Prozentrechnung einfach erklärt – Formeln, Aufgaben und Übungen

Mithilfe der Prozentrechnung lässt sich ein Teil eines Ganzen beschreiben. Der Begriff Prozent steht im Lateinischen für von Hundert. entspricht dabei dem Ganzen, die Anteile entsprechen einer Zahl zwischen und .
Prozente lassen sich auch als Brüche und Dezimalzahlen darstellen. Dafür wird der Anteil in Prozent durch geteilt.

Beispiel
von Leuten mögen keine Äpfel. Leute sind dabei das Ganze, ist der Anteil. Wir schreiben:

der Leute mögen keine Äpfel.

Oder als Bruch und Dezimalzahl:

Es gibt drei wichtige Begriffe bei der Prozentrechnung:

• Grundwert : Er beschreibt die Gesamtheit.
• Prozentwert : Er beschreibt den Anteil an der Gesamtheit.
• Prozentsatz : Das ist die Prozentangabe des Prozentwerts und sie kann auch als Prozentzahl ohne Einheit angegeben werden.

Der Grundwert und der Prozentwert haben die gleiche Einheit (beispielsweise ). Der Prozentsatz wird hingegen immer in oder als Bruch bzw. Dezimalzahl ohne Einheit angegeben.

Beispiel
Im Beispiel mit den Äpfeln entspricht:

Sind zwei Größen gegeben, lässt sich die dritte jeweils mit einer einfachen Formel berechnen.

Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir die Formel:

Diese Formel wird auch als Grundgleichung oder Grundformel der Prozentrechnung bezeichnet.
Wir erhalten den Prozentsatz bei dieser Berechnung als Dezimalzahl. Um ihn als Prozentzahl zu schreiben, multiplizieren wir das Ergebnis mit und ergänzen das Prozentzeichen.
Der Prozentsatz kann auch größer als sein, das ist bei Steigerungen der Fall.

Um den Prozentwert zu berechnen, nutzen wir die Formel:

Hier muss beachtet werden, dass der Prozentsatz als Dezimalzahl ohne Prozentzeichen eingesetzt wird.

Um den Prozentsatz zu berechnen, nutzen wir die Formel:

Hier muss beachtet werden, dass der Prozentsatz als Dezimalzahl ohne Prozentzeichen eingesetzt wird.

Das folgende Formeldreieck kann helfen, sich die Zusammenhänge zwischen den drei Größen der Prozentrechnung besser zu merken:

In manchen Fällen wird dieses Dreieck auch als Pyramide der Prozentrechnung bezeichnet. Hältst du die gesuchte Zahl im Dreieck zu, dann bleiben die beiden gegebenen Zahlen übrig. Stehen sie nebeneinander (Prozentsatz und Grundwert), werden sie multipliziert, um die gesuchte Größe zu berechnen (Prozentwert). Stehen sie untereinander, wird der obere durch den unteren Wert geteilt, um die gesuchte Größe zu erhalten. 

Die folgenden drei Beispiele zeigen, wie die Anwendung der Formeln der Prozentrechnung funktioniert.

Eine Bäuerin hat Tomaten geerntet. Das entspricht der Ernte des Vorjahres. Wie viel Tomaten hat die Bäuerin im Vorjahr geerntet?

Im letzten Jahr hat sie also Tomaten geerntet.

In einer Klasse sind Kinder. von ihnen mögen den Sommer mehr als den Winter. Wie viele Kinder mögen den Sommer mehr als den Winter?

Kinder aus der Klasse mögen den Sommer mehr als den Winter.

Eine Zugfahrt dauert insgesamt . Der Zug ist bereits unterwegs. Wie viel Prozent der Fahrzeit sind bereits geschafft?

der Zugfahrt sind bereits geschafft.

Auch ohne eine Formel lassen sich Prozentaufgaben lösen. Dabei hilft uns der Dreisatz für Prozente. Betrachten wir dafür ein Beispiel:

In einem Zug sitzen Menschen, von ihnen fahren bis zur Endhaltestelle. Wie viele Menschen sind das?

Der Grundwert sind die Menschen im Zug .

Der Prozentsatz sind die der Fahrgäste, die bis zum Ende im Zug bleiben .

Gesucht ist die Anzahl der Fahrgäste, die bis zum Ende im Zug bleibt. Also der Prozentwert .

Der Ausgangspunkt im Dreisatz ist:

Menschen

Im ersten Schritt rechnen wir auf herunter, indem wir auf beiden Seiten durch teilen:

Menschen

Um den Prozentwert zu bestimmen, multiplizieren wir nun beide Seiten mit und erhalten somit:

Ein Prozentsatz von entspricht also Personen. 

Das gleiche Prinzip funktioniert auch dann, wenn der Prozentsatz oder der Grundwert gesucht wird. Die Vorgehensweise ist immer:

• Ausgangsgrößen bestimmen
• Auf herunterrechnen ( oder als Anzahl)
• Auf den gesuchten Wert hochrechnen

Hinweis: Im Zwischenschritt des Dreisatz muss nicht immer zwingend auf heruntergerechnet werden, häufig bieten sich auch gemeinsame Teiler von Ausgangsgröße und gesuchtem Wert an. 

Im Alltag begegnen uns Prozente häufig bei Preisen als Vergünstigung oder Aufschlag. Wir wollen im Folgenden Beispiele betrachten, wie ein neuer oder ursprünglicher Preis oder ein prozentualer Aufschlag oder Nachlass berechnet werden kann.

Rabatte oder Preissteigerungen werden meist entweder als Wert oder als Prozentzahl angegeben. Dabei müssen wir Folgendes beachten:

Der Prozentsatz muss also zunächst berechnet werden. Im Anschluss kann die Aufgabe normal gelöst werden.

Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Beispiel 1 – Rabatt
Ein Handy kostet neu , gebraucht wird es für weniger verkauft. Wie viel kostet das gebrauchte Handy?

Zunächst muss der Prozentsatz ermittelt werden. Dieser ergibt sich, indem wir von den Rabatt von abziehen.

Der Prozentsatz beträgt . Der Grundwert ist . Den Prozentwert können wir nun mit der entsprechenden Formel berechnen.

Der Preis des gebrauchten Handys beträgt .

Beispiel 2 – Aufschlag
Ein anderes Handy kostet im Laden . Die Lieferung nach Hause kostet zusätzlich Aufschlag. Wie teuer ist das Handy, wenn man es sich nach Hause liefern lässt?

Zunächst muss der Prozentsatz ermittelt werden. Dieser ergibt sich, indem wir zu den Aufschlag von addieren.

Der Prozentsatz beträgt . Der Grundwert ist . Den Prozentwert können wir nun mit der entsprechenden Formel berechnen.

Lässt man sich das Handy nach Hause liefern, beträgt der Preis . Da es sich um eine Preissteigerung handelt, ist der Prozentsatz größer als .

Da es für die Rechnungen einfacher ist, den Prozentsatz als Dezimalzahl zu schreiben, können wir die Rabatt- und Aufschlags-Formel auch folgendermaßen schreiben:

Ist bei Preiserhöhungen oder -senkungen der Anfangs- und der Endpreis gegeben, kann die prozentuale Veränderung berechnet werden. Diese zeigt an, wie viel Prozent des Anfangspreises draufgelegt oder abgezogen wurden. Um die prozentuale Veränderung zu berechnen, nutzt man die folgende Formel:

Hat etwas vor einer Woche noch gekostet und kostet jetzt , wird die prozentuale Veränderung folgendermaßen berechnet:

Die prozentuale Veränderung beträgt . Der Preis ist um gestiegen. Bei einer Preissenkung erhalten wir einen negativen Wert.

Für die Berechnung des Prozentwerts gibt es Tricks, mit denen das Rechnen deutlich leichter fällt.

Aufgaben mit einfachen Prozentsätzen kannst du leicht im Kopf lösen. Dafür wandelst du den Prozentsatz zunächst in einen Bruch um und rechnest im Anschluss den Prozentwert aus. 

Beispiel
von

ist als Bruch . Du kannst also den Grundwert auch durch teilen:

von sind .

Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Prozentsätze der Prozentrechnung als Bruch geschrieben.

Du kannst das Prozentzeichen bei der Berechnung des Prozentwerts zwischen dem Prozentsatz und dem Grundwert vertauschen. Das bedeutet:

von von

Bei beiden Berechnungen ist der Prozentwert . Das liegt daran, dass sich Prozente auch als Brüche schreiben lassen:

Beachte: Dieser Trick funktioniert nur bei der Berechnung des Prozentwerts!

An den folgenden Aufgaben zur Prozentrechnung kannst du dein im Text erlerntes Wissen anwenden.

Aufgabe 1
In einer Packung sind Gummibärchen. Davon sind pink, grün, blau und gelb. Berechne den jeweiligen Prozentsatz der Gummibärchen einer Farbe.

Lösung Aufgabe 1
Die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes lautet:

Der Grundwert beträgt bei allen Farben . Der Prozentwert ist die entsprechende Anzahl der Gummibärchen einer Farbe. Um den Prozentsatz zu ermitteln, setzen wir beide Zahlen in die Formel ein:

pinke Gummibärchen:

grüne Gummibärchen:

blaue Gummibärchen:

gelbe Gummibärchen:

Aufgabe 2
Berechne die jeweils fehlende Größe mit dem Dreisatz.

Aufgabe a) ;
Aufgabe b) ;
Aufgabe c) ;

Lösung Aufgabe 2
Aufgabe a)

Aufgabe b)

Aufgabe c)

Aufgabe 3
Eine Gitarre kostete ursprünglich . Da sie jedoch eine gerissene Saite hat, ist die Gitarre um reduziert. Wie viel kostet die Gitarre jetzt?

Lösung Aufgabe 3

Die Gitarre mit der gerissenen Saite kostet noch .

Im Alltag begegnen uns Prozente und Prozentrechnung fast täglich. Beim Einkaufen sind Dinge immer wieder um einen bestimmten Prozentsatz reduziert. Mithilfe der Prozentrechnung kann der neue Preis berechnet werden. Aber auch Schulnoten ergeben sich häufig daraus, wie viel Prozent der Aufgaben richtig gelöst wurden. Leistungssteigerungen werden ebenfalls häufig in Prozent angegeben.

Im Folgenden werden die wichtigsten Informationen zur Prozentrechnung noch einmal zusammengefasst. Du kannst dir damit ein Merkblatt zum Lernen der Prozentrechnung anfertigen.

Prozentrechnung – Definitionen

Grundwert : Er gibt das Ganze an.

Prozentwert : Er gibt den Anteil an.

Prozentsatz : Er gibt an, wie viel Prozent der Anteil des Ganzen entspricht.

Prozentrechnung – Formeln

Prozentrechnung – Dreisatz

• Ausgangsgrößen bestimmen
• Auf herunterrechnen ( oder als Anzahl)
• Auf den gesuchten Wert hochrechnen