Die e-Funktion ableiten – Regeln, Erklärung und Beispiele
Die e-Funktion ist eine spezielle mathematische Funktion mit der eulerschen Zahl als Basis. Ihre Ableitung entspricht wieder der e-Funktion und kann für allgemeine Exponentialfunktionen angewendet werden. Lerne mehr über Ableitungsregeln und praktische Beispiele!
Inhaltsverzeichnis zum Thema e-Funktion
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e-Funktion ableiten
Die -Funktion ist eine besondere Funktion in Mathe. Das gilt auch für das Ableiten der -Funktion. Die -Funktion ergibt abgeleitet wieder die -Funktion, es gilt also:
e-Funktion ableiten – Herleitung der Formel
Die Ableitung der -Funktion kann mithilfe des Differenzialquotienten bestimmt werden:
Der letzte Schritt in der Rechnung gilt, weil die eulersche Zahl so definiert ist, dass gilt:
Damit gilt:
Diese Eigenschaft lässt sich auch nachvollziehen, wenn die -Funktion grafisch abgeleitet wird. Dazu zeichnen wir Tangenten an die Funktionsgraphen und bestimmen ihre Steigung. Dabei stellen wir fest, dass an jeder Stelle des Graphen der -Funktion der dortige Funktionswert genau der Tangentensteigung und somit der Steigung des Graphen an dieser Stelle entspricht.
Zusammengesetzte Funktionen mit e-Funktionen ableiten – Beispiele
Oft taucht die -Funktion in zusammengesetzten Funktionen auf. Um diese abzuleiten, werden weitere Ableitungsregeln, wie die Produkt- oder die Kettenregel, benötigt.
Im Folgenden schauen wir uns verschiedene Beispiele an.
Beschreibung | Rechnung | Erklärung |
---|---|---|
-Funktion mit Vorfaktor ableiten negative -Funktion ableiten |
Die Faktorregel besagt, dass beim Ableiten der Vorfaktor bestehen bleibt, das gilt auch, wenn dieser negativ ist. | |
verkettete Funktion mit einer -Funktion ableiten | Die Funktion ist eine Verkettung aus und . Mithilfe der Kettenregel kann diese Funktion mit -Funktion abgeleitet werden. | |
zusammengesetzte Funktion mit einer -Funktion ableiten | Beim Ableiten dieser zusammengesetzten Funktion mit -Funktion wird die Produktregel benötigt. | |
-Funktion im Nenner ableiten | Mithilfe der Potenzregel lässt sich die Funktion umformen, sodass die Kettenregel angewendet werden kann. |
Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis ableiten
Mithilfe der Ableitung der -Funktion und der Kettenregel kann auch eine allgemeine Exponentialfunktion abgeleitet werden. Eine Exponentialfunktion mit der Basis kann umgeschrieben werden in:
Diese Eigenschaft liefert in Verbindung mit der Kettenregel die Ableitung:
Zusammengefasst lautet die Ableitung zu mit also:
Häufig gestellte Fragen zum Thema e-Funktion ableiten