsgraph zeigt alle Wertepaare (x|y) einer Funktion in einem Koordinatensystem an. Je nach Funktion sieht der Graph anders aus.

Funktionsgraphen sind die Veranschaulichung einer Funktion in einem Koordinatensystem.
Sie stellen alle Wertepaare (x|y) einer Funktion in einem Koordinatensystem dar.

Die Funktionsgraphen gehören immer zu Funktionen. Der Graph einer linearen Funktion wird zum Beispiel Gerade genannt, der einer quadratischen Funktion Parabel.

Ist die Funktion gegeben, berechnest du zu einigen x-Werten die y-Werte durch Einsetzen der x-Werte in die Funktionsgleichung. Diese Wertepaare trägst du dann in ein Koordinatensystem ein und verbindest die Punkte.

Ein Funktionsgraph ist die zeichnerische Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem. Dies kann eine Gerade oder Kurve sein.
Eine Funktion ordnet jedem x-Wert immer genau einen y-Wert zu.
Umgekehrt kann jedoch ein y-Wert mehrmals auftauchen. Ein Funktionsgraphen ist also daran erkennbar, dass es sich um eine eindeutige Zuordnung handelt. Dazu wird geschaut, ob jedem x-Wert wirklich nur ein y-Wert zugeordnet wird. Anschaulich bedeutet das, dass keine Parallele zur y-Achse den Graphen mehr als einmal schneidet.

Je nach Funktion sieht ein Funktionsgraph anders aus. Jeder Funktionsgraph lässt sich einer bestimmten Funktion zuordnen. Der Graph einer linearen Funktion ist beispielsweise eine Gerade.

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