Quadrat – Definition und Berechnungen

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten und Winkel, sowie symmetrische Eigenschaften. Erfahre, wie man Umfang und Flächeninhalt berechnet und entdecke Beispiele aus dem Alltag. Mehr über Quadraten und ihre Symmetrien erfährst du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Quadrat

Quadrat im Überblick

  • Ein Quadrat ist ein besonderes Viereck.

  • Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang und alle vier Winkeln gleich groß.

  • Die Diagonalen sind gerade Linien von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. In einem Quadrat halbieren sie sich.

  • Ein Quadrat ist symmetrisch: Es hat vier Symmetrieachsen und du kannst es um den Schnittpunkt der Diagonalen drehen.

Was ist ein Quadrat? Video

Quelle sofatutor.com

Quadrat –  Eigenschaften

Ein Quadrat ist eine geometrische Figur, die aus vier gleich langen Seiten, vier Ecken und vier rechten Winkeln besteht. Ein Quadrat ist damit ein spezielles Viereck. Wir können auch sagen: Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten. Im Unterschied zum Quadrat müssen bei einem Rechteck nur die einander gegenüberliegenden Seiten gleich lang sein.  

Schauen wir uns das im folgenden Bild an:

Viereck, Rechteck, Quadrat

Wir können Unterschiede zwischen Vierecken, Rechtecken und Quadraten erkennen: 

  • Ein Viereck hat vier Ecken und vier beliebig lange Seiten.
  • Ein Rechteck ist ein Viereck, in dem gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.
  • Ein Quadrat ist ein Viereck, in dem alle Seiten gleich lang sind.

Das bedeutet: Jedes Quadrat ist ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat. Außerdem ist jedes Quadrat ein Viereck, aber nicht jedes Viereck ein Quadrat.

Die Diagonalen eines Quadrats sind die Verbindungslinie von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke. Sie sind gleich lang und schneiden sich in der Mitte in einem rechten Winkel. 

Um ein Quadrat zu zeichnen, kannst du dich an den Kästchen in deinem Heft orientieren. Du zeichnest vier gleich lange Seiten, die jeweils in einem rechten Winkel aufeinander stehen.

Quadrat – Umfang und Flächeninhalt berechnen

Da die Seiten eines Quadrats alle gleich lang sind, gibt es für die Umfangs- und Flächenberechnung einfache Formeln.
Bei einem Rechteck werden für den Umfang alle Seiten addiert.
Um den Umfang eines Quadrats zu berechnen, wird die Länge einer Seite mit vier multipliziert. Der Umfang U eines Quadrats mit der Seitenlänge a ist:
U = 4 \cdot a

Umfang Quadrat berechnen

Die Fläche eines Quadrats berechnen wir, indem wir die Seitenlängen miteinander multiplizieren. Der Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Seitenlänge a ist:
A = a^2

Flächeninhalt Quadrat berechnen

Beispiel:
Wir haben ein Quadrat mit einer Seitenlänge von a = 5~\text{cm}. Mit den Formeln berechnen wir für das Quadrat den Umfang U und den Flächeninhalt A:

\begin{array}{llll} U&= 4 \cdot a &= 4 \cdot 5~\text{cm} &= 20~\text{cm} \\ A &= a^2 &= (5~\text{cm})^2 &= 25~\text{cm}^2 \\ \end{array}

Quadrat – Umfang Rechner



Quadrat – Flächeninhalt Rechner



Quadrat im Alltag – Beispiele

Quadrate sind im Alltag überall zu finden und haben viele verschiedene Anwendungen. Einige Beispiele sind: 

  • Kacheln: In Bädern und Küchen werden häufig quadratische Kacheln verwendet, um eine einheitliche Optik zu erzielen und den Boden oder die Wand abzudecken.
  • Stühle: Viele Stühle haben quadratische Sitzflächen, um den Sitzkomfort zu erhöhen und das Gewicht gleichmäßig zu verteilen.
  • Gebäude: Viele Gebäude haben quadratische Grundrisse, um den Bau zu vereinfachen und den Platzbedarf zu optimieren.

Weiterführende Inhalte zu Quadraten

Im folgenden Abschnitt betrachten wir weitere Eigenschaften von Quadraten.

Symmetrieachsen eines Quadrats

Ein weiteres Merkmal von Quadraten ist ihre Symmetrie. Jedes Quadrat hat vier Symmetrieachsen: Die zwei Mittellinien, die die Seiten senkrecht schneiden, und die zwei Diagonalen. Wie wir im Bild sehen, laufen alle vier durch den Mittelpunkt. Wir können ein Quadrat entlang dieser Linien falten und stellen fest, dass die beiden Teile exakt aufeinanderliegen.
Außerdem ist das Quadrat punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen (Mittelpunkt). Wird das Quadrat an einer dieser Achsen oder diesem Punkt gespiegelt, ergibt sich wieder dasselbe Quadrat.

Symmetrieachsen Quadrat

Formeln zum Quadrat – Diagonale berechnen

Die Diagonale eines Quadrats ist eine Linie, die von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke verläuft und die das Quadrat in zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke teilt. Die Länge der Diagonalen eines Quadrats berechnet sich mithilfe des Satzes des Pythagoras. Dabei sind die Diagonale d die Hypotenuse und die Seiten a die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gilt:
d^2 = a^2 + a^2
Daraus ziehen wir die Wurzel und erhalten für die Diagonale:
d = \sqrt{ a^2 + a^2} = \sqrt{2\cdot a^2} = a\sqrt{2}

Beispiel:
Wir haben ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 5~\text{cm}. Mit den Formeln berechnen wir für das Quadrat die Diagonale d:

d = a\sqrt{2} = 5~\text{cm} \cdot \sqrt{2} \approx 7,\!07~ \text{cm}

Wenn wir hingegen die Seitenlänge des Quadrats berechnen sollen, müssen wir entweder den Umfang, den Flächeninhalt oder die Diagonale gegeben haben und die Formel entsprechend nach der Seitenlänge a umformen:
\begin{array}{ll} a &= \dfrac{U}{4} \\ a &= \sqrt{A} \\ a &= \dfrac{d}{\sqrt{2}} \end{array}

Beispiel:
Wir haben ein Quadrat, dessen Flächeninhalt 100~\text{cm}^2 beträgt. Wir wollen die Seitenlänge berechnen.
a = \sqrt{A} = \sqrt{100~\text{cm}^2}= 10~\text{cm}
Die Seitenlänge des Quadrats beträgt a = 10~\text{cm}.

Nachfolgend sind alle Formeln zusammengefasst:

Berechnung Formel
Umfang U U = 4\cdot a
Flächeninhalt A A = a^2
Diagonale d d = a\sqrt{2}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadrat

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Ja, ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck mit vier gleich langen Seiten.

Ein Quadrat hat vier Ecken und vier gleich lange Seiten, die jeweils in einem rechten Winkel aufeinander stehen.

Ein Quadrat besitzt vier Symmetrieachsen, wovon zwei durch die gegenüberliegenden Seitenmitten und zwei diagonal durch die gegenüberliegenden Eckpunkte verlaufen.

Ja, ein Quadrat ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln.

Nein, ein Rechteck kann zwei verschiedene Seitenlängen haben. Bei einem Quadrat müssen alle Seiten gleich lang sein.

Ein Quadrat hat vier Seiten. Als Kanten werden die Seiten von Quadraten bezeichnet, die einen Körper wie beispielsweise einen Würfel begrenzen.

Ein Trapez muss ein paralleles Seitenpaar haben. Somit ist ein Quadrat mit zwei parallelen Seitenpaaren ebenfalls ein Trapez.

Jedes Quadrat ist eine Raute mit vier rechten Winkeln. Umgekehrt gilt dies nicht, nicht jede Raute ist ein Quadrat.

Ein Quadrat hat vier Seiten, es ist ein spezielles Viereck.

Für den Umfang des Quadrats werden alle Seitenlängen addiert. Da alle vier Seitenlängen a gleich lang sind, gilt:

U = 4\cdot a

Für den Flächeninhalt wird die Seitenlänge a mit sich selbst multipliziert:

A= a^2

Ein Quadrat hat zwei parallele Seitenpaare.

Ein Quadrat besteht aus vier Seiten mit gleicher Länge, die in einem rechten Winkel zueinander stehen.

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