Funktionsgleichung – Definition, Erklärung und Beispiele

Lerne, wie Funktionsgleichungen verschiedene Funktionen wie lineare, quadratische und exponentielle beschreiben. Finde heraus, wie man Punktproben durchführt und fehlende Werte ermittelt. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Funktionsgleichung

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Was ist eine Funktionsgleichung?

Frage 1 von 5

Wie bestimmt man eine Funktionsgleichung?

Frage 2 von 5

Wie sieht eine Funktionsgleichung aus?

Frage 3 von 5

Wofür braucht man Funktionsgleichungen?

Frage 4 von 5

Wie berechnet man die Funktionsgleichung mit einem Punkt?

Frage 5 von 5

Funktionsgleichungen im Überblick

  • Eine Funktionsgleichung ist eine Gleichung, die eine eindeutige Zuordnung beschreibt.

  • Anhand der Funktionsgleichung können wir verschiedene Arten von Funktionen unterscheiden, z. B. proportionale Funktionen, lineare Funktionen, quadratische Funktionen oder Exponentialfunktionen.

  • Eine Funktionsgleichung ist so aufgebaut, dass auf einer Seite der Gleichung y oder auch f(x) und auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens ein Term steht, der die Variable x enthält.

Funktionsgleichung: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Was ist eine Funktionsgleichung?

Unter einer Funktion verstehen wir eine eindeutige Zuordnung. Entsprechend ist in Mathe eine Funktionsgleichung eine Gleichung, die eine eindeutige Zuordnung beschreibt. Meistens verwendet eine solche Zuordnungsvorschrift die Variablen x und y. Eine Funktionsgleichung kann zum Beispiel wie folgt aussehen:
y=3 \cdot x +5
Hier wird jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet. Die Funktionsgleichung ist dabei die Rechenvorschrift, mit der dieser y-Wert aus dem x-Wert bestimmt werden kann.
Setzen wir in unserem Beispiel für x=3 ein, erhalten wir den zugehörigen y-Wert:
y= 3 \cdot 3 + 5 = 14
Diese Funktionsgleichung ordnet also dem x-Wert 3 den y-Wert 14 zu.
Eine andere, gleichbedeutende Schreibweise für die Funktionsgleichung lautet:
f(x)=3 \cdot x +5
In diesem Fall hat die Funktion, also die Zuordnung, den „Namen“ f. Der Ausdruck f(x) bedeutet, dass die Funktion f von der Variable x abhängig ist, die in der Funktionsgleichung enthalten ist.
Manchmal findet sich auch die Schreibweise:
f: x \rightarrow 3 \cdot x +5
Diese Schreibweise macht die Zuordnung besonders deutlich: Der Pfeil wird hier als „wird zugeordnet“ gelesen. Das heißt, jedem x-Wert wird eindeutig eine Zahl zugeordnet.

Ein anderer häufig verwendeter Begriff ist der Funktionsterm. Damit ist streng genommen nur der Term rechts vom Gleichheitszeichen gemeint. In unserem Beispiel wäre der Funktionsterm:
3 \cdot x +5

Die Funktionsgleichung kann auch dabei helfen, eine Funktion durch einen Funktionsgraphen oder eine Wertetabelle darzustellen oder fehlende Werte zu ermitteln. Wir betrachten diese Vorgehensweisen zunächst allgemein und führen sie anschließend exemplarisch an konkreten Funktionsgleichungen durch.

Eine Wertetabelle aus einer Funktionsgleichung erstellen
Um eine Wertetabelle zu erstellen, wählen wir zunächst verschiedene x-Werte und notieren diese in einer Zeile oder Spalte einer Tabelle. In der nebenstehenden Zeile oder Spalte werden die zugehörigen y-Werte notiert. Diese bestimmen wir, indem wir den jeweiligen x-Wert in den Funktionsterm einsetzen und den so erhaltenen Rechenausdruck berechnen.

Eine Punktprobe durchführen
Wir können mithilfe der Punktprobe bei einer Funktionsgleichung überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt oder nicht. Dazu müssen wir wissen, dass jeder Punkt aus einem x– und einem y-Wert besteht. Beim Punkt P(3\vert 4) ist beispielsweise der x-Wert 3 und der y-Wert 4. Um zu überprüfen, ob der Punkt auf dem Graphen einer Funktion liegt, setzen wir den x-Wert des Punkts in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob der so berechnete y-Wert gleich dem y-Wert des Punkts ist.

Zu einem gegebenen y-Wert den zugehörigen x-Wert ermitteln
Manchmal haben wir einen y-Wert gegeben und suchen den zugehörigen x-Wert. Auch hier hilft uns die Funktionsgleichung weiter. Wir können den y-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen und nach dem gesuchten x-Wert auflösen. Dabei kann es keine, eine oder auch mehrere Lösungen geben, da die Zuordnung in die entgegengesetzte Richtung nicht immer eindeutig ist.

Die Funktionsgleichungen proportionaler und linearer Funktionen

Die allgemeine Funktionsgleichung linearer Funktionen lautet:
y= m \cdot x +b oder auch
f(x)= m \cdot x +b
Dabei steht m für die Steigung und b für den y-Achsenabschnitt der Funktion.
Eine lineare Funktion hat als Funktionsgraphen eine Gerade. Je größer die Steigung m ist, desto steiler verläuft die Gerade. Ist die Steigung m negativ, fällt die Gerade. Der y-Achsenabschnitt b gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

Schneidet die Gerade die y-Achse im Ursprung, ist b=0. Wir sprechen dann von einer proportionalen Funktion, da die Funktionsgleichung einen direkt proportionalen Zusammenhang mit Proportionalitätsfaktor m beschreibt. Dazu können wir folgende Funktionsgleichung angeben:
y= m \cdot x

Geraden als Darstellung linearer Funktionsgleichungen

Wenn wir den Graphen einer linearen Funktion gegeben haben, können wir die zugehörige Funktionsgleichung aufstellen. Wir betrachten dazu den blauen Graphen:

Lineare Funktionsgleichung

Wir lesen den y-Abschnitt ab, in diesem Beispiel:
b=1
Wir können dann mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. In unserem Beispiel laufen wir vom y-Achsenabschnitt 4 Einheiten nach rechts und 2Einheiten nach oben und treffen dann wieder genau auf die Gerade. Ebenso können wir auch 4 Einheiten nach links und 2 Einheiten nach unten laufen. Somit ist die Steigung:
m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{4}=\frac{1}{2}
Insgesamt ergibt sich mit m = \frac{1}{2} und b = 1 die folgende Funktionsgleichung zu der blauen Gerade:
y=\frac{1}{2} x+1

Ebenso können wir auch mithilfe einer Funktionsgleichung eine Gerade zeichnen:
Wir betrachten die Funktionsgleichung y=-\frac{1}{4}x-3.
Dazu markieren wir zuerst den y-Achsenabschnitt b=-3 auf der y-Achse. Anschließend zeichnen wir ein Steigungsdreieck ein. Dazu gehen wir von der -3 auf der y-Achse 4 Einheiten nach rechts und eine Einheit nach unten (da die Steigung negativ ist). Ebenso könnten wir 4 Einheiten nach links und eine Einheit nach oben gehen. Wir können abschließend die Gerade zur gegebenen Funktionsgleichung einzeichnen, indem wir den so erreichten Punkt mit dem y-Achsenabschnitt verbinden. Es ergibt sich die orangefarbene Gerade.

Punktprobe bei linearen Funktionen

Wir wollen mithilfe der Punktprobe überprüfen, ob der Punkt P(3\vert 4) auf dem Graphen der Funktion mit der Funktionsgleichung y=2x-6 liegt. Dazu setzen wir den x-Wert des Punkts in die Funktionsgleichung ein und überprüfen, ob der so berechnete y-Wert gleich dem y-Wert des Punkts ist:
y=2 \cdot 3 -6 = 6-6 = 0 \neq 4
Da der berechnete y-Wert nicht gleich dem y-Wert des Punkts ist, liegt der Punkt P nicht auf dem Graphen der Funktion.

Ermittlung eines x-Werts zu einem gegebenen y-Wert

Wir haben zu der Funktion y=2x-5 den Wert y=1 gegeben und suchen den zugehörigen x-Wert. Wir setzen ein:
1=2x-5
Wir lösen die Gleichung in zwei Schritten nach x auf:
1=2x-5 \quad \vert +5
6=2x \quad \vert :2
3=x
Zu y=1 gehört also der Wert x=3.

Lineare Funktionsgleichung aus zwei Punkten ermitteln

Wenn wir zwei Punkte gegeben haben, können wir auch rechnerisch die lineare Funktionsgleichung herleiten, die die Funktion beschreibt, die durch die beiden Punkte verläuft. Wir führen dies an einem Beispiel durch:
Wir wollen die Funktionsgleichung mit den zwei Punkten P(1|3) und Q(4|-3) bestimmen. Dazu berechnen wir zunächst mithilfe der Steigungsformel die Steigung m:
m= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3-3}{4-1} = \frac{-6}{3} = -2
Die Steigung beträgt also m=-2.
Wir bestimmen nun den y-Achsenabschnitt b, indem wir m = -2 und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und die Funktionsgleichung nach b auflösen.
P(1|3) in y= -2 \cdot x + b:
3 = -2 \cdot 1 +b
3 = -2+b \quad \vert +2
5=b
Mit den berechneten Werten m=-2 und b=5 ergibt sich die Funktionsgleichung:
y=-2x+5

Die Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion kann in unterschiedlichen Formen vorliegen, dazu zählen die allgemeine Form und die Scheitelpunktform, die wir hier genauer betrachten wollen.
Beispiel:
f(x)=3x^2+4x-5
Du siehst hier, dass die Variable x quadriert wird. Diese Form einer quadratischen Funktionsgleichung wird als allgemeine Form bezeichnet. Allgemein können wir diese mit den Parametern a, b und c formulieren:
f(x)=ax^2+bx+c

Parabeln als Darstellung quadratischer Funktionsgleichungen
Der Funktionsgraph zu einer quadratischen Funktionsgleichung ist eine Parabel. Wir können das Aussehen der Parabel mithilfe der Funktionsgleichung bestimmen.

Dazu wird häufig die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform verwendet. Sie lautet allgemein:
f(x)=a(x-d)^2+e
Wir können bei dieser Form die Koordinaten des Scheitelpunkts S direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.
Sie lauten S(d|e).
Betrachten wir als Beispiel die folgende Funktionsgleichung:
f(x)=(x-1)^2-6
Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel liegt bei S(1|-6).

Wertetabellen zu quadratischen Funktionsgleichungen
Um eine Parabel mithilfe einer Funktionsgleichung zu zeichnen, können wir eine Wertetabelle aufstellen. Dazu wählen wir verschiedene x-Werte und berechnen mit der Funktionsgleichung die zugehörigen y-Werte.

Wir betrachten als Beispiel die quadratische Funktion f(x) = x^2-1.
Wir wählen die x-Werte -2; -1; 0; 1 und 2 und berechnen die zugehörigen y-Werte wie folgt:
f(-2)=(-2)^2-1=4-1=3
Führen wir die Rechnung für alle gewählten x-Werte durch, ergibt sich folgende Wertetabelle:

x –2 –1 0 1 2
y 3 0 -1 0 3

Um den Funktionsgraphen zu zeichnen, können wir die so erhaltenen Wertepaare im Koordinatensystem einzeichnen und zu einer Parabel verbinden.

Koordinatensystem

Die Funktionsgleichungen von Exponentialfunktionen

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion sieht allgemein wie folgt aus:
f(x)=a \cdot b^x
Diese Funktionsgleichung beschreibt exponentielles Wachstum. Dabei stellt a den Anfangsbestand dar, b steht für den Wachstumsfaktor.
Wir betrachten folgendes Beispiel: Eine Kaninchenpopulation umfasst 120 Kaninchen. Die Population verdoppelt sich jedes Jahr.
Wir können mit diesen Angaben eine Funktionsgleichung erstellen: Der Anfangsbestand ist a=120. Der Wachstumsfaktor ist b=2, da sich die Population verdoppelt. Die zugehörige exponentielle Funktionsgleichung für den Kaninchenbestand nach x Jahren lautet dann:
f(x)= 120 \cdot 2^x

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionsgleichung

Wir können eine lineare Funktionsgleichung aufstellen, indem wir den y-Achsenabschnitt b und die Steigung m in die allgemeine Funktionsgleichung y=mx+b einsetzen.
Wir können eine quadratische Funktionsgleichung aufstellen, indem wir die Koordinaten des Scheitelpunkts S(d|e) und den Streckfaktor a in die Scheitelpunktform y=a(x-d)^2+e einsetzen.

Um eine Funktionsgleichung zu bilden, benötigen wir einige Informationen. Handelt es sich um eine lineare Funktion, können wir beispielsweise die Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Punkten bestimmen. Dazu berechnen wir zuerst die Steigung mithilfe der Steigungsformel. Anschließend setzen wir einen der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und können dann diese Funktionsgleichung so umformen, dass wir den y-Achsenabschnitt erhalten.
Wir können eine lineare Funktionsgleichung auch aus einem Funktionsgraphen bestimmen. Dazu lesen wir den y-Achsenabschnitt ab und bestimmen die Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks.

Eine Funktionsgleichung enthält üblicherweise die Variablen x und y. Eine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet beispielsweise:
y=3x+4 oder auch
f(x)=3x+4
Dabei ist es egal, ob wir schreiben y=... oder f(x)=....

Wir können die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei gegebenen Punkten berechnen. Dazu wird zuerst die Steigung mithilfe der Steigungsformel bestimmt. Anschließend wird einer der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung eingesetzt und diese dann nach dem y-Achsenabschnitt b umgeformt.

Eine lineare Funktionsgleichung geben wir in der Form y=mx+b an.
Eine quadratische Funktionsgleichung geben wir entweder in der allgemeinen Form y=ax^2+bx+c oder in der Scheitelpunktform y=a(x-d)^2+e an.
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion geben wir in der Form y=a \cdot b^x an.

Eine Funktionsgleichung ist eine Gleichung, die eine eindeutige Zuordnung beschreibt. Sie ist die Rechenvorschrift dieser Zuordnung.
Üblicherweise verwendet man dazu die Variablen x und y. Durch die Funktionsgleichung wird jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet, beispielsweise: y=3x^2+4.

Eine Funktion ist in der Mathematik eine eindeutige Zuordnung. Eine Funktionsgleichung ist also eine Gleichung, die eine eindeutige Zuordnung beschreibt. Sie ist gewissermaßen die Rechenvorschrift dieser Zuordnung.
Üblicherweise verwendet man dazu die Variablen x und y. Durch die Funktionsgleichung wird jedem x-Wert eindeutig ein y-Wert zugeordnet.

Ein Beispiel für eine lineare Funktionsgleichung lautet f(x)=2x-1.
Ein Beispiel für eine quadratische Funktionsgleichung lautet f(x)=4x^2-2x+1.
Wir unterscheiden zwischen Funktionsgleichungen von linearen und quadratischen Funktionen und von Exponentialfunktionen.
Eine lineare Funktionsgleichung hat die Form y=mx+b.
Eine quadratische Funktionsgleichung kann in allgemeiner Form y=ax^2+bx+c oder in Scheitelpunktform y=a(x-d)^2+e vorliegen.
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion hat die Form y=a \cdot b^x.

Wir können die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aus zwei gegebenen Punkten berechnen, indem wir zuerst die Steigung mithilfe der Steigungsformel berechnen. Anschließend setzen wir einen der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und können dann nach dem y-Achsenabschnitt b umformen.

Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion berechnen zu können, benötigt man mehrere Angaben:

  • 1. Möglichkeit: Die Steigung und ein Punkt sind gegeben.
    Wir können die Steigung und den Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach b auflösen.
  • 2. Möglichkeit: y-Achsenabschnitt und ein Punkt sind gegeben.
    Wir können den y-Achsenabschnitt und den Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach m auflösen.
  • 3. Möglichkeit: Zwei Punkte sind gegeben.
    Wir können die Funktionsgleichung berechnen, indem wir zuerst die Steigung mithilfe der Steigungsformel bestimmen. Anschließend setzen wir einen der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und können nach dem y-Achsenabschnitt b umformen.

Funktionsgleichungen können Alltagssituationen mathematisch beschreiben. Wir können so etwa das Wachstum einer Kaninchenpopulation durch die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion beschreiben. Mithilfe der Funktionsgleichung können wir dann berechnen, aus wie vielen Kaninchen die Population nach einer bestimmten Zeit besteht.

Mit nur einem gegebenen Punkt können wir keine Funktionsgleichung bestimmen. Wir benötigen weitere Informationen. Für eine lineare Funktion gibt es dabei folgende Möglichkeiten:

  • 1. Möglichkeit: Die Steigung und ein Punkt sind gegeben. Wir können dann die Steigung und den Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach b auflösen.
  • 2. Möglichkeit y-Achsenabschnitt und ein Punkt sind gegeben. Wir können dann den y-Achsenabschnitt und den Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen und nach m auflösen.
  • 3. Möglichkeit: Zwei Punkte sind gegeben. Wir können die Funktionsgleichung berechnen, indem wir zuerst die Steigung mithilfe der Steigungsformel berechnen. Anschließend setzen wir einen der beiden Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein und können dann nach dem y-Achsenabschnitt b umformen.

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