Ganzrationale Funktionen im Überblick

  • Bei ganzrationalen Funktionen handelt es sich um einen Typ von Funktionen.

  • Die allgemeine Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen lautet:
    f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \quad \text{mit} \quad a_n \neq 0

  • Konstante, lineare, quadratische und kubische Funktionen gehören zu den ganzrationalen Funktionen.
  • Der Grad einer ganzrationalen Funktion entspricht dem größten Exponenten der Funktion und ist ein wichtiges Kriterium bei der Unterscheidung verschiedener ganzrationaler Funktionen.
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Quelle: sofatutor.com

Ganzrationale Funktionen – Definition

Als ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen werden Funktionen, deren Funktionsgleichung folgende Form hat, bezeichnet:

f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} +\cdots + a_2x^2 + a_1 x + a_0

Dabei gilt:
a_n \neq 0
Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten (n), der bei der Variablen x^n auftaucht, festgelegt. Ist n=3, handelt es sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grads.
Die Werte a_n, a_{n-1},\ldots,a_1, a_0 werden als Koeffizienten des Polynoms bezeichnet.
Die Funktionsgraphen ganzrationaler Funktionen haben je nach Grad n und den Werten der einzelnen Koeffizienten a_i mit i = 1, \ldots , n verschiedene Verläufe.

Wir definieren die ganzrationalen Funktionen stets in Abgrenzung zu gebrochen rationalen Funktionen oder anderen Funktionstypen.
Die Bezeichnung der ganzrationalen Funktionen leitet sich daraus ab, dass es sich bei den Exponenten ausschließlich um natürliche Zahlen handelt.
Werden Variablen mit Vorfaktoren und Exponenten addiert, subtrahiert oder multipliziert, sprechen wir von einem Polynom. Da bei ganzrationalen Funktionen Variablen mit Vorfaktoren und Exponenten addiert werden, sprechen wir auch von Polynomfunktionen.

Ganzrationale Funktion – Beispiel
f(x) = 9x^4 + 5x^3 - 2x^2 - 7x + 1,\!5

Ganzrationale Funktionen – Begriffe

Um die verschiedenen Begriffe zu klären, betrachten wir die folgende Beispielfunktion:

f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 0,\!5x^2 - 5x + 3

Als ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion 4. Grads wird der gesamte Ausdruck bezeichnet. Es handelt sich um eine Funktion 4. Grads, da der höchste Exponent, der bei der Variablen x auftritt, n=4 ist.
Als Koeffizienten werden die Faktoren vor den Potenzen bezeichnet, in diesem Fall also 2, -4, 0,\!5, -5 und 3. Als Leitkoeffizient wird der Faktor vor der höchsten Potenz bezeichnet, in diesem Fall ist der Leitkoeffizient 2.
Besteht eine Funktion nur aus einem Leitkoeffizienten und einer Potenz, wird sie auch als Potenzfunktion bezeichnet.

Besondere ganzrationale Funktionen

Innerhalb der ganzrationalen Funktionen werden verschiedene Arten von Funktionen herausgestellt, diese unterscheiden sich hauptsächlich durch ihren Grad.

Konstante Funktion (ganzrationale Funktion 0. Grads)

Konstante Funktionen sind unabhängig von x, da x^0 = 1 gilt. Sie werden auch als ganzrationale Funktionen 0. Grads bezeichnet. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet demnach:

f(x) = a_0

Konstante Funktionen verlaufen parallel zur x-Achse und schneiden die y-Achse an der Stelle a_0.

Beispiel
f(x) = 2

Ganzrationale Funktion 0.Grades

Lineare Funktion (ganzrationale Funktion 1. Grads)

Bei linearen Funktionen handelt es sich um ganzrationale Funktionen 1. Grads. Die Variable x kommt nur mit der Potenz 1 vor, es gilt: x^1 = x. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f(x) = mx + b

Hierbei entspricht m=a_1 und b = a_0.
Lineare Funktionen haben die Steigung m und schneiden die y-Achse an der Stelle b (y-Achsenabschnitt).

Beispiel
f(x) = 2x - 10

Ganzrationale Funktion 1.Grades

Quadratische Funktion (ganzrationale Funktion 2. Grads)

Bei quadratischen Funktionen handelt es sich um ganzrationale Funktionen 2. Grads. Ihr Funktionsgraph verläuft als Parabel. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f(x) = ax^2 + bx + c

Hierbei entspricht a=a_2, b = a_1 und c=a_0.

Beispiel
f(x) = -2x^2 + 4x + 6

ganzrationale Funktion 2.Grades

Kubische Funktion (ganzrationale Funktion 3. Grads)

Ganzrationale Funktionen 3. Grads werden als kubische Funktionen bezeichnet. Ihre allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Beispiel
f(x) = x^3 - 3x + 2

ganzrationale Funktion 3.Grades

Ganzrationale Funktion (ganzrationale Funktion 4. Grads)

Für ganzrationale Funktionen 4. Grads gibt es keinen speziellen Namen. Ihre allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0

Beispiel
f(x) = x^4 - 2x^2

ganzrationale Funktion 4.Grades

Ganzrationale Funktion – Eigenschaften und Funktionsuntersuchung

Die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen unterscheiden sich je nachdem, welchen Grad die Funktion hat. Dieser muss bei der Untersuchung einer ganzrationalen Funktion oder bei Kurvendiskussionen immer beachtet werden.

Ganzrationale Funktion – Symmetrie

Achsensymmetrie
Für achsensymmetrische Funktionen gilt:
f(x) = f(-x)
Ganzrationale Funktionen sind achsensymmetrisch, wenn sie nur gerade Exponenten besitzen.

Beispiel: f(x) = 3x^6 + 2x^4 - 5x^2 + 4
f(-x) = 3(-x)^6 + 2(-x)^4 - 5(-x)^2 + 4 = 3x^6 + 2x^4 - 5x^2 + 4 = f(x)

Punktsymmetrie
Für punktsymmetrische Funktionen gilt:
f(-x) = -f(x)
Ganzrationale Funktionen sind punktsymmetrisch, wenn sie nur ungerade Exponenten besitzen.

Beispiel:
f(x) = -3x^5 + 2x^3 - 6x
f(-x) = -3(-x)^5 + 2(-x)^3 -6(-x) = 3x^5 - 2x^3 + 6x = -f(x)

Ganzrationale Funktion – Grenzwerte

Der Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten a_n bestimmen die Grenzwerte, also das Verhalten im Unendlichen, einer ganzrationalen Funktion.

Gerader Grad
Ganzrationale Funktionen mit einem geraden Grad ähneln, was ihren Verlauf im Unendlichen angeht, einer Parabel. Wir unterscheiden dabei zwei Möglichkeiten:

Vorzeichen Leitkoeffizient Grenzwert
Leitkoeffizient a_n mit positivem Vorzeichen
\rightarrow~ Funktion ist nach oben geöffnet.
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
Leitkoeffizient a_n mit negativem Vorzeichen
\rightarrow~ Funktion ist nach unten geöffnet.
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Ungerader Grad
Ganzrationale Funktionen mit einem ungeraden Grad ähneln im Unendlichen dem Verlauf einer Geraden. Auch hier beeinflusst das Vorzeichen des Leitkoeffizienten das Verhalten im Unendlichen.

Vorzeichen Leitkoeffizient Grenzwert
Leitkoeffizient a_n mit positivem Vorzeichen
\rightarrow~ steigende Gerade
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
Leitkoeffizient a_n mit negativem Vorzeichen
\rightarrow~ fallende Gerade
\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty
\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Ganzrationale Funktion – Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer Funktion berechnen wir immer, indem wir diese gleich null setzt:

f(x) = 0

Je nach Grad der Funktion wird diese auf verschiedene Weisen aufgelöst:

Auf die genaue Berechnung der Nullstellen wird im Text Nullstellen berechnen eingegangen.

Allgemein gilt: Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion ist kleiner oder gleich dem Grad der Funktion. Eine ganzrationale Funktion 4. Grads kann also maximal vier Nullstellen besitzen. Außerdem hat eine ganzrationale Funktion mit ungeradem Grad stets mindestens eine Nullstelle, ganzrationale Funktionen mit geradem Grad können auch keine Nullstellen haben.

Ganzrationale Funktion – Extrema

Um die Extremstellen (Minimum, Maximum und Sattelpunkte) einer ganzrationale Funktion zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Erste Ableitung bilden
  • Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
  • Zugehörige y-Werte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion ermitteln
  • Art der Extrempunkte durch Einsetzen in die zweite Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium bestimmen

Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann maximal n-1 Extrempunkte besitzen.

Eine genaue Erklärung zum Bilden der Ableitung findest du im Text zu den Ableitungsfunktionen.

Ganzrationale Funktion – Wendepunkte

Um die Wendepunkte einer ganzrationale Funktion zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Zweite Ableitung bilden
  • Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen
  • Zugehörige y-Werte durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion ermitteln
  • Art der Wendepunkte durch Einsetzen in die dritte Ableitung oder das Vorzeichenwechselkriterium bestimmen

Es gilt: Jede ganzrationale Funktion mit einem ungeraden Grad größer gleich drei hat mindestens einen Wendepunkt.
Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann maximal n-2 Wendepunkte besitzen.

Rekonstruktion von ganzrationalen Funktionen

Rekonstruktion bedeutet, dass aus gegebenen Informationen über die Funktion (z. B. Nullstellen, Extremstellen, Symmetrie …) die Funktionsgleichung aufgestellt wird. Die wichtigste Information ist dabei der Grad der Funktion. Mithilfe des Grads kann die allgemeine Funktionsgleichung aufgestellt werden. Erst dann kann die Rekonstruktion richtig beginnen.

Mit der Symmetrie kann eine Aussage über die Exponenten der Funktion getroffen werden:

  • Achsensymmetrisch ~\rightarrow~ nur gerade Exponenten
  • Punktsymmetrisch ~\rightarrow~ nur ungerade Exponenten

Es können auch Punkte, die auf dem Graphen liegen, gegeben sein:

  • Ist der Punkt P(p_x \vert p_y) gegeben, gilt:
    f(p_x) = p_y
  • Geht der Graph durch den Ursprung, dann gilt:
    f(0) = 0

Sind Informationen über Extrempunkte, die Steigung oder eine Tangente gegeben, muss immer mit der ersten Ableitung gearbeitet werden, da mit dieser die Steigung ganzrationaler Funktionen berechnet wird:

  • Liegt an der Stelle x = x_m eine Extremstelle (Maximum oder Minimum), gilt:
    f^\prime(x_m) = 0
  • Besitzt der Graph an der Stelle x = x_s die Steigung m, gilt:
    f^\prime(x_s) = m
  • Hat die Funktion an der Stelle x = x_t eine Tangente mit der Funktionsgleichung y = mx + n, gilt:
    f^\prime (x_t) = m

Sind Informationen über Wendestellen gegeben, muss mit der zweiten Ableitung gearbeitet werden:

  • Liegt an der Stelle x = x_w eine Wendestelle, gilt:
    f^{\prime \prime} (x_w) = 0
  • Hat die Funktion an der Stelle x = x_t eine Wendetangente mit der Funktionsgleichung y = mx + n, gilt:
    f^{\prime \prime} (x_t) = 0 und f^\prime (x_t) = m

Rekonstruktion – Beispielrechnung

Gegebene Informationen
Eine Funktion 3. Grads schneidet die x-Achse bei x=-2 und die y-Achse bei y=2. Sie hat einen Hochpunkt bei H(-1 \vert 4).

Vorgehensweise
Mithilfe dieser Informationen können wir schrittweise die Funktionsgleichung aufstellen.

Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grads aufstellen:

  • f(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
  • f^\prime(x) = 3a_3 x^2 + 2a_2 x + a_1

f schneidet die y-Achse bei y=2:

  • Es gilt:
    f(0) = 2
  • Daraus folgt:
    f(0) = a_3 \cdot 0^3 + a_2 \cdot 0^2 + a_1 \cdot 0 + a_0 = a_0 ~ \Rightarrow~ a_0 = 2

f schneidet die x-Achse bei x=-2:

  • Es gilt:
    f(-2) = 0
  • Daraus folgt:
    -8a_3 + 4a_2 - 2 a_1 + 2 = 0

f hat einen Hochpunkt bei H(-1 \vert 4):

  • Es gilt:
    f(-1) = 4
  • Daraus folgt:
    -a_3 + a_2 - a_1 + 2 = 4
  • Und es gilt:
    f^\prime(-1) = 0
  • Daraus folgt:
    3a_3 - 2a_2 + a_1 = 0

Aus den damit erhaltenen Gleichungen kann ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen aufgestellt werden. So können die Werte für a_3, a_2 und a_1 berechnet werden:

a_3 = 1
a_2 = 0
a_1 = -3

Funktionsgleichung aufstellen
Setzen wir diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein, erhalten wir die gesuchte ganzrationale Funktion. Diese lautet:

f(x) = x^3 - 3x + 2

Rekonstruktion – Aufgabe: ganzrationale Funktion aufstellen

Es soll die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion mit den folgenden Eigenschaften bestimmt werden:

Eine Funktion 3. Grads schneidet die y-Achse bei y=-3. Sie hat einen Hochpunkt bei H(-1 \vert -1). Zudem ist a_3 = 2.

Lösung
Allgemeine Funktionsgleichung einer Funktion 3. Grads mit a_3 = 2 aufstellen:

  • f(x) = 2 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
  • f^\prime(x) = 6 x^2 + 2a_2 x + a_1

Graph schneidet die y-Achse bei y=-3:

  • Es gilt:
    f(0) = -3
  • Daraus folgt:
    f(0) = 2 \cdot 0^3 + a_2\cdot 0^2 + a_1\cdot 0 + a_0 = a_0 ~ \Rightarrow ~ a_0 = -3

Hochpunkt bei H(-1 \vert -1)

  • Es gilt:
    f(-1) = -1
  • Daraus folgt:
    -2 + a_2 - a_1 - 3 = -1
  • Und es gilt:
    f^\prime(-1) = 0
  • Daraus folgt:
    6 - 2a_2 + a_1 = 0

Aus den damit erhaltenen Gleichungen kann ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen aufgestellt werden. So können die Werte für a_2 und a_1 berechnet werden:

a_2 = 2
a_1 = -2

Setzen wir diese Werte in die allgemeine Formel ein, erhalten wir die gesuchte ganzrationale Funktion. Diese lautet:

f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3

Ganzrationale Funktionen – Gegenbeispiele

Beispiele für ganzrationale Funktionen hast du bereits kennengelernt. Nicht zu den ganzrationalen Funktionen gehören:

  • die Exponentialfunktionen (f(x) = b \cdot a^x),
  • die Wurzelfunktionen (f(x) = \sqrt[n]{x}),
  • die trigonometrischen Funktionen (f(x) = \sin(x), f(x) = \cos(x) und f(x) = \tan(x)) und
  • die gebrochen rationalen Funktionen (f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}).

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganzrationale Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen handelt es sich um Funktionen der Form f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdot + a_2x^2 + a_1 x + a_0, wobei a_n \neq 0 ist. Der größte Exponent bestimmt dabei den Grad der Funktion. Die Funktion f(x) = 2x^3 + 2x^2 - 2x - 3 ist beispielsweise eine ganzrationale Funktion 3. Grads.

Die Funktionen heißen ganzrational, weil die Exponenten der Variablen natürliche Zahlen sind.

Die Eigenschaften ganzrationaler Funktionen werden durch ihren Grad und die Exponenten der Variablen x bestimmt. So gibt es achsensymmetrische ganzrationale Funktionen (nur gerade Exponenten), punktsymmetrische ganzrationale Funktionen (nur ungerade Exponenten), aber auch ganzrationale Funktionen, die gar nicht symmetrisch sind.
Die Anzahl der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion entspricht maximal dem Grad der Funktion.

Eine ganzrationale Funktion ist dann punktsymmetrisch, wenn die Variable x ausschließlich mit ungeraden Exponenten vorkommt.

Die Grenzwerte ganzrationaler Funktionen werden durch den Grad und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten bestimmt. Wir unterscheiden dabei zwischen einem geraden und ungeraden Grad und zwischen einem positiven und einem negativen Leitkoeffizienten. 

An der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion lässt sich zunächst der Grad ablesen. Auch die Symmetrie ist schon an der Funktionsgleichung ablesbar, ebenso wie das Verhalten im Unendlichen.

Eine ganzrationale Funktion besitzt ausschließlich natürliche Zahlen als Exponenten der Variablen und reelle Zahlen als Vorfaktoren. Zudem werden die einzelnen Terme nur addiert, subtrahiert oder multipliziert und haben immer die Form f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdot + a_2x^2 + a_1 x + a_0 mit a_n \neq 0.

Ganzrationale Funktionen werden wie andere Funktionsarten nach den Ableitungsregeln abgeleitet. Beim Ableiten ganzrationaler Funktionen spielen die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel eine Rolle.

Exponentialfunktionen, Wurzelfunktionen, trigonometrische Funktionen und gebrochen rationale Funktionen gehören beispielsweise nicht zu den ganzrationalen Funktionen.

Eine gebrochen rationale Funktion ist ein Bruch, bei dem im Zähler und im Nenner jeweils eine ganzrationale Funktion steht. Das heißt, eine gebrochen rationale Funktion ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen.

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