Lineare Funktionen im Überblick

  • In linearen Funktionen kommt x nur in der ersten Potenz vor.
  • Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
  • Die Funktionsgleichung linearer Funktionen hat die Form:
    f(x) = m \cdot x + b

  • Die Steigung m gibt an, wie steil der Graph der Funktion verläuft.
  • Der y-Achsenabschnitt b gibt den Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der y-Achse an.

Lineare Funktion Definition: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Lineare Funktion – Definition

Lineare Funktionen (Geradengleichungen) sind in Mathe Funktionen, in denen x nur in der ersten Potenz vorkommt. Die Funktionsgraphen linearer Funktionen sind Geraden im Koordinatensystem. Sie können steigen, fallen oder waagerecht verlaufen.

Lineare Funktion – Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form:

f(x) = m \cdot x + b

Dabei ist:

  • m: die Steigung der Geraden
  • b: der y-Achsenabschnitt

Normalerweise werden Funktionen immer f(x) genannt. Dabei steht f(x) für den Funktionswert, also y. Wir können aus diesem Grund auch schreiben:

y = m \cdot x + b

Jeder Funktionsterm, der in dieser Form dargestellt werden kann, beschreibt eine lineare Funktion.

Beispiele:

Lineare Funktionen – Steigung

Die Steigung m gibt an, wie stark eine Gerade im Koordinatensystem steigt oder fällt. Wir unterscheiden dabei drei Möglichkeiten:

  • m > 0: Die Gerade steigt.
  • m < 0: Die Gerade fällt.
  • m = 0: Die Gerade verläuft waagerecht.

Die Beispielfunktion f(x) = 2x + 3 hat eine positive Steigung (m=2) und steigt somit.

Die Steigung einer linearen Funktion lässt sich mithilfe eines Steigungsdreiecks direkt am Funktionsgraphen bestimmen. Dazu werden zunächst zwei beliebige Punkte auf der Geraden gewählt. Nun kann das Steigungsdreieck eingezeichnet werden. Dafür ziehen wir eine Linie vom linken Punkt waagerecht nach rechts bis zur x-Koordinate des rechten Punkts. Dann zeichnen wir eine zweite Linie von dort senkrecht nach oben oder unten zum zweiten Punkt auf der Geraden. Die beiden Linien ergeben zusammen mit dem Funktionsgraphen das Steigungsdreieck.

Steigung einer linearen Funktion

Quelle sofatutor.com

Die Steigung m ergibt sich nun als Quotient aus der Länge der senkrechten Linie und der Länge der waagerechten Linie. Für die Berechnung der Steigung einer linearen Funktion ergibt sich somit die Formel:

m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Dabei sind x_1 und y_1 die Koordinaten des ersten Punkts und x_2 und y_2 die Koordinaten des zweiten Punkts.

Beispiel:
Im oben dargestellten linearen Funktionsgraphen sind die Punkte P_1(6 \vert 3) und P_2(15 \vert 6) markiert. Um die Steigung der Funktion zu berechnen, setzen wir die Koordinaten in die Formel zur Berechnung von m ein und erhalten:

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{6 - 3}{15 - 6} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}

Die Steigung der oben dargestellten Funktion beträgt also m=\frac{1}{3}.

Lineare Funktionen – y-Achsenabschnitt b berechnen

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert, an dem eine Gerade die y-Achse schneidet. Jede lineare Funktion besitzt genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse. Da es sich um einen Punkt handelt, hat dieser Schnittpunkt auch einen x-Wert. Dieser ist immer 0. Bei b handelt es sich um den y-Wert des Schnittpunkts.
Der y-Achsenabschnitt linearer Funktionen kann in vielen Fällen am Graphen abgelesen werden. Er lässt sich aber auch rechnerisch bestimmen, wenn die Steigung gegeben ist. Dafür setzen wir die Steigung m sowie die x– und y-Koordinaten eines Punkts auf der Geraden in die Geradengleichung ein. Indem wir die Gleichung nach b umstellen, erhalten wir den y-Achsenabschnitt.

\begin{array}{rcll} y & = & m \cdot x + b & \vert -m \cdot x\\ y - m \cdot x & = & b & \\ \end{array}

\Righarrow \quad b = y - m \cdot x

Beispiel:
Setzen wir P_1 und die berechnete Steigung der oben dargestellten Funktion ein, erhalten wir also y-Achsenabschnitt:

b = y - m \cdot x = 3 - \dfrac{1}{3} \cdot 6 = 3 - 2 = 1

Den berechneten Wert für b können wir mit dem Funktionsgraphen vergleichen und sehen, dass dieser die y-Achse bei y=1 schneidet.

Lineare Funktionen – Nullstellen

Die Stelle, an der ein Graph die x-Achse schneidet, wird Nullstelle genannt. Eine Gerade besitzt maximal eine Nullstelle. Um diese Nullstelle x_0 zu berechnen, setzen wir in die Funktionsgleichung für y die 0 ein, da an der Nullstelle y immer den Wert 0 hat.

0 = m \cdot x_0 + b

Stellen wir diese Gleichung nach x_0 um, erhalten wir:

\begin{array}{rcll} 0 & = & m \cdot x_0 + b & \vert -b\\ -b & = & m \cdot x_0 & \vert :m \\ -\frac{b}{m} & = & x_0 & \\ \end{array}

\Righarrow \quad x_0 = -\dfrac{b}{m}

Die Nullstelle liegt also immer bei -\frac{b}{m}.
Da Nullstellen Punkte sind, können diese in der Form (x_0 \vert 0) angegeben werden.

Hinweis: Für waagrechte Geraden mit m = 0 ist der Term nicht definiert. Diese haben keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.

Beispiel:
Betrachten wir noch einmal die oben dargestellte Funktion. Setzen wir m und b in die Formel für die Nullstelle ein, erhalten wir für x_0:

x_0 = -\dfrac{1}{\frac{1}{3}} = -3

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x_0 = -3.

Lineare Funktionen – Gleichung aufstellen

Ist der Graph einer Funktion gegeben, dann lässt sich mithilfe der Punkt-Steigungs-Form die Funktionsgleichung des Graphen der linearen Funktion aus zwei Punkten bestimmen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:

  • Wähle zwei Punkte, die auf der Gerade liegen.
  • Berechne die Steigung des Graphen mithilfe der Formel:
    m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
  • Die berechnete Steigung und die x– und y-Werte eines Punkts setzt du nun in die Funktionsgleichung y = m \cdot x + b ein und stellst diese nach b um.
  • Im letzten Schritt setzt du die berechneten Werte für m und b in die allgemeine Funktionsgleichung f(x) = m \cdot x + b ein.

Beispiel:
Betrachten wir den Graphen einer linearen Funktion.

Lineare Funktion - Gleichung aufstellen

Auf der Geraden sind bereits die zwei Punkte P_1(0 \vert 3) und P_2(5 \vert 13) markiert. Diese setzen wir in die Steigungsformel ein, um m zu ermitteln.

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{13 - 3}{5 - 0} = \dfrac{10}{5} = 2

Nun können wir die berechnete Steigung und die Koordinaten eines Punkts in die nach b umgestellte Funktionsgleichung einsetzen und erhalten für den y-Achsenabschnitt:

b = y - m \cdot x = 3 - 2 \cdot 0 = 3 - 0 = 3

Die Funktionsgleichung der dargestellten Funktion lautet:

f(x) = 2 \cdot x + 3

Lineare Funktion – Graphen zeichnen

Um eine lineare Funktion im Koordinatensystem zu zeichnen, gehst du in folgenden Schritten vor:

  • Aus der Funktionsgleichung den y-Achsenabschnitt b ablesen
  • Schnittpunkt mit der y-Achse einzeichnen
  • Ausgehend von diesem Schnittpunkt ein Steigungsdreieck (m = \frac{\Delta y}{\Delta x}) einzeichnen und einen weiteren Punkt markieren
  • Gerade durch beide Punkte ziehen

Beispiel:
Schauen wir uns das Zeichnen einer linearen Funktion am Beispiel von f(x)=\frac{1}{2}x + 1 an.
Zunächst können wir den y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ablesen. Da b=1 gilt, wissen wir, dass der Graph der Funktion die y-Achse bei y=1 schneidet. Diesen Punkt markieren wir im Koordinatensystem.
Mithilfe der Steigung können wir nun ein Steigungsdreieck einzeichnen. Da m=\frac{1}{2}, gehen wir dafür 2 Kästchen vom Schnittpunkt mit der y-Achse nach rechts und ein Kästchen nach oben. Wir landen somit beim Punkt (2 \vert 2). Wir können nun eine Gerade durch diese beiden Punkte zeichnen und erhalten den Graphen der Funktion.

lineare Funktion zeichnen

Eine weitere Möglichkeit, lineare Funktionen zu zeichnen, ist es, eine Wertetabelle anzufertigen. Dabei werden verschiedene Werte für x gewählt und die dazugehörigen y-Werte berechnet. Die errechneten Punkte der linearen Funktion werden im Anschluss in das Koordinatensystem eingezeichnet und zum Graphen der Funktion verbunden.

Lage von Geraden

Zwei Geraden können entweder parallel zueinander verlaufen oder sie haben einen eindeutigen Schnittpunkt. Zwei parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung. Bei parallelen Geraden unterscheiden wir zudem in echt parallel und identisch. Echt parallele Geraden haben keine gemeinsamen Punkte, während identische Geraden komplett gleich sind, sie besitzen die gleiche Funktionsgleichung.
Anhand der Funktionsgleichung kannst du sofort ablesen, ob zwei Geraden sich schneiden, echt parallel oder identisch sind.

  • Steigung von zwei Geraden ist verschieden: Geraden besitzen einen eindeutigen Schnittpunkt.
  • Steigung ist gleich, aber y-Achsenabschnitt ist unterschiedlich: Geraden sind echt parallel.
  • Steigung und y-Achsenabschnitt sind gleich: Geraden sind identisch.

Waagerechte und senkrechte Geraden

Lineare Funktionen mit der Steigung m=0 verlaufen immer waagerecht. Ihre Funktionsgleichung lautet f(x) = b. Außer der Funktion f(x)=0 (unendlich viele Nullstellen) besitzen waagerechte lineare Funktionen keine Nullstellen.

Senkrechte Geraden sind keine linearen Funktionen, da sie sich nicht in der Form f(x)=m \cdot x + b darstellen lassen. Die Steigung dieser Funktionen ist unendlich und ihre Gleichung lautet x=c, wobei c eine beliebige Zahl ist.

Lineare Funktion – Schnittpunkte berechnen

In manchen Fällen kannst du den Schnittpunkt zweier Geraden einfach ablesen. Genauer ist es jedoch, den Schnittpunkt rechnerisch zu bestimmen. Dafür gehen wir folgendermaßen vor:

  • Beide Funktionsterme gleichsetzen
  • Gleichung nach x auflösen
  • x-Wert in die erste Funktionsgleichung einsetzen und y berechnen
  • Probe: x-Wert in die zweite Funktionsgleichung einsetzen und Ergebnis mit dem ersten vergleichen

Beispiel:
Betrachten wir die Funktionen:

f_1(x) = y_1 = 10 + 0,\!2 \cdot x
f_2(x) = y_2 = 8 + 0,\!3 \cdot x

Zunächst setzen wir beide Funktionen gleich.

10 + 0,\!2 \cdot x = 8 + 0,\!3 \cdot x

Nun stellen wir die Gleichung so um, dass x auf einer Seite allein steht.

\begin{array}{rcll} 10 + 0,2 \cdot x & = & 8 + 0,3 \cdot x & \vert - 0,\!3 \cdot x \\ 10 + 0,\!2 \cdot x - 0,\!3 \cdot x & = & 8 & \vert -10 \\ -0,\!1 \cdot x & = & -2 & \vert :(-0,\!1) \\ x & = & 20 & \\ \end{array}

Wir erhalten für x den Wert 20. Den x-Wert des Schnittpunkts haben wir somit erhalten. Setzen wir die 20 in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, erhalten wir den dazugehörigen y-Wert:

y_1 = 10 + 0,\!2 \cdot x = 10 + 0,\!2 \cdot 20 = 10 + 4
y_1 = 14

Um zu überprüfen, ob der Schnittpunkt S(20 \vert 14) richtig ist, können wir nun den x-Wert in die zweite Gleichung einsetzen. Für y_2 müssen wir den gleichen Wert wie für y_1 erhalten:

y_2 = 8 + 0,\!3 \cdot x = 8 + 0,3 \cdot 20 = 8 + 6
y_2 = 14

Die beiden Geraden f_1(x) und f_2(x) schneiden sich im Punkt S(20 \vert 14).

Lineare Funktionen – Aufgaben

Das gerade erlernte Wissen kannst du nun bei den folgenden Aufgaben anwenden.

Lineare Funktion einzeichnen

Gegeben ist die Funktionsgleichung:

f(x) = - \dfrac{1}{2} x + 6

Aufgabe ist es, diese lineare Funktion in einem Koordinatensystem darzustellen. Wie gehst du vor?

Lösung:
Schritt 1: y-Achsenabschnitt aus der Funktionsgleichung ablesen:
~\Righarrow ~ b = 6

Schritt 2: y-Achsenabschnitt im Koordinatensystem abtragen

Schritt 3: Mithilfe der Steigung m ein Steigungsdreieck einzeichnen. Dafür beliebig viele Schritte (zum Beispiel 4) nach rechts gehen, die Anzahl der Schritte mit m multiplizieren (4 \cdot (- \frac{1}{2}) = -2) und diese Anzahl an Schritten nach oben/unten gehen. Da es sich um einen negativen Wert handelt, gehen wir 2 Schritte nach unten.

Schritt 4: Zweiten Punkt markieren:
~\Rightarrow ~ P_2(4 \vert 4)

Schritt 5: Gerade durch beide Punkte zeichnen

Lineare Funktion einzeichnen

Lineare Funktion – Merkmale erkennen und Funktionsgleichung aufstellen

Der folgende Funktionsgraph ist gegeben:

lineare Funktion Geradengleichung ermitteln

Bestimme zunächst anhand des Graphen die wichtigsten Eigenschaften dieser linearen Funktion. Stelle im Anschluss die Funktionsgleichung auf.

Lösung:
Die aus dem Graphen erkennbaren Merkmale der Funktion sind:

  • Die Funktion steigt, m muss also positiv sein.
  • Die Funktion schneidet die y-Achse bei y=2.
  • Die Nullstelle der Funktion liegt im negativen x-Bereich.

Um die Funktionsgleichung dieser Gerade zu ermitteln, suchen wir uns zunächst zwei Punkte auf der Geraden. In diesem Beispiel sind bereits die Punkte P(2 \vert 3) und W(12 \vert 8) markiert. Wir ermitteln die Steigung m, indem wir beide Punkte in die Steigungsformel einsetzen:

m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \dfrac{8 - 3}{12 - 2} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}

Den y-Achsenabschnitt b erhalten wir, indem wir die berechnete Steigung und die Koordinaten eines Punkts in die nach b umgestellte Funktionsgleichung einsetzen:

b = y - m \cdot x = 3 - \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 3 - 1 = 2

Die Funktionsgleichung der dargestellten Funktion lautet:

f(x) = \dfrac{1}{2} \cdot x + 2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Funktionen, die sich in der Form f(x) = m \cdot x + b darstellen lassen. Dabei kommt x nur in erster Potenz vor.

Die allgemeine Formel für lineare Funktionsgleichungen ist f(x) = m \cdot x + b.

Die Formel y = m \cdot x + b ist die allgemeine Form, in der sich jede lineare Funktionsgleichung darstellen lässt. Dabei gilt y = f(x), da y der Funktionswert zu x ist. Wir können also auch f(x) = m \cdot x + b schreiben.

Der Parameter b bezeichnet in dieser Gleichung den y-Achsenabschnitt der linearen Funktion. Das bedeutet, es ist der y-Wert, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet.
Manchmal werden auch andere Bezeichnungen für den y-Achsenabschnitt verwendet, z. B. t oder n.

Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu berechnen, muss zunächst die Steigung m ermittelt werden. Dafür werden zwei Punkte auf der Geraden gesucht und mithilfe eines Steigungsdreiecks wird die Steigung ermittelt. Die berechnete Steigung und die Koordinaten eines Punkts auf der Geraden werden dann in die allgemeine Form der Funktionsgleichung eingesetzt, um den y-Achsenabschnitt b zu berechnen. Nun können m und b in die Gleichung f(x) = m \cdot x + b eingesetzt werden und wir erhalten die Funktionsgleichung.

Man kann drei verschiedene Arten linearer Funktionen unterscheiden: Der Graph der Funktion kann fallen (m < 0), steigen (m > 0) oder waagerecht verlaufen (m = 0).

Eine Funktion ist dann nicht linear, wenn sie sich nicht in der Form y = m \cdot x + b darstellen lässt, weil sie z. B. höhere Potenzen von x enthält.

Die Gleichung einer linearen Funktion hat immer die Form f(x) = m \cdot x + b oder lässt sich in diese umwandeln. Aber Achtung: b oder m können auch gleich null sein.

Lineare Funktionen stellen den direkten Zusammenhang zweier Größen dar. Du kannst mit ihnen zum Beispiel ermitteln, wie lange du sparen musst, um eine bestimmte Summe Geld zu haben oder vom Preis eines Apfels auf den Preis einer größeren Zahl von Äpfeln schließen.

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