Geometrie: OktaederMerkmale und Formeln

Erfahre alles über das Oktaeder, einen sechseckigen geometrischen Körper mit acht gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen. Entdecke die Symmetrie und Eigenschaften dieses platonischen Körpers sowie Berechnungsformeln für Volumen, Oberfläche und mehr.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Oktaeder

Das Oktaeder im Überblick

  • Ein Oktaeder ist ein sechseckiger, regelmäßiger geometrischer Körper.
  • Es hat acht gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und zwölf gleich lange Kanten.

  • Das Oktaeder gehört zu den fünf platonischen Körpern.
  • Oktaeder haben vielfältige Symmetrieeigenschaften.
Oktaeder: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Oktaeder – Definition

Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger geometrischer Körper, der acht kongruente Dreiecke als Seitenflächen besitzt. Es entsteht, wenn zwei gleichseitige quadratische Pyramiden an ihrer Grundseite zusammengeklebt werden. 

Oktaeder – Eigenschaften

Das Oktaeder gehört zu den fünf platonischen Körpern. Die fünf platonischen Körper sind das Tetraeder, der Würfel, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder. Für platonische Körper gilt:

\text{Eckpunkt} + \text{Flächen} = \text{Kanten} + 2

Ein Oktaeder besitzt:

  • sechs Ecken,
  • zwölf Kanten und
  • acht Flächen.

Es gilt: \quad 6~\text{[Ecken]} + 8~\text{[Flächen]} = 12~\text{[Kanten]} + 2

Die Kanten eines Oktaeders sind alle gleich lang und werden mit dem Buchstaben a bezeichnet.

Oktaeder Beschriftung

Oktaeder – Symmetrie

Das Oktaeder besitzt vielfältige Symmetrieeigenschaften. Es ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Zudem besitzt es einige Dreh- und Spiegelsymmetrien:

  • Drei Drehachsen durch die gegenüberliegenden Ecken
  • Vier Drehachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen
  • Sechs Drehachsen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten
  • Drei Symmetrieebenen durch je vier Ecken
  • Sechs Symmetrieebenen durch je zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte
  • 14 Drehspiegelungen

Oktaeder – Formeln

Die Formeln zur Berechnung verschiedener Größen des Oktaeders schauen wir uns an dem folgenden Beispiel an:

Oktaeder berechnen Beispiel

Das Oktaeder hat eine Kantenlänge von a = 3~\text{cm}. Alle Kanten dieses Oktaeders besitzen die Länge a = 3~\text{cm}.

Volumen eines Oktaeders – Formel

Um das Volumen eines Oktaeders zu berechnen, nutzen wir die Formel:

V = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3

Herleitung der Volumenformel für Oktaeder
Die Formel für das Volumen eines Oktaeders leitet sich aus dem Volumen einer gleichseitigen quadratischen Pyramide ab. Ein Oktaeder besteht aus zwei solchen Pyramiden. Es gilt also:

V_{\text{Oktaeder}} = 2 \cdot V_{\text{Pyramide}} = 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \right)

Dabei ist A_g die Grundfläche der Pyramide und h die Höhe. Die Grundfläche ist in diesem Fall ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Deshalb gilt:

A_g = a^2

Die Höhe der Pyramide bildet mit einer Außenkante a und halben Diagonalen s ein Dreieck.

Herleitung Volumen Oktaeder

Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, gilt für dieses Dreieck:

a^2 = h^2 + s^2

Für die Strecke s = \frac{1}{2}d gilt dabei:

s^2 = \dfrac{1}{2} \cdot a^2

Setzen wir das in die Formel ein und stellen diese nach h um, erhalten wir für die Höhe der Pyramide die Formel:

h = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a

Setzen wir beide Größen in die Formel ein und multiplizieren mit zwei, erhalten wir die Formel für das Volumen eines Oktaeders:

\begin{array}{rcl} V_{\text{Oktaeder}} &=& 2 \cdot V_{\text{Pyramide}} \\ &=& 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot A_g \cdot h \right) \\ &=& 2 \cdot \left(\dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a \right) \\ &=& 2 \cdot \left(\dfrac{\sqrt{2}}{6} \cdot a^3\right) \\ &=& \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 \end{array}

Beispiel
a = 3~\text{cm}

V = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot (3~\text{cm})^3 \approx 12{,}73~\text{cm}^3

Volumen eines Oktaeders – Rechner



Oberfläche eines Oktaeders – Formel

Um die Oberfläche eines Oktaeders zu berechnen, nutzen wir die Formel:

O = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2

Herleitung der Oberflächenformel für Oktaeders
Das Oktaeder besteht aus acht gleichseitigen Dreiecken. Daher gilt für die Oberfläche des Oktaeders:

O = 8 \cdot A_{Dreieck}

Für den Flächeninhalt gleichseitiger Dreiecke gilt:

A_{Dreieck} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

Dabei ist a die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks.
Setzen wir das in die Formel für die Oberfläche des Oktaeders ein, dann erhalten wir die Formel:

O = 8 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2

Beispiel
a = 3~\text{cm}

O = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot (3~\text{cm})^2 \approx 31{,}18~\text{cm}^2

Oberfläche eines Oktaeders – Rechner



Oktaeder: Radius der Umkreiskugel – Formel

Die Umkreiskugel ist die kleinste Kugel, die das komplette Oktaeder einschließt. Sie verläuft durch alle sechs Eckpunkte des Oktaeders. Ihren Radius berechnen wir mit der Formel:

R = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot a

Beispiel
a = 3~\text{cm}

R = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot a = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3~\text{cm} \approx 2{,}12~\text{cm}

Oktaeder: Radius der Inkreiskugel – Formel

Die Inkreiskugel ist die größte Kugel, die komplett in das Oktaeder hineinpasst. Sie berührt alle Seitenflächen von innen. Ihren Radius berechnen wir mit der Formel:

r = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \cdot a

Beispiel
a = 3~\text{cm}

r = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \cdot a = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \cdot 3~\text{cm} \approx 1{,}22~\text{cm}

Oktaeder: Raumdiagonale – Formel

Die Raumdiagonale eines Oktaeders verbindet die beiden sich gegenüberliegenden Ecken. Ein Oktaeder besitzt drei gleich lange Raumdiagonalen. Ihre Länge berechnen wir mit der Formel:

e = \sqrt{2} \cdot a

Beispiel
a = 3~\text{cm}

e = \sqrt{2} \cdot a = \sqrt{2} \cdot 3~\text{cm} \approx 4{,}24~\text{cm}

Oktaeder Kantenlänge – Formel

In manchen Fällen ist nur die Oberfläche oder das Volumen, jedoch nicht die Seitenlänge a bekannt. Wollen wir diese ermitteln, müssen wir die entsprechenden Formeln nach a umstellen:

a = \sqrt{\dfrac{O}{2 \cdot \sqrt{3}}

a = \sqrt[3]{\dfrac{V \cdot 3}{\sqrt{2}}}

Beispiel
Betrachten wir ein Oktaeder mit einer Oberfläche von 40~\text{cm}^2. Wie lang ist die Kante a?

a = \sqrt{\dfrac{O}{2 \cdot \sqrt{3}}} = \sqrt{\dfrac{40~\text{cm}^2}{2 \cdot \sqrt{3}}} \approx 3{,}4~\text{cm}

Ein anderes Oktaeder hat das Volumen 15~\text{cm}^3. Wie lang ist die Kante a dieses Oktaeders?

a = \sqrt[3]{\dfrac{V \cdot 3}{\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{\dfrac{15~\text{cm}^3 \cdot 3}{\sqrt{2}}} \approx 3{,}17~\text{cm}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oktaeder

Ein Oktaeder ist ein regelmäßiger geometrischer Körper. Es setzt sich zusammen aus zwei quadratischen, gleichseitigen Pyramiden. Ein Oktaeder hat sechs Ecken, acht gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und zwölf gleich lange Kanten.

Ein Oktaeder hat sechs Ecken.

Ein Oktaeder hat acht Flächen.

Alle zwölf Kanten eines Oktaeders sind genau gleich lang. Die acht Flächen des Oktaeders sind gleich große, gleichseitige Dreiecke. Das Oktaeder gehört zu den platonischen Körpern.

Ein Oktaeder ist punktsymmetrisch zum Mittelpunkt. Zudem besitzt es 13 Drehachsen, neun Symmetrieebenen und 14 Drehspiegelungen.

Das Volumen V eines Oktaeders berechnen wir mit der Formel:
V = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3

Die Oberfläche O eines Oktaeders berechnen wir mit der Formel:
O = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2

Die Formel für das Volumen eines Oktaeders lautet:
V = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \cdot a^3

Die Formel für die Oberfläche eines Oktaeders lautet:
O = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2

Den Radius R der Umkreiskugel berechnen wir mit der Formel:
R = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot a

Den Radius r der Inkreiskugel berechnen wir mit der Formel:
r = \dfrac{\sqrt{6}}{6} \cdot a

Die Raumdiagonale e eines Oktaeders berechnen wir mit der Formel:
e = \sqrt{2} \cdot a

Ist die Oberfläche O des Oktaeders gegeben, berechnen wir die Kantenlänge a mit der Formel:
a = \sqrt{\dfrac{O}{2 \cdot \sqrt{3}}}
Ist das Volumen V des Oktaeders gegeben, berechnen wir die Kantenlänge a mit der Formel:
a = \sqrt[3]{\dfrac{V \cdot 3}{\sqrt{2}}}

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