Brüche addieren und subtrahieren – Erklärung, Regeln und Beispiele

Brüche sind spezielle Zahlen, die Anteile darstellen und aus Zähler, Bruchstrich und Nenner bestehen. Beim Hinzufügen und Abziehen von Brüchen spielen die Regeln eine wichtige Rolle, insbesondere der gemeinsame Nenner.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Brüche addieren und subtrahieren

Was ist ein Bruch?

Frage 1 von 5

Wie werden gleichnamige Brüche addiert?

Frage 2 von 5

Was ist der Hauptnenner?

Frage 3 von 5

Wie werden ungleichnamige Brüche addiert?

Frage 4 von 5

Wie subtrahiert man Brüche?

Frage 5 von 5

Brüche addieren und subtrahieren im Überblick

  • Brüche sind besondere Zahlen, die Anteile beschreiben.

  • Ein Bruch besteht immer aus drei Bestandteilen: Zähler, Bruchstrich und Nenner.

  • Für das Addieren und Subtrahieren von Brüchen gibt es Regeln, die zu beachten sind.

  • Der Nenner eines Bruchs spielt eine besonders wichtige Rolle beim Plus- und Minusrechnen in der Bruchrechnung.

Addition und Subtraktion von Brüchen Video

Quelle sofatutor.com

Gleichnamige Brüche

Um Brüche addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie den gleichen Nenner haben. Brüche, die den gleichen Nenner haben, heißen gleichnamige Brüche. Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche ist der einfachste Fall. Auf ihn können alle Additionen und Subtraktionen von Brüchen zurückgeführt werden.

Addition von gleichnamigen Brüchen

Gleichnamige Brüche werden addiert, indem die Zähler addiert werden und der Nenner unverändert bleibt. Zum Beispiel:
\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{2+1}{5} = \dfrac{3}{5}

Dies veranschaulichen wir mit Tortenstücken. Auf einer Feier gibt es viel Torte. Alle Torten sind gleich groß und in sechs gleichmäßige Stücke geschnitten. Am Ende bleiben von der Kirschtorte ein Stück übrig und von der Himbeertorte vier Stücke. Wie viel Torte bleibt insgesamt übrig?

Addition von Brüchen: Beispiel

Wir rechnen:
\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{6}
Das bedeutet: Es bleiben insgesamt \dfrac{5}{6} einer Torte übrig.

Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

Das Minusrechnen mit gleichnamigen Brüchen funktioniert ganz ähnlich wie das Plusrechnen: Die Zähler werden subtrahiert und der Nenner bleibt unverändert.
Zum Beispiel:
\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5-1}{6}= \dfrac{4}{6}

Auch dies veranschaulichen wir mit Tortenstücken. Die Torte wird diesmal in acht gleich große Stücke aufgeteilt. Nach der Feier sind noch sechs Stücke übrig. Wie viel Torte bleibt noch, wenn am nächsten Tag wiederum drei Stücke gegessen werden?

Brüche subtrahieren Beispiel

Dafür schreiben wir die beiden Anteile als Bruch und rechnen Bruch minus Bruch:
\dfrac{6}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}
Das bedeutet: Es bleiben \dfrac{3}{8} der Torte übrig.

Ungleichnamige Brüche

Meistens haben Brüche, die man zusammenrechnen möchte, allerdings nicht den gleichen Nenner. Sie heißen dann ungleichnamig. Zwei ungleichnamige Brüche werden zuerst auf einen Nenner gebracht, damit sie danach addiert oder subtrahiert werden können.

Brüche auf einen Nenner bringen

Damit wir Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren können, müssen wir sie geschickt erweitern und somit auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Der gemeinsame Nenner heißt auch Hauptnenner.

Zur Erinnerung: Beim Erweitern eines Bruchs werden Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Beim Kürzen eines Bruchs werden Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividiert. Nach dem Erweitern und Kürzen eines Bruchs bleibt der Wert des Bruchs unverändert.

Beispiel 1:
Der schnellste Weg, einen gemeinsamen Nenner von zwei Brüchen zu finden, ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren. Hierfür werden beide Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen Bruchs erweitert. Die Brüche \frac{2}{3} und \frac{1}{4} können wir auf den gemeinsamen Hauptnenner 3 \cdot 4 = 12 bringen:
\dfrac{2}{3} =\dfrac{2\cdot4}{3\cdot4}=\dfrac{8}{12}
und
\dfrac{1}{4} =\dfrac{1\cdot3}{4\cdot3}=\dfrac{3}{12}

Beispiel 2:
Vor allem bei größeren Zahlen ist der in Beispiel 1 beschriebene Weg nicht der einfachste Weg. Der Hauptnenner kann auch über das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner gefunden werden. Dies ist die kleinste Zahl, die gleichzeitig ein Vielfaches beider Nenner ist. Betrachten wir zum Beispiel die Brüche \frac{1}{8} und \frac{1}{12}. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 8 und 12 ist 24, wir können die beiden Brüche also wie folgt auf einen Hauptnenner bringen:
\dfrac{1}{8} =\dfrac{1\cdot3}{8\cdot3}=\dfrac{3}{24}
und
\dfrac{1}{12} =\dfrac{1\cdot2}{12\cdot2}=\dfrac{2}{24}

Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren

Ungleichnamige Brüche werden auf einen Hauptnenner gebracht und können dann als gleichnamige Brüche addiert und subtrahiert werden.
Beispiele:

\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} =\dfrac{1\cdot3}{8\cdot3}+\dfrac{1\cdot2}{12\cdot2} =\dfrac{3}{24}+\dfrac{2}{24} = \dfrac{5}{24}

\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{9} =\dfrac{2\cdot3}{3\cdot3} - \dfrac{1}{9} =\dfrac{6}{9} - \dfrac{1}{9}= \dfrac{6-1}{9} = \dfrac{5}{9}

Weitere Beispiele – mehrere Brüche, gemischte Brüche und Brüche mit Variablen addieren und subtrahieren

Das Vorgehen beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen können wir mit diesen drei Schritten zusammenfassen:

  • Brüche durch Erweitern und Kürzen gleichnamig machen, d. h. auf den gleichen Nenner bringen.
  • Zähler der gleichnamigen Brüche zusammenrechnen, Nenner unverändert lassen.
  • Nach dem Addieren bzw. Subtrahieren das Ergebnis soweit wie möglich kürzen.

Dieses Vorgehen gilt genauso für das Addieren und Subtrahieren von mehr als zwei Brüchen, für gemischte Brüche, wenn Brüche mit x addiert oder subtrahiert werden sollen und in weiteren denkbaren Fällen. 

Beispiele:

Beispiel Rechnung Hinweis
mehrere Brüche addieren \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4} = \dfrac{1\cdot6}{2\cdot6}+\dfrac{2\cdot4}{3\cdot4}-\dfrac{3\cdot3}{4\cdot3} = \dfrac{6+8-9}{12}=\dfrac{5}{12} Alle drei Brüche werden auf einen Hauptnenner gebracht.
gemischte Brüche subtrahieren 2\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{3}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{8\cdot2}{3\cdot2}-\dfrac{1}{6} = \dfrac{16-1}{6}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2} Die gemischte Zahl wird zuerst in einen echten Bruch umgeschrieben.
Brüche mit ganzen Zahlen addieren \dfrac{2}{5}+3 = \dfrac{2}{5}+\dfrac{15}{5} = \dfrac{17}{5} Die ganze Zahl wird als Bruch geschrieben.
Brüche mit Variablen subtrahieren \dfrac{3}{2}x-\dfrac{2}{5}y = \dfrac{3x\cdot5}{2\cdot5}-\dfrac{2y\cdot2}{5\cdot2}=\dfrac{15x-4y}{10} Die Variable wird in den Zähler des Bruchs geschrieben.
negative Brüche addieren und subtrahieren -\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{8}=\dfrac{(-4)\cdot8}{5\cdot8}-\dfrac{7\cdot5}{8\cdot5} = \dfrac{(-32)-35}{40} = -\dfrac{67}{40} Das Minus wird bei einem negativen Bruch in den Zähler gezogen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche addieren und subtrahieren

In der Tabelle findest du verschiedene Beispiele zur Addition von Brüchen.

Brüche, bei denen die Nenner ungleich sind, addierst du, indem du sie zunächst durch Erweitern oder Kürzen auf einen Hauptnenner bringst.

Du wandelst die gemischten Brüche zunächst in echte Brüche um und bringst sie dann auf einen Hauptnenner. 

Alle drei Brüche werden auf einen Hauptnenner gebracht und dann die Zähler addiert, der Nenner bleibt unverändert.

Eine ganze Zahl kann immer auch als Bruch geschrieben werden, z. B. 5 = \frac{5}{1}. Dann kannst du diesen Bruch auf den gleichen Nenner bringen wie den Bruch, mit dem die ganze Zahl addiert werden soll, und wie gewohnt vorgehen.

Man subtrahiert einen Bruch von einem anderen, indem man beide Brüche auf einen Nenner bringt und dann die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.

Alle drei Brüche werden auf einen Hauptnenner gebracht und dann die Zähler subtrahiert, der Nenner bleibt unverändert.

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