Rationale Zahlen – Definition und Beispiele

Erfahre alles über rationale Zahlen, die natürliche, ganze Zahlen, Brüche sowie Dezimalzahlen umfassen. Auf dem Zahlenstrahl dargestellt, können sie addiert, subtrahiert, multipliziert und dividitiert werden. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Rationale Zahlen

Rationale Zahlen im Überblick

  • Die Menge der rationalen Zahlen wird in der Mathematik mit dem Zeichen \mathbb{Q} abgekürzt.

  • Die Menge der rationalen Zahlen beinhaltet die natürlichen und ganzen Zahlen, alle Brüche sowie endliche und periodische Dezimalzahlen.

  • Rationale Zahlen können auf dem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dafür wird der Bereich zwischen zwei ganzen Zahlen entsprechend genauer unterteilt.
  • Rationale Zahlen können addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.
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Quelle sofatutor.com

Rationale Zahlen – Einführung

In der Mathematik gibt es verschiedene Zahlenmengen, die betrachtet werden können.
Die Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} umfasst in Mathe neben den natürlichen Zahlen \mathbb{N} (z. B. 2 oder 534) und den ganzen Zahlen \mathbb{Z} (z. B. -4 oder 4), auch Brüche und alle endlichen oder periodischen Dezimalzahlen, also alle Dezimalzahlen, die als Bruch dargestellt werden können.
Das Symbol \mathbb{Q} kommt daher, dass alle rationalen Zahlen in Form eines Bruchs – eines Quotienten – geschrieben werden können.

Beispiele für positive rationale Zahlen:

  • \frac{3}{2}
  • 1,\!25

Beispiele für negative rationale Zahlen:

  • -\frac{5}{3}
  • -12,\!5

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen sind irrationale Zahlen nicht periodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen (z. B. die Kreiszahl \pi = 3,\!14159\dots). Diese lassen sich nicht als Bruch darstellen. Die Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen wird die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R} genannt.

Im Alltag begegnen uns häufig rationale Zahlen: beim Bezahlen an der Kasse, beim Ablesen der Temperatur auf einem Thermometer oder bei Kochrezepten.

Rationale Zahlen – einfach erklärt am Zahlenstrahl

Wie auch natürliche oder ganze Zahlen können die rationalen Zahlen auf einem Zahlenstrahl dargestellt werden. Dabei steht die Zahl 0 in der Mitte, links davon sind die negativen und rechts die positiven Zahlen angeordnet. Die Zahlen werden auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts immer größer. Das bedeutet, die negativen Zahlen sind alle kleiner als 0 und die positiven Zahlen entsprechend größer als 0.

Rationale Zahlen am Zahlenstrahl

Du siehst hier einen Zahlenstrahl mit verschiedenen rationalen Zahlen. Die Abstände zwischen den ganzen Zahlen sind dabei wie gewohnt immer gleich.
Nicht ganze rationale Zahlen sind zwischen den ganzen Zahlen angeordnet. Beispielsweise liegt die Zahl 3,\!5 genau mittig zwischen den ganzen Zahlen 3 und 4. Die Zahl 1,\!7 wird zwischen 1 und 2 eingetragen. Sie liegt nicht mittig, sondern etwas näher an der 2. Um den Bruch \frac{1}{3} auf dem Zahlenstrahl zu markieren, wird der Bereich zwischen 0 und 1 in drei gleich große Teile unterteilt.
Auch negative rationale Zahlen können so auf dem Zahlenstrahl eingetragen werden. Zwei Zahlen, die dabei den gleichen Abstand zur 0 haben, heißen Gegenzahlen. Der Abstand einer Zahl zu 0 ist stets positiv, wir nennen ihn Betrag.
Wir schreiben dafür die Zahl zwischen zwei (Betrags-)Striche:
\vert 15 \vert = 15~ oder \vert -\!3 \vert = 3
In unserem Beispiel finden wir folgende Gegenzahlen:

  • \vert 3,\!5 \vert = 3,\!5 = \vert -\!3,\!5 \vert
  • \vert 1,\!7 \vert = 2,\!7 = \vert -\!1,\!7 \vert
  • \vert \frac{1}{3} \vert = \frac{1}{3} = \vert -\!\frac{1}{3} \vert

Auf dem Zahlenstrahl kann die Gegenzahl einer beliebigen Zahl auch durch Spiegelung an der 0 gefunden werden. Um Zahl und Gegenzahl am Zahlenstrahl einzuzeichnen, reicht es demnach, die Position einer der beiden Zahlen zu finden und diese dann entsprechend zu spiegeln.

Rechnen mit rationalen Zahlen

Im Folgenden werden Rechengesetze betrachtet, die zu beachten sind, wenn wir rationale Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dabei gelten für rationale Zahlen die gleichen Rechenregeln bezüglich der Reihenfolge und Vorzeichen wie für ganze Zahlen.

Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Bei der Addition und Subtraktion von Brüchen gilt, dass die beiden Zahlen den gleichen Nenner haben müssen, dann können die Zähler addiert oder subtrahiert werden.

Beispiele:
\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}
\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{6}

Für die Vorzeichen gibt es folgende Regeln, analog zu den ganzen Zahlen:

  • Bei gleichem Vorzeichen der Summanden erhält das Ergebnis das gleiche Vorzeichen.
  • Bei verschiedenen Vorzeichen der Summanden erhält das Ergebnis das Vorzeichen des Summanden mit größerem Betrag.

Werden Dezimalzahlen addiert oder subtrahiert, muss auf die Position des Kommas geachtet werden. Dezimalzahlen werden etwa bei der schriftlichen Addition so untereinandergeschrieben, dass das Komma genau untereinander steht.

Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

Bei der Multiplikation spielen die Vorzeichen eine wichtige Rolle. Analog zu den ganzen Zahlen gibt es zwei wichtige Regeln: 

  1. Zwei Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen multipliziert ergeben ein Ergebnis mit positivem Vorzeichen.
  2. Zwei Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen multipliziert ergeben ein Ergebnis mit negativem Vorzeichen. 

Folgend ein Beispiel in einer Tabelle mit verschiedenen Vorzeichen für die Faktoren:

Zahl Mal Zahl Ergebnis
5 ⋅ 2 = 10
-5 ⋅ -2 = 10
-5 ⋅ 2 = -10
5 ⋅ -2 = -10

Brüche werden multipliziert, indem ihre Zähler sowie ihre Nenner miteinander multipliziert und gegebenenfalls gekürzt werden.
Beispiel:
\dfrac{1}{2} \cdot (-\dfrac{3}{2}) = - \dfrac{1\cdot 3}{2\cdot2} = -\dfrac{3}{4}
Hier wurde eine positive rationale Zahl mit einer negativen rationalen Zahl multipliziert. Nach obigen Regeln ist das Ergebnis also negativ.

Für die Division gelten die gleichen Regeln wie bei der Multiplikation bezüglich der Vorzeichen.
Zudem gilt für Brüche, dass die Division der Multiplikation mit dem Kehrwert entspricht:
Beispiel:
\left(-\dfrac{4}{3}\right) : \left(-\dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{^{1\!}\not{\!4} ~\cdot \not{\!3}^{~1}}{ _{1\!}\not{\!3} ~\cdot \not{\!8}_{~2}} = \dfrac{1}{2}
Da zwei negative Zahlen dividiert wurden, ist das Ergebnis positiv.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rationale Zahlen

Rationale Zahlen lassen sich als Bruch darstellen. Das bedeutet, die Menge der rationalen Zahlen \mathbb{Q} beinhaltet alle Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können: natürliche Zahlen, ganze Zahlen sowie endlich und periodische Dezimalzahlen.

Beispiele für rationale Zahlen sind \frac{3}{2}, -\frac{5}{3} oder -12,\!5.

Ja. Zahlen, die als Brüche darstellbar sind, gehören zur Menge \mathbb{Q} der rationalen Zahlen.

Im Allgemeinen zählen Wurzeln nicht zu den rationalen Zahlen. Eine Ausnahme bilden Wurzeln aus dem Quadrat einer rationalen Zahl. Diese lassen sich zu einer rationalen Zahl auflösen.

\mathbb{Q} ist das Symbol für die Menge der rationalen Zahlen. Das \mathbb{Q} kommt von „Quotient“, da rationale Zahlen Brüche sind, die auch als Quotienten bezeichnet werden.

Alle Zahlen, die als Brüche dargestellt werden können, sind rationale Zahlen. Dazu gehören natürliche Zahlen, ganze Zahlen sowie endliche und periodische Dezimalzahlen.

Ja, 0 ist eine rationale Zahl.

Bei der Addition von Bruchzahlen muss darauf geachtet werden, dass nur Zahlen mit gleichem Nenner addiert werden können. Gegebenenfalls müssen die Zahlen also erweitert werden, um einen gemeinsamen Nenner zu erhalten.

Nein. Ganze Zahlen beinhalten lediglich die natürlichen Zahlen (Zählzahlen), die Null und die negativen ganzen Zahlen, also \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}. Die rationalen Zahlen erweitern die Menge der ganzen Zahlen mit Brüchen und endlichen sowie periodischen Dezimalzahlen.
Das heißt, jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, da sie als Bruch dargestellt werden kann (z. B. kann -4 als -\frac{4}{1} geschrieben werden). Jedoch gilt das nicht umgekehrt.

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können.
Irrationale Zahlen hingegen sind nicht periodische Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die somit nicht als Bruch dargestellt werden können.

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