Prozentrechnung einfach erklärt – Formeln, Aufgaben und Übungen

Prozente repräsentieren Anteile eines Ganzen. Entdecke die Grundwerte, Prozentwerte und Prozentsätze. Berechne sie mühelos mit einfachen Formeln. Tauche ein in die Welt der Prozentrechnung und lerne mit Beispielen und Aufgaben!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Prozentrechnung

Prozentrechnung im Überblick

  • Prozente geben einen Anteil eines Ganzen an.

  • Die drei wichtigsten Begriffe der Prozentrechnung sind: Grundwert G, Prozentwert W und Prozentsatz p\%.

  • Der Prozentsatz kann mit der Formel p\% = \frac{W}{G} berechnet werden.

  • Durch das Umstellen dieser Formel lassen sich auch der Grundwert und der Prozentwert berechnen.

Prozentrechnung Übung

Quelle sofatutor.com

Prozentrechnung leicht erklärt

Mithilfe der Prozentrechnung lässt sich ein Teil eines Ganzen beschreiben. Der Begriff Prozent steht im Lateinischen für von Hundert. 100\,\% entspricht dabei dem Ganzen, die Anteile entsprechen einer Zahl zwischen 0 und 100.
Prozente lassen sich auch als Brüche und Dezimalzahlen darstellen. Dafür wird der Anteil in Prozent durch 100 geteilt.

Beispiel
35 von 100 Leuten mögen keine Äpfel. 100 Leute sind dabei das Ganze, 35 ist der Anteil. Wir schreiben:

35\,\% der 100 Leute mögen keine Äpfel.

Oder als Bruch und Dezimalzahl: \dfrac{35}{100} = 0,\!35

Begriffe der Prozentrechnung

Es gibt drei wichtige Begriffe bei der Prozentrechnung:

  • Grundwert G: Er beschreibt die Gesamtheit.
  • Prozentwert W: Er beschreibt den Anteil an der Gesamtheit.
  • Prozentsatz p\%: Das ist die Prozentangabe des Prozentwerts und sie kann auch als Prozentzahl p ohne Einheit angegeben werden.

Der Grundwert und der Prozentwert haben die gleiche Einheit (beispielsweise \text{km}). Der Prozentsatz wird hingegen immer in \% oder als Bruch bzw. Dezimalzahl ohne Einheit angegeben.

Beispiel
Im Beispiel mit den Äpfeln entspricht:

G = 100
W = 35
p\% = 35\,\% = 0,\!35

Prozentrechnung – Formeln einfach erklärt

Sind zwei Größen gegeben, lässt sich die dritte jeweils mit einer einfachen Formel berechnen.

Prozentrechnung – Prozentsatz berechnen

Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir die Formel:

p\% = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}} = \dfrac{W}{G}

Diese Formel wird auch als Grundgleichung oder Grundformel der Prozentrechnung bezeichnet.
Wir erhalten den Prozentsatz bei dieser Berechnung als Dezimalzahl. Um ihn als Prozentzahl zu schreiben, multiplizieren wir das Ergebnis mit 100 und ergänzen das Prozentzeichen.
Der Prozentsatz kann auch größer als 100\,\% sein, das ist bei Steigerungen der Fall.

Prozentrechnung – Prozentwert berechnen

Um den Prozentwert zu berechnen, nutzen wir die Formel:

W = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Grundwert} = p\% \cdot G

Hier muss beachtet werden, dass der Prozentsatz als Dezimalzahl ohne Prozentzeichen eingesetzt wird.

Prozentrechnung – Grundwert berechnen

Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir die Formel:

G = \dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Prozentsatz}} = \dfrac{W}{p\%}

Hier muss beachtet werden, dass der Prozentsatz als Dezimalzahl ohne Prozentzeichen eingesetzt wird.

Prozentrechnung – Eselsbrücke

Das folgende Formeldreieck kann helfen, sich die Zusammenhänge zwischen den drei Größen der Prozentrechnung besser zu merken:

Dreieck Prozentrechnung

In manchen Fällen wird dieses Dreieck auch als Pyramide der Prozentrechnung bezeichnet. Hältst du die gesuchte Zahl im Dreieck zu, dann bleiben die beiden gegebenen Zahlen übrig. Stehen sie nebeneinander (Prozentsatz und Grundwert), werden sie multipliziert, um die gesuchte Größe zu berechnen (Prozentwert). Stehen sie untereinander, wird der obere durch den unteren Wert geteilt, um die gesuchte Größe zu erhalten. 

Prozentrechnung – Beispiele

Die folgenden drei Beispiele zeigen, wie die Anwendung der Formeln der Prozentrechnung funktioniert.

Grundwert berechnen

Eine Bäuerin hat 520~\text{kg} Tomaten geerntet. Das entspricht 90\,\% der Ernte des Vorjahres. Wie viel \text{kg} Tomaten hat die Bäuerin im Vorjahr geerntet?

W = 450~\text{kg}
p\% = 90\,\% = 0,\!9

G = \dfrac{W}{p\%} = \dfrac{450~\text{kg}}{90\,\%} = \dfrac{520~\text{kg}}{0,\!9} = 500~\text{kg}

Im letzten Jahr hat sie also 500~\text{kg} Tomaten geerntet.

Prozentwert berechnen

In einer Klasse sind 25 Kinder. 60\,\% von ihnen mögen den Sommer mehr als den Winter. Wie viele Kinder mögen den Sommer mehr als den Winter?

G = 25
p\% = 60\,\% = 0,\!6

W = p\% \cdot G = 0,6 \cdot 25 = 15

15 Kinder aus der Klasse mögen den Sommer mehr als den Winter.

Prozentsatz berechnen

Eine Zugfahrt dauert insgesamt 2,\!4~\text{h}. Der Zug ist bereits 2,\!1~\text{h} unterwegs. Wie viel Prozent der Fahrzeit sind bereits geschafft?

G = 2, \!4~\text{h}
W = 2,\!1~\text{h}

p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{2,\!1}{2,\!4} = 0,\!875 = 87,\!5\,\%

87,\!5\,\% der Zugfahrt sind bereits geschafft.

Prozentrechnung – Dreisatz

Auch ohne eine Formel lassen sich Prozentaufgaben lösen. Dabei hilft uns der Dreisatz für Prozente. Betrachten wir dafür ein Beispiel:

In einem Zug sitzen 30 Menschen, 80\,\% von ihnen fahren bis zur Endhaltestelle. Wie viele Menschen sind das?

Der Grundwert sind die 30 Menschen im Zug \Rightarrow G=30.

Der Prozentsatz sind die 80\,\% der Fahrgäste, die bis zum Ende im Zug bleiben \Rightarrow p\% = 80\,\%.

Gesucht ist die Anzahl der Fahrgäste, die bis zum Ende im Zug bleibt. Also der Prozentwert W.

Der Ausgangspunkt im Dreisatz ist:

100\,\% \widehat{=} 30 Menschen

Im ersten Schritt rechnen wir auf 1\,\% herunter, indem wir auf beiden Seiten durch 100 teilen:

1\,\% \widehat{=} 0,\!3 Menschen

Um den Prozentwert zu bestimmen, multiplizieren wir nun beide Seiten mit 80 und erhalten somit:

Dreisatz Prozentrechnung

Ein Prozentsatz von 80\,\% entspricht also 24 Personen. 

Das gleiche Prinzip funktioniert auch dann, wenn der Prozentsatz oder der Grundwert gesucht wird. Die Vorgehensweise ist immer:

  • Ausgangsgrößen bestimmen
  • Auf 1 herunterrechnen (1\,\% oder 1 als Anzahl)
  • Auf den gesuchten Wert hochrechnen

Hinweis: Im Zwischenschritt des Dreisatz muss nicht immer zwingend auf 1 heruntergerechnet werden, häufig bieten sich auch gemeinsame Teiler von Ausgangsgröße und gesuchtem Wert an. 

Prozentrechnung bei Preisen

Im Alltag begegnen uns Prozente häufig bei Preisen als Vergünstigung oder Aufschlag. Wir wollen im Folgenden Beispiele betrachten, wie ein neuer oder ursprünglicher Preis oder ein prozentualer Aufschlag oder Nachlass berechnet werden kann.

Prozentrechnung – Rabatt und Aufschlag

Rabatte oder Preissteigerungen werden meist entweder als Wert oder als Prozentzahl angegeben. Dabei müssen wir Folgendes beachten:

\text{Prozentsatz} = 100\,\% - \text{Rabatt in Prozent}
\text{Prozentsatz} = 100\,\% + \text{Aufschlag in Prozent}

Der Prozentsatz muss also zunächst berechnet werden. Im Anschluss kann die Aufgabe normal gelöst werden.

\text{Verkaufspreis} = \text{Prozentsatz} \cdot \text{Ursprungspreis}

Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Beispiel 1 – Rabatt
Ein Handy kostet neu 250~\text{Euro}, gebraucht wird es für 30\,\% weniger verkauft. Wie viel kostet das gebrauchte Handy?

Zunächst muss der Prozentsatz ermittelt werden. Dieser ergibt sich, indem wir von 100\,\% den Rabatt von 30\,\% abziehen.

p\% = 100\,\% - 30\,\% = 70\,\% = 0,\!7

Der Prozentsatz beträgt 70\,\%. Der Grundwert ist 250~\text{Euro}. Den Prozentwert können wir nun mit der entsprechenden Formel berechnen.

W = p\% \cdot G = 70\,\% \cdot 250~\text{Euro} = 0,\!7 \cdot 250~\text{Euro} = 175~\text{Euro}

Der Preis des gebrauchten Handys beträgt 175~\text{Euro}.

Beispiel 2 – Aufschlag
Ein anderes Handy kostet im Laden 350~\text{Euro}. Die Lieferung nach Hause kostet zusätzlich 5\,\% Aufschlag. Wie teuer ist das Handy, wenn man es sich nach Hause liefern lässt?

Zunächst muss der Prozentsatz ermittelt werden. Dieser ergibt sich, indem wir zu 100\,\% den Aufschlag von 5\,\% addieren.

p\,\% = 100\,\% + 5\,\% = 105\,\% = 1,\!05

Der Prozentsatz beträgt 105\,\%. Der Grundwert ist 350~\text{Euro}. Den Prozentwert können wir nun mit der entsprechenden Formel berechnen.

W = p\,\% \cdot G = 105\,\% \cdot 350~\text{Euro} = 1,\!05 \cdot 350~\text{Euro} = 367,\!50~\text{Euro}

Lässt man sich das Handy nach Hause liefern, beträgt der Preis 367,50~\text{Euro}. Da es sich um eine Preissteigerung handelt, ist der Prozentsatz größer als 100\,\%.

Da es für die Rechnungen einfacher ist, den Prozentsatz als Dezimalzahl zu schreiben, können wir die Rabatt- und Aufschlags-Formel auch folgendermaßen schreiben:

\text{Verkaufspreis} = (1 - \text{Rabatt als Dezimalzahl}) \cdot \text{Ursprungspreis}
\text{Verkaufspreis} = (1 + \text{Aufschlag als Dezimalzahl}) \cdot \text{Ursprungspreis}

Prozentrechnung – Preiserhöhung und Preissenkung berechnen

Ist bei Preiserhöhungen oder -senkungen der Anfangs- und der Endpreis gegeben, kann die prozentuale Veränderung berechnet werden. Diese zeigt an, wie viel Prozent des Anfangspreises draufgelegt oder abgezogen wurden. Um die prozentuale Veränderung zu berechnen, nutzt man die folgende Formel:

\text{prozentuale Veränderung} = \dfrac{\text{Endwert - Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}

Hat etwas vor einer Woche noch 40~\text{Euro} gekostet und kostet jetzt 50~\text{Euro}, wird die prozentuale Veränderung folgendermaßen berechnet:

\begin{array}{lcl} \text{prozentuale Veränderung} &=& \dfrac{50~\text{Euro} - 40~\text{Euro}}{40~\text{Euro}} \\ \\ &=& \dfrac{10~\text{Euro}}{40~\text{Euro}} \\ \\ &=& 0,\!25 \\ \\ &=& 25\,\% \end{array}

Die prozentuale Veränderung beträgt 25\,\%. Der Preis ist um 25\,\% gestiegen. Bei einer Preissenkung erhalten wir einen negativen Wert.

Prozentrechnung – schneller Rechenweg

Für die Berechnung des Prozentwerts gibt es Tricks, mit denen das Rechnen deutlich leichter fällt.

Einfache Prozentrechnung im Kopf

Aufgaben mit einfachen Prozentsätzen kannst du leicht im Kopf lösen. Dafür wandelst du den Prozentsatz zunächst in einen Bruch um und rechnest im Anschluss den Prozentwert aus. 

Beispiel
50\,\% von 240

50\,\% ist als Bruch \frac{1}{2}. Du kannst also den Grundwert auch durch 2 teilen:

240 : 2 = 120

50\,\% von 240 sind 120.

Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Prozentsätze der Prozentrechnung als Bruch geschrieben.

Prozentsatz als Bruch Rechenweg Beispiel
75\,\% = \dfrac{3}{4} G durch 4 teilen und mit 3 multiplizieren 75\,\% von 240
240 \cdot 3 : 4 = 180
75\,\% von 240 sind 180
50\,\% = \dfrac{1}{2} G durch 2 teilen 50\,\% von 240
240 : 2 = 120
50\,\% von 240 sind 120
25\,\% = \dfrac{1}{4} G durch 4 teilen 25\,\% von 240
240 : 4 = 60
25\,\% von 240 sind 60
20\,\% = \dfrac{1}{5} G durch 5 teilen 20\,\% von 240
240 : 5 = 48
20\,\% von 240 sind 48
10\,\% = \dfrac{1}{10} G durch 10 teilen 10\,\% von 240
240 : 10 = 24
10\,\% von 240 sind 24

Prozentrechnung – Trick

Du kannst das Prozentzeichen bei der Berechnung des Prozentwerts zwischen dem Prozentsatz und dem Grundwert vertauschen. Das bedeutet:

20\,\% von 50~ \widehat{=} ~50\,\% von 20

Bei beiden Berechnungen ist der Prozentwert 10. Das liegt daran, dass sich Prozente auch als Brüche schreiben lassen:

20\,\% \cdot 50 = \dfrac{20}{100} \cdot 50 = \dfrac{20 \cdot 50}{100} = \dfrac{50}{100} \cdot 20 = 50\,\% \cdot 20

Beachte: Dieser Trick funktioniert nur bei der Berechnung des Prozentwerts!

Prozentrechnung – Aufgaben und Übungen

An den folgenden Aufgaben zur Prozentrechnung kannst du dein im Text erlerntes Wissen anwenden.

Aufgabe 1
In einer Packung sind 20 Gummibärchen. Davon sind 2 pink, 7 grün, 6 blau und 5 gelb. Berechne den jeweiligen Prozentsatz der Gummibärchen einer Farbe.

Lösung Aufgabe 1
Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:

p\% = \dfrac{W}{G}

Der Grundwert beträgt bei allen Farben 20. Der Prozentwert ist die entsprechende Anzahl der Gummibärchen einer Farbe. Um den Prozentsatz zu ermitteln, setzen wir beide Zahlen in die Formel ein:

pinke Gummibärchen: p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{2}{20} = 0,\!1 = 10\,\%

grüne Gummibärchen: p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{7}{20} = 0,\!35 = 35\,\%

blaue Gummibärchen: p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{6}{20} = 0,\!3 = 30\,\%

gelbe Gummibärchen: p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{5}{20} = 0,\!25 = 25\,\%

Aufgabe 2
Berechne die jeweils fehlende Größe mit dem Dreisatz.

Aufgabe a) p\%= 45\,\%; G = 120
Aufgabe b) p\% = 15\,\%; W = 11,\!25
Aufgabe c) G= 200; W = 180

Lösung Aufgabe 2
Aufgabe a)

\begin{array}{rcl} 100\,\% & \widehat{=} & 120\\ 1\,\% & \widehat{=} & 1,\!2 \\ 45\,\% & \widehat{=} & 54 \\ \end{array}

Aufgabe b)

\begin{array}{rcl} 15\,\% & \widehat{=} & 11,25\\ 1\,\% & \widehat{=} & 0,\!75 \\ 100\,\% & \widehat{=} & 75 \\ \end{array}

Aufgabe c)

\begin{array}{rcl} 200 & \widehat{=} & 100\,\%\\ 1 & \widehat{=} & 0,\!5\,\% \\ 180 & \widehat{=} & 90\,\% \\ \end{array}

Aufgabe 3
Eine Gitarre kostete ursprünglich 170~\text{Euro}. Da sie jedoch eine gerissene Saite hat, ist die Gitarre um 13\,\% reduziert. Wie viel kostet die Gitarre jetzt?

Lösung Aufgabe 3
p\% = 100\,\% - 13\,\% = 87\,\% = 0,\!87

W = p\% \cdot G = 87\,\% \cdot 170~\text{Euro} = 0,\!87 \cdot 170~\text{Euro} = 147,\!90~\text{Euro}

Die Gitarre mit der gerissenen Saite kostet noch 147,\!90~\text{Euro}.

Prozentrechnung im Alltag

Im Alltag begegnen uns Prozente und Prozentrechnung fast täglich. Beim Einkaufen sind Dinge immer wieder um einen bestimmten Prozentsatz reduziert. Mithilfe der Prozentrechnung kann der neue Preis berechnet werden. Aber auch Schulnoten ergeben sich häufig daraus, wie viel Prozent der Aufgaben richtig gelöst wurden. Leistungssteigerungen werden ebenfalls häufig in Prozent angegeben.

Prozentrechnung – Merkblatt

Im Folgenden werden die wichtigsten Informationen zur Prozentrechnung noch einmal zusammengefasst. Du kannst dir damit ein Merkblatt zum Lernen der Prozentrechnung anfertigen.

Prozentrechnung – Definitionen

Grundwert G: Er gibt das Ganze an.

Prozentwert W: Er gibt den Anteil an.

Prozentsatz p\%: Er gibt an, wie viel Prozent der Anteil des Ganzen entspricht.

Prozentrechnung – Formeln

G = \dfrac{W}{p\%}

W = p\% \cdot G

p\% = \dfrac{W}{G}

Prozentrechnung – Dreisatz

  • Ausgangsgrößen bestimmen
  • Auf 1 herunterrechnen (1\,\% oder 1 als Anzahl)
  • Auf den gesuchten Wert hochrechnen

Prozentrechner



Häufig gestellte Fragen zur Prozentrechnung

Die Prozentrechnung beschreibt das Rechnen mit Prozenten. Sie dient dazu, einen Anteil eines Ganzen darzustellen. 1\,\% entspricht dabei \frac{1}{100} oder 0,\!01.

Die Grundformel der Prozentrechnung ist p\% = \frac{W}{G}. So kann der Prozentsatz p\% eines Prozentwerts W berechnet werden. Der Grundwert G beschreibt hierbei das Ganze.

Der Prozentwert beschreibt den Anteil eines Ganzen.

Der Prozentsatz beschreibt den prozentualen Anteil des Prozentwerts.

Um den Prozentsatz p\% zu berechnen, wird die Formel p\% = \frac{W}{G} verwendet. Diese kann auch nach dem Prozentwert W oder dem Grundwert G umgestellt werden, um entsprechend diese Größen zu berechnen.

Wollen wir berechnen, wie viel Prozent 20 von 100 ist, nutzen wir die Grundformel der Prozentrechnung: p\% = \frac{W}{G}. In diesem Fall ist 100 der Grundwert G und 20 der Prozentwert W. Der Prozentsatz ist also: p\% = \frac{W}{G} = \frac{20}{100} = 0,\!2 = 20\,\%

Um den Prozentsatz mit dem Dreisatz zu berechnen, setzt man zunächst den Grundwert gleich 100\,\%. Im Anschluss wird durch Division durch dieselbe Zahl auf beiden Seiten auf 1\,\% heruntergerechnet. Im letzten Schritt geht man wieder hoch auf den Prozentwert, multipliziert also beide Seiten mit dem Prozentwert. Dem Prozentwert gegenüber steht nun der Prozentsatz.

Um den Prozentsatz zu berechnen, wenn x der Prozentwert und y der Prozentsatz ist, werden beide Größen in die Formel für den Prozentsatz eingesetzt:
p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{x}{y}

Gesucht ist der Prozentsatz p\%. Wir setzen die beiden gegebenen Werte G=150 und W=30 in die entsprechende Formel ein und erhalten einen Prozentsatz von:
p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{30}{150}= 0,\!2 = 20\,\%

Gesucht ist der Prozentsatz p\%. Wir setzen die beiden gegebenen Werte G=20 und W=5 in die entsprechende Formel ein und erhalten einen Prozentsatz von:
p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{5}{20}= 0,\!25 = 25\,\%

Auch hier ist der Prozentsatz p\% gesucht. Wir setzen die beiden gegebenen Werte G=250~\text{Euro} und W=50~\text{Euro} in die entsprechende Formel ein und erhalten einen Prozentsatz von:
p\% = \dfrac{W}{G} = \dfrac{50~\text{Euro}}{250~\text{Euro}}= 0,\!2 = 20\,\%

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