Transformation Mathe – Definition, Grundlagen und Beispiele

Entdecke die Vielfalt der Transformationen in Analysis und Geometrie. Strecke, stauche und verschiebe Funktionen, oder erkunde Spiegelungen und Drehungen von geometrischen Figuren. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Transformation Mathe

Transformation Mathe im Überblick

  • Transformationen begegnen dir in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik.
  • In der Analysis bezeichnet man die Streckung, Stauchung und Verschiebung des Funktionsgraphen mithilfe von Parametern als Transformation.
  • In der Geometrie werden Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und Streckungen unter dem Begriff Transformationen zusammengefasst.
  • Übergangsmatrizen zeigen Transformationen verschiedener Zustände mit ihren Einträgen auf.
Transformation Mathe: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Transformationen von Funktionen – Grundlagen und Formeln

In der Analysis kannst du Funktionen mithilfe von Parametern transformieren. Bei der Transformation von Funktionen wird unterschieden in:

  • Verschiebung in x-Richtung,
  • Verschiebung in y-Richtung und
  • Streckung und Stauchung.

Verschiebung einer Funktion in x-Richtung

Betrachte beispielhaft die Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x)=x^{2}.
Möchtest du diese in Richtung der x-Achse verschieben, kannst du dies tun, indem du

  • zu x einen entsprechenden Wert addierst, um die Funktion nach links zu verschieben,
  • oder von x einen entsprechenden Wert subtrahierst, um die Funktion nach rechts zu verschieben.

Dies kannst du nicht nur mit der Normalparabel machen, sondern mit allen Funktionen. Allgemein formuliert bedeutet das:
Eine Funktion f(x) wird durch eine Verschiebung des Funktionsgraphen um c Einheiten in x-Richtung zu der Funktion f(x-c) transformiert. Die Konstante c nimmt entsprechend der Verschiebungsrichtung positive oder negative Werte an. Ist c > 0, liegt eine Verschiebung um |c| Einheiten nach rechts vor. Ist c < 0, handelt es sich um eine Verschiebung um |c| Einheiten nach links.

Zurück zum Beispiel der Normalparabel: Die Funktionsgleichung der Normalparabel, die um eine Einheit nach rechts auf der x-Achse verschoben ist, lautet also f(x)=(x-1)^{2}.
Entsprechend lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel, die um eine Einheit nach links verschoben ist, f(x)=(x+1)^{2}.

Normalparabel auf der x-Achse verschoben

Verschiebung einer Funktion in y-Richtung

Du kannst eine Funktion auch in Richtung der y-Achse verschieben. Dafür

  • addierst du einen Wert zur Funktionsgleichung, um die Funktion nach oben zu verschieben,
  • oder subtrahierst den Wert, wenn die Funktion nach unten verschoben werden soll.

Eine Funktion f(x) wird durch eine Verschiebung des Funktionsgraphen um c Einheiten in y-Richtung zu der Funktion f(x)+c transformiert. Ist c > 0, wird der Funktionsgraph nach oben verschoben, für c < 0 nach unten.

Zum Beispiel ist die Normalparabel auf dem folgenden Bild um eine Einheit nach unten verschoben und ihre Funktionsgleichung lautet f(x)=x^{2}-1.

Normalparabel auf der y-Achse verschoben

Streckung und Stauchung von Funktionen

Bei der Streckung bzw. Stauchung einer Funktion wird zwischen zwei Fällen unterschieden:
Die Streckung/Stauchung in y-Richtung: c \cdot f(x)
Die Streckung/Stauchung in x-Richtung: f(c \cdot x)

Bei der Streckung bzw. Stauchung in y-Richtung wird der gesamte Funktionsterm mit der Konstante c multipliziert, während bei der Streckung bzw. Stauchung in x-Richtung nur der x-Wert mit der Konstanten c multipliziert wird.

Dabei gilt für f(c \cdot x):

  • Ist \vert c \vert größer als 0 und kleiner als 1, wird der Graph in x-Richtung gestreckt.
  • Ist \vert c \vert größer als 1, wird der Graph in x-Richtung gestaucht.
  • Ist c < 0 wird der Graph an der y-Achse gespiegelt.

Und für c \cdot f(x):

  • Ist \vert c \vert größer als 0 und kleiner als 1, wird der Graph in y-Richtung gestaucht.
  • Ist \vert c \vert größer als 1, wird der Graph in y-Richtung gestreckt.
  • Ist c < 0 wird der Graph an der x-Achse gespiegelt.

Beispiel für Streckung und Stauchung in y-Richtung:

Gestauchte Parabel

Bei der Funktion f(x)=0,\!5x^{2} ist der Vorfaktor 0,\!5 und somit ist dieser kleiner als 1 und größer als 0. Die Normalparabel wird hier also um den Faktor 0,\!5 in y-Richtung gestaucht.

Gestreckte Parabel

Die Funktion f(x)=2x^{2} besitzt den Vorfaktor 2. Dieser ist größer als 1, das bedeutet, dass die Normalparabel mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt wird.

Funktionsgleichungen einer Parabel kannst du immer in die sogenannte Scheitelpunktform umformen. Anhand dieser Schreibweise kannst du die verschiedenen Parameter und somit die Transformationen direkt ablesen.

Beispiel für Streckung und Stauchung in x-Richtung:

Transformierte Sinusfunktion

Der blaue Funktionsgraph bildet die Sinusfunktion \sin(x) ab. Der orangefarbene Funktionsgraph ist eine transformierte Sinusfunktion. Diese wurde durch eine Stauchung in x-Richtung erzeugt: \sin(2x).

Weitere Transformationen in der Mathematik

Nicht nur in der Analysis gibt es Transformationen, sondern auch in der Geometrie und der Stochastik sind Transformationen zu finden. Wie diese in den unterschiedlichen Teilgebieten definiert sind, lernst du im Folgenden.

Geometrische Transformation – Mathe

In der Geometrie fasst der Begriff Transformation die folgenden Operationen zusammen:

  • Spiegelungen (Achsen- und Punktspiegelungen)
  • Drehungen
  • Verschiebungen
  • Streckungen

Diese kannst du an jeder beliebigen geometrischen Figur und ebenso in der Raumgeometrie anwenden.

So ist beispielsweise die Spiegelung dieses Dreiecks an einer Spiegelachse eine Transformation.

Achsenspiegelung als Transformation in der Mathematik

Aber auch die Streckung eines Dreiecks kann als Transformation verstanden werden.

Streckung als Transformation in der Mathematik

Transformation mit Matrizen – Mathe

Im Abitur können dir Transformationen in Mathe noch in einem weiteren Inhaltsfeld begegnen: den Übergangsmatrizen.

Sie beschreiben Zustandsveränderungen. Die einzelnen Einträge der Matrix geben die prozentualen Zu- beziehungsweise Abwanderungen an.
Stell dir vor, Z_{1}, Z_{2} und Z_{3} wären die Eisdielen deiner Stadt.
Dann würden jede Woche beispielsweise

  • 80\,\% der Kunden von Eisdiele Z_{2} bei der Eisdiele Z_{2} bleiben,
  • 10\,\% der Kunden von Eisdiele Z_{1} zu Eisdiele Z_{3} wechseln,
  • 30\,\% der Kunden von Eisdiele Z_{1} zu Eisdiele Z_{2} wechseln
  • usw.
Übergangsmatrix

Diese Zustandsveränderung lässt sich auch mit der folgenden Matrix darstellen.

\begin{pmatrix} 0\!,6 & 0,\!1 & 0,\!1\\ 0,\!3 & 0,\!8 & 0,\!2 \\0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!7 \end{pmatrix}

Transformation Mathe – Zusammenfassung und Aufgaben

In der folgenden Tabelle sind verschiedene Transformationen zusammengefasst, die dir in der Schule begegnen können.

Teilgebiet in Mathe Art der Transformation Beispiel
Analysis Streckung/Stauchung in y-Richtung
c \cdot f(x)		 f(x)=6 \cdot x^{2} / f(x)=0,5 \cdot x^{2}
Streckung/Stauchung in x-Richtung
f(c \cdot x)		 f(x)=\sin(2x)
Verschiebung in x-Richtung
f(x+c)		 f(x)=(x+5)^{2}
Verschiebung in y-Richtung:
f(x)+c		 f(x)=x^{2}-3
Geometrie Spiegelungen
Drehungen
Verschiebungen
Streckungen		 Achsenspiegelung eines Dreiecks
Matrizen Übergangsmatrizen \begin{pmatrix} 0\!,6 & 0,\!1 & 0,\!1\\ 0,\!3 & 0,\!8 & 0,\!2 \\0,\!1 & 0,\!1 & 0,\!7 \end{pmatrix}

Teste dein Wissen über die Transformationen in Mathe doch gleich an ein paar Übungen:

Welche Transformation kannst du an dieser Funktion erkennen? 

Transformierte Parabel

Es handelt sich um eine Normalparabel, die um zwei Einheiten entlang der x-Achse nach rechts verschoben wurde. Die Funktionsgleichung lautet also f(x)=(x-2)^{2}.

Und wie ist es bei folgender Funktion?

Transformierte Sinusfunktion

Die blaue Funktion ist die normale Sinusfunktion \sin(x). Der grüne Funktionsgraph ist eine um eine Einheit in y-Richtung verschobene Sinusfunktion. Ihre Funktionsgleichung lautet f(x)=sin(x)+1.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Transformation Mathe 

Transformationen kommen in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik vor und entsprechend sind diese unterschiedlich definiert. In der Analysis bezeichnet eine Transformation beispielsweise das Strecken oder Stauchen einer Funktion. In der Geometrie sind es verschiedene Operationen wie z. B. Spiegelungen und Drehungen von Figuren und in der Stochastik findest du Transformationen in Übergangsmatrizen wieder.

Wie eine Funktion transformiert wurde, kannst du berechnen, indem du die Funktionsgleichung so umschreibst, dass du die Parameter, mit denen transformiert wurde, ablesen kannst. Sie verraten dir, wie die Funktion verändert wurde.

Transformationen werden in der Geometrie verwendet , um eine Ursprungsform auf eine Bildfigur abzubilden.

Funktionen können transformiert werden. Sie können gestreckt, gestaucht und verschoben werden.

Punkte in der Ebene kannst du durch dieselben Operationen transformieren, die du auch auf Figuren im Zweidimensionalen anwendest. Durch Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und Streckungen kannst du Punkte in der Ebene transformieren.

Verschiedene Transformationen kannst du in unterschiedliche Teilgebiete der Mathematik einordnen.

Grundlegend werden in der Mathematik unter Transformationen Operationen verstanden, die etwas verändern. Das können Funktionen, Figuren oder auch Zustände sein.

Transformationen in der Vektorgeometrie sind Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen sowie Streckungen.

Zu den geometrischen Transformationen gehören die Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und Streckungen.

Transformationen können in der Praxis zum Beispiel dazu verwendet werden, um die Kundenbewegungen zwischen verschiedenen Einkaufsläden aufzuzeigen.

In der Ebene können Transformationen Spiegelungen, Drehungen, Verschiebungen und Streckungen sein.

Für die verschiedenen Transformationen von Funktionen gibt es verschiedene Formeln.

  • Verschiebung um c Einheiten in x-Richtung: f(x-c)
  • Verschiebung um c Einheiten in y-Richtung: f(x)+c
  • Streckung bzw. Stauchung: c \cdot f(x)

Die Transformationen können auch miteinander verknüpft werden, sodass eine Funktion beispielsweise sowohl gestreckt als auch verschoben wird.

Transformationen kannst du sowohl in der Analysis als auch in der Geometrie und Stochastik anwenden.

Bei Kurvendiskussionen geht es häufig darum, nachvollziehen zu können, wie der Verlauf einer Funktion ist. Dazu kann es hilfreich sein, wenn du anhand der verschiedenen Parameter erkennen kannst, wie eine einfache Ursprungsfunktion verändert wurde.

Transformationen werden im Abitur in den Themengebieten der Analysis, Raumgeometrie sowie Stochastik behandelt.

Super! Das Thema: kannst du schon! Teile deine Learnings und Fragen mit der Community!

Alle Artikel aus dem Fach Mathematik