Quadratzahlen in der Mathematik – Definition und Erklärung

Quadratzahlen sind das Produkt einer Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird. Erfahre, wie man Quadratzahlen berechnet, ihre Eigenschaften, und warum es wichtig ist, sie zu lernen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Quadratzahlen

Quadratzahlen im Überblick

  • Quadratzahlen sind wichtige Zahlen in der Mathematik, die in vielen Formeln, wie zum Beispiel den binomischen Formeln, zu finden sind.

  • Quadratzahlen sind das Produkt einer Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird.

  • Die kleinste Quadratzahl ist 1, denn 1 \cdot 1 = 1. Die nächste Quadratzahl ist 4, da 2 \cdot 2 = 4. Weitere Beispiele für Quadratzahlen sind 9, 16 und 25.
  • Wenn die Wurzel aus einer Quadratzahl gezogen wird, ist das Ergebnis wieder die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wurde. Man nennt diesen Vorgang Gegenoperation.

Quadratzahlen: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

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Quadratzahlen berechnen

Wird eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert, wird das Ergebnis Quadratzahl genannt, zum Beispiel 2 \cdot 2 = 2^2 = 4. Diese Zahlen wurden so genannt, weil der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlängen a \in\mathbb{N} immer eine Quadratzahl a \cdot a = a^2 ist. Die Rechenoperation heißt quadrieren.

In der Grundschule werden Quadratzahlen unter dem Operationsbegriff Multiplikation eingeführt und als Flächeninhalt von Quadraten verstanden und mit Punkteblättchen gelegt. Zum Beispiel besteht dieses Quadrat aus 5 \cdot 5 = 5^2 = 25 Flächeneinheiten.

Quadratzahlen berechnen

Die ersten Quadratzahlen lauten:
1^2 = 1 \cdot 1 = 1
2^2 = 2 \cdot 2 = 4
3^2 = 3 \cdot 3 = 9
4^2 = 4 \cdot 4 = 16
5^2 = 5 \cdot 5 = 25

Tabelle der Quadratzahlen bis 25^2

Hier siehst du die Zahlen bis 25 mit den zugehörigen Quadratzahlen.

n n^2
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400
21 441
22 484
23 529
24 576
25 652

Diese Liste der Quadratzahlen lässt sich unendlich weiterführen. Man sagt, die Menge aller Quadratzahlen ist unendlich.

Quadratzahlen des großen Einmaleins

Quadratzahlen bis 20^2 lassen sich auch mit den Zahlen des großen Einmaleins bilden. Beispiele: 11^2= 121 oder 18^2 = 324.

Eigenschaften von Quadratzahlen

Wir wollen nun wichtige und interessante Eigenschaften von Quadratzahlen betrachten.

    • Gerade und ungerade Quadratzahlen
      Eine Quadratzahl n^2 ist genau dann gerade, wenn auch n gerade ist.
      Beispiel: 8^2 = 64
      Wenn n ungerade ist, ist auch die Quadratzahl n^2 ungerade.
      Beispiel: 9^2 = 81
    • Quadratzahl und Quadratwurzel
      Die Gegenoperation zu Quadratzahlen ist die Quadratwurzel. Dabei gilt der Zusammenhang: \sqrt{n^2} = n
    • Quadrat der Null
      Die Zahl 0 spielt immer eine besondere Rolle, den 0^2 = 0. Deshalb ist \sqrt{0} = 0.
    • Quadratzahl als Flächeninhalt
      Bei der Flächeninhaltsberechnung müssen Quadratzahlen umgerechnet werden. Zum Beispiel ist ein Quadratmeter 1~\text{cm}^2 = 100~\text{mm}^2 oder 1~\text{cm}^2 = 100~\text{mm}^2.
    • Rechnen mit Quadratzahlen
      Wenn du Quadratzahlen multiplizieren möchtest, gelten die Regeln zur Potenzrechnung. Quadratzahlen sind Potenzen mit Exponenten. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basen multipliziert und die Exponenten beibehalten werden:
      n^2 \cdot m^2 = (n \cdot m)^2
      Beispiel: 5^2 \cdot 2^2 = (5 \cdot 2)^2 = 10^2 = 100
      Formel für Quadratzahlen:
      Jede Quadratzahl lässt sich mit der rekursiven Formel darstellen. Sie lautet:
      n^2=(n-1)^2+2(n-1)+1 mit n^2 = 1 für n = 1
      Wenn z. B. für n = 3 eingesetzt wird, ergibt sich:
      3^2 = (3-1)^2 + 2(3-1)+1 = 2^2 + 2\cdot2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9
    • Summe von Quadratzahlen
      Es gibt eine Summenformel für Quadratzahlen, mit der die Summe aller Quadratzahlen von 1 bis n berechnet werden kann. Sie lautet:
      \sum\limits_{i = 1}^{n} i^2 = \dfrac{n \cdot (n+1)(2n+1)}{6}
      Die Formel ist besonders nützlich, wenn du die Summe für hohe Quadratzahlen bestimmen möchtest.
      Beispiel: Die Summe der Quadratzahlen bis n = 3 ist: 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14. Wenn du für n = 3 in die Formel einsetzt, erhältst du das gleiche Ergebnis:
      \dfrac{(3 (3+1)(2 \cdot 3+1))}{6} = \dfrac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14

Quadratzahlen lernen

Die Quadratzahlen bis 100 auswendig zu lernen, ist sinnvoll, weil sie in vielen Formeln (z. B. im Satz des Pythagoras oder den binomischen Formeln) enthalten sind. Alle Quadratzahlen erhältst du mit der allgemeinen Formel:

  • n^2 = n \cdot n mit n \in \mathbb{N}
  • Um die ersten Quadratzahlen zu lernen, kannst du dir kleine Reime als Eselsbrücke oder Merksätze ausdenken. Beispiele:
  • 1 \cdot 1 = 1 – „Das ist mehr als keins.“
  • 2 \cdot 2 = 4 – „Manchmal wär ich gern ein Tier.“
  • 3 \cdot 3 = 9 – „Über Mathe kann man sich freu’n!“

Tipps zum Lernen und Erkennen von Quadratzahlen

Quadratzahlen erkennst du, indem du überprüfst, ob sie mit den Zahlen 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 enden. Es gilt, dass Quadratzahlen nie mit der Zahl 2, 3, 7 oder 8 enden, da es keine einstelligen Zahlen gibt, die mit sich selbst multipliziert mit einer 2, 3, 7 oder 8 enden.

Wenn du große Quadratzahlen berechnen möchtest, kannst du sie zerlegen und mithilfe der binomischen Formel berechnen.
Beispiel: 26^2 = (20 + 6)^2 = 20^2 + 2 \cdot 20 \cdot 6 + 6^2 = 400 + 240 +36 = 676

Es gibt einen einfachen Trick, wie du große zweistellige Quadratzahlen mit einer 5 am Ende berechnen kannst. Du nimmst zum Beispiel 75^2 = ~?.

Du schaust dir die Zehnerstelle deiner zu quadrierten Zahl an und multiplizierst sie mit der nächsten natürlichen Zahl. Im Beispiel hier 7 \cdot 8 = 56. Die zweite Zahl 5 wird quadriert 5 \cdot 5 = 25. Diese zwei Ergebnisse werden hintereinander geschrieben und du erhältst das Endergebnis 75^2 = 5\,625.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratzahlen

Eine Quadratzahl ist das Ergebnis der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst.

Natürliche Zahlen werden quadriert, das heißt mit sich selbst multipliziert.

Alle Zahlen, die als Flächeninhalt eines Quadrates mit ganzzahliger Seitenlänge dargestellt werden können, nennt man Quadratzahlen. Sie sind das Produkt einer natürlichen Zahl mit sich selbst.

Die Quadratzahlen bis 25 sind:
1^2 = 1
2^2 = 2
3^2 = 9

25^2 = 625
Die kleinste vierstellige Quadratzahl ist 32^2 = 1\,024 (da 31^2 = 961) und die größte vierstellige Quadratzahl ist 99^2= 9\,801 (da 100^2 = 10\,000).

Quadratzahlen enden immer mit den Ziffern 0, 1, 4, 5, 6 oder 9. Wenn sich aus der Zahl die Wurzel ziehen lässt, ist es eine Quadratzahl.

Quadratische Zahlen werden im Kopf z. B. mithilfe der binomischen Formel berechnet.

Nein, es gibt auch ungerade Quadratzahlen, z. B. 3^2 = 9.
Allgemein gilt:

  • Wenn n gerade ist, dann ist auch n^2 gerade.
  • Wenn n ungerade ist, ist auch n^2 ungerade.

Am besten lernst du die Quadratzahlen, indem du sie mithilfe von Merksätzen auswendig lernst oder zusammen mit dem großen Einmaleins übst.

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