Quadratzahlen in der Mathematik – Definition und Erklärung

Wird eine natürliche Zahl mit sich selbst multipliziert, wird das Ergebnis Quadratzahl genannt, zum Beispiel . Diese Zahlen wurden so genannt, weil der Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlängen immer eine Quadratzahl ist. Die Rechenoperation heißt quadrieren.

In der Grundschule werden Quadratzahlen unter dem Operationsbegriff Multiplikation eingeführt und als Flächeninhalt von Quadraten verstanden und mit Punkteblättchen gelegt. Zum Beispiel besteht dieses Quadrat aus Flächeneinheiten.

Die ersten Quadratzahlen lauten:

Hier siehst du die Zahlen bis mit den zugehörigen Quadratzahlen.

Diese Liste der Quadratzahlen lässt sich unendlich weiterführen. Man sagt, die Menge aller Quadratzahlen ist unendlich.

Quadratzahlen bis lassen sich auch mit den Zahlen des großen Einmaleins bilden. Beispiele: oder .

Wir wollen nun wichtige und interessante Eigenschaften von Quadratzahlen betrachten.

• • Gerade und ungerade Quadratzahlen
    Eine Quadratzahl ist genau dann gerade, wenn auch gerade ist.
    Beispiel:
    Wenn ungerade ist, ist auch die Quadratzahl ungerade.
    Beispiel:
  • Quadratzahl und Quadratwurzel
    Die Gegenoperation zu Quadratzahlen ist die Quadratwurzel. Dabei gilt der Zusammenhang:
  • Quadrat der Null
    Die Zahl spielt immer eine besondere Rolle, den . Deshalb ist .
  • Quadratzahl als Flächeninhalt
    Bei der Flächeninhaltsberechnung müssen Quadratzahlen umgerechnet werden. Zum Beispiel ist ein Quadratmeter oder .
  • Rechnen mit Quadratzahlen
    Wenn du Quadratzahlen multiplizieren möchtest, gelten die Regeln zur Potenzrechnung. Quadratzahlen sind Potenzen mit Exponenten. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem die Basen multipliziert und die Exponenten beibehalten werden:
    
    Beispiel:
    Formel für Quadratzahlen:
    Jede Quadratzahl lässt sich mit der rekursiven Formel darstellen. Sie lautet:
    mit für
    Wenn z. B. für eingesetzt wird, ergibt sich:
    
  • Summe von Quadratzahlen
    Es gibt eine Summenformel für Quadratzahlen, mit der die Summe aller Quadratzahlen von bis berechnet werden kann. Sie lautet:
    
    Die Formel ist besonders nützlich, wenn du die Summe für hohe Quadratzahlen bestimmen möchtest.
    Beispiel: Die Summe der Quadratzahlen bis ist: . Wenn du für in die Formel einsetzt, erhältst du das gleiche Ergebnis:
    

Die Quadratzahlen bis auswendig zu lernen, ist sinnvoll, weil sie in vielen Formeln (z. B. im Satz des Pythagoras oder den binomischen Formeln) enthalten sind. Alle Quadratzahlen erhältst du mit der allgemeinen Formel:

• mit
• Um die ersten Quadratzahlen zu lernen, kannst du dir kleine Reime als Eselsbrücke oder Merksätze ausdenken. Beispiele:
• – „Das ist mehr als keins.“
• – „Manchmal wär ich gern ein Tier.“
• – „Über Mathe kann man sich freu’n!“

Quadratzahlen erkennst du, indem du überprüfst, ob sie mit den Zahlen oder enden. Es gilt, dass Quadratzahlen nie mit der Zahl oder enden, da es keine einstelligen Zahlen gibt, die mit sich selbst multipliziert mit einer oder enden.

Wenn du große Quadratzahlen berechnen möchtest, kannst du sie zerlegen und mithilfe der binomischen Formel berechnen.
Beispiel:

Es gibt einen einfachen Trick, wie du große zweistellige Quadratzahlen mit einer am Ende berechnen kannst. Du nimmst zum Beispiel .

Du schaust dir die Zehnerstelle deiner zu quadrierten Zahl an und multiplizierst sie mit der nächsten natürlichen Zahl. Im Beispiel hier . Die zweite Zahl wird quadriert . Diese zwei Ergebnisse werden hintereinander geschrieben und du erhältst das Endergebnis .