Vierfeldertafel – Definition und Beispiele

Die Vierfeldertafel verknüpft zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen und zeigt absolute oder relative Häufigkeiten. Erfahre, wie sie bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit darstellt.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Vierfeldertafel

Das Quiz zum Thema: Vierfeldertafel

Was ist eine Vierfeldertafel?

Frage 1 von 5

Wofür wird eine Vierfeldertafel verwendet?

Frage 2 von 5

Wie rechnet man mit einer Vierfeldertafel?

Frage 3 von 5

Wann benutzt man eine Vierfeldertafel?

Frage 4 von 5

Was zeigt eine Vierfeldertafel?

Frage 5 von 5

Die Vierfeldertafel im Überblick

  • Die Vierfeldertafel wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung genutzt, um zwei Merkmale mit je zwei Merkmalsausprägungen zu verknüpfen.

  • In die Felder einer Vierfeldertafel werden absolute oder relative Häufigkeiten eingetragen.

  • Die vier inneren Felder, die der Vierfeldertafel ihren Namen geben, stehen für Und-Verknüpfungen von Ereignissen.

Vierfeldertafel Video

Quelle sofatutor.com

Vierfeldertafel – Definition

Vierfeldertafeln werden in Mathe in der Stochastik (Wahrscheinlichkeitsrechnung) verwendet. Sie stellen Wahrscheinlichkeiten, absolute oder relative Häufigkeiten in einer Tabelle dar. Dabei hat eine Vierfeldertafel immer denselben Aufbau: Durch die Und-Verknüpfung von zwei Merkmalen mit je zwei Merkmalsausprägungen entstehen die vier inneren Felder, die namensgebend sind. 

Vierfeldertafel Definition

Wie in der Darstellung werden die beiden ersten Merkmalsausprägungen A und \bar{A}, sprich „nicht A“, über die vier inneren Felder geschrieben. Die beiden Ausprägungen B und \bar{B} stehen auf der linken Seite neben den Feldern. In den inneren Feldern stehen die Verknüpfungen der Merkmalsausprägungen, also zum Beispiel im inneren Feld oben links A und B.
Einfach erklärt ist eine Vierfeldertafel also eine Tabelle, die das Eintreten oder Nichteintreten von zwei Ereignissen verknüpft. Dabei können in den Feldern die absoluten oder die relativen Häufigkeiten der kombinierten Ereignisse stehen. Die Felder am Ende einer Zeile bzw. am Ende einer Spalte enthalten stets die Summe der inneren Felder, die neben bzw. über dem Feld stehen.
\begin{array}{c|c|c|c} & A & \bar{A} & \text{gesamt} \\ \hline \\ B & A \text{ UND } B & \bar{A} \text{ UND } B & (A \text{ UND } B) + (\bar{A} \text{ UND } B) \\ \hline \\ \bar{B} & A \text{ UND } \bar{B} & \bar{A} \text{ UND } \bar{B} & (A \text{ UND } \bar{B}) + (\bar{A} \text{ UND } \bar{B}) \\ \hline \\ \text{gesamt} &(A \text{ UND } B) + (A \text{ UND } \bar{B}) & (\bar{A} \text{ UND } B) + (\bar{A} \text{ UND } \bar{B}) & \text{Gesamtzahl} \end{array}

Vierfeldertafel – absolute Häufigkeit

Wenn wir eine Vierfeldertafel erstellen, beginnen wir oft mit der absoluten Häufigkeit. Sie gibt die Anzahl der Objekte an, auf die ein Merkmal oder eine Kombination von Merkmalen zutrifft.
Die folgende Vierfeldertafel zeigt die absoluten Häufigkeiten von Schülerinnen und Schülern einer Jahrgangsstufe, die gerne schwimmen S und gerne Rad fahren R.
\begin{array}{c|c|c|c} & S & \bar{S} & \\ \hline R & 56 & 26 & 82\\ \hline \bar{R} & 7 & 24 & 31\\ \hline & 63 & 50 & 113 \end{array}
Im äußeren Feld ganz unten rechts können wir ablesen, dass insgesamt 113 Kinder die Jahrgangsstufe besuchen. An den äußeren Feldern können wir beispielsweise erkennen, dass insgesamt 82 Schülerinnen und Schüler gerne Rad fahren oder dass 50 nicht gerne schwimmen. Die inneren Felder enthalten die Zahlen der Schülerinnen und Schüler, auf die mehrere Merkmalsausprägungen gleichzeitig zutreffen. So gibt es in der Jahrgangsstufe zum Beispiel 56 Kinder, die gerne schwimmen und Rad fahren, aber nur 7 Kinder, die gerne schwimmen und nicht gerne Rad fahren.

Vierfeldertafel – relative Häufigkeit

Aus einer Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten können wir auch die Wahrscheinlichkeiten dafür ablesen, dass bei zufälliger Auswahl eine entsprechende Merkmalskombination auftritt. Wir berechnen die relativen Häufigkeiten für die Vierfeldertafel, indem wir die absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtzahl im Feld unten rechts teilen.
Dazu betrachten wir erneut das Beispiel von oben.
\begin{array}{c|c|c|c} & S & \bar{S} & \\ \hline R & \frac{56}{113} \approx 0,50& \frac{26}{113} \approx 0,23 & \frac{82}{113} \approx 0,73 \\ \hline \bar{R} & \frac{7}{113} \approx 0,06 & \frac{24}{113} \approx 0,21 & \frac{31}{113} \approx 0,27 \\ \hline & \frac{63}{113} \approx 0,56 & \frac{50}{113} \approx 0,44 & 1 \end{array}
Dabei können Einträge als Brüche, Dezimalzahlen oder Prozentangaben erfolgen.
\begin{array}{c|c|c|c} & S & \bar{S} & \\ \hline R & 50\,\% & 23\,\% & 73\,\% \\ \hline \bar{R} & 6\,\% & 21\,\% & 27\,\% \\ \hline & 56\,\% & 44\,\% & 100\,\% \end{array}
Wenn in der Vierfeldertafel relative Häufigkeiten angegeben sind, steht im Feld ganz unten rechts immer eine 1 bzw. 100\,\%. Aus der Vierfeldertafel können wir jetzt beispielsweise ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler nicht gerne schwimmt, 44\,\% beträgt (äußeres Feld unter \bar{S}). Die Wahrscheinlichkeit, zufällig ein Kind zu erwischen, das gerne schwimmt und mit dem Fahrrad fährt, ist 50\,\% (inneres Feld oben links).

Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit

Eine Vierfeldertafel ermöglicht auch einfache Auswertungen in der Statistik. Wir können beispielsweise anhand der in einer Vierfeldertafel veranschaulichten Daten bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen oder die stochastische Unabhängigkeit der betrachteten Merkmale prüfen. Wir wollen dies nun allgemein an einer Vierfeldertafel mit den relativen Häufigkeiten der Ereignisse A und B betrachten. Dabei steht das Symbol \cap für die Schnittmenge, die der Und-Verknüpfung, also dem gleichzeitigen Eintreten, von zwei Ereignissen entspricht.
\begin{array}{c|c|c|c} & A & \bar{A} & \\ \hline B & P(A \cap B) & P(\bar{A} \cap B) & P(B) \\ \hline \bar{B} & P(A \cap \bar{B}) & P(\bar{A} \cap \bar{B}) & P(\bar{B}) \\ \hline & P(A) & P(\bar{A}) & 1 \end{array}

Bedingte Wahrscheinlichkeit:
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A unter der Bedingung eintritt, wenn das Ereignis B bereits eingetreten ist, schreiben wir: P(A\vert B), sprich „P von A unter der Bedingung B“.
Zur Berechnung nutzen wir die Formel:
P(A\vert B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}
Die Vierfeldertafel enthält bereits alle Wahrscheinlichkeiten, die für die Formel benötigt werden, diese können also direkt eingesetzt werden.

Stochastische Unabhängigkeit:
Zwei Ereignisse A und B werden als stochastisch unabhängig bezeichnet, wenn sie ihr Eintreten nicht gegenseitig beeinflussen. Dies kann rechnerisch durch die Gleichung:
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
nachgewiesen werden. Zur Überprüfung der Unabhängigkeit setzten wir die Wahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldertafel in diese Gleichung ein.

Vierfeldertafel und Baumdiagramm

Die Wahrscheinlichkeiten eines Baumdiagramms mit vier Ästen (zwei Stufen mit je zwei Verzweigungen) können in einer Vierfeldertafel mit relativen Häufigkeiten dargestellt werden und umgekehrt. Dabei entsprechen die Werte der inneren Felder einer Vierfeldertafel den Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

Vierfeldertafel und Baumdiagramm

Aufgaben mit Vierfeldertafeln

Bei Aufgaben zur Vierfeldertafel geht es meist um das Aufstellen, Ausfüllen oder Vervollständigen einer Vierfeldertafel. Dazu können wir die Eigenschaft nutzen, dass in den äußeren Feldern die Summe der inneren Felder steht.
Hinweis: Auch wenn in einer Aufgabe das Zeichnen einer Vierfeldertafel nicht explizit verlangt ist, kann diese dir helfen, die Daten zu ordnen und so die Bearbeitung zu erleichtern.

Beispiel:
Von 200 Puzzleteilen sind 50 dunkel (D) und 60 Teile bilden den Rand R. Von den Randteilen ist die Hälfte dunkel.
Wir stellen eine Vierfeldertafel auf, um die Anzahl der hellen Teile zu berechnen, die nicht zum Rand gehören. Dazu tragen wir zunächst die Werte aus der Angabe in die passenden Felder ein. Die Hälfte der Randteile, die dunkel sind, berechnen wir als 60:2 = 30.
\begin{array}{c|c|c|c} & D & \bar{D} & \\ \hline R & \mathbf{30} && \mathbf{60} \\ \hline \bar{R} &&& \\ \hline & \mathbf{50} && \mathbf{200} \end{array}

Nun füllen wir die restlichen Felder aus, indem wir Summen und Differenzen bilden.
\begin{array}{c|c|c|c} & D & \bar{D} & \\ \hline R & \mathbf{30} & 30 & \mathbf{60} \\ \hline \bar{R} & 20 & 120 & 140 \\ \hline & \mathbf{50} & 150 & \mathbf{200} \end{array}
Nun können wir ablesen, dass es 120 helle (\bar{D}) Teile gibt, die nicht zum Rand (\bar{R}) gehören.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel ist eine Art von Tabelle, die zwei Merkmale mit je zwei Merkmalsausprägungen verknüpft und Häufigkeiten zu diesen Merkmalsausprägungen festhält.

Bei einer Vierfeldertafel stehen in den vier inneren Feldern die Häufigkeiten der Und-Verknüpfungen der Ereignisse. In den äußeren Felder steht jeweils die Summe der Werte aus den inneren Feldern, die sich über oder neben einem Randfeld befinden.

Beim Aufstellen einer Vierfeldertafel werden die zwei Ausprägungen des einen Merkmals über die vier inneren Felder geschrieben, die zwei Ausprägungen des anderen Merkmals stehen links neben den inneren Feldern. In die Felder werden dann die absoluten oder relativen Häufigkeiten eingetragen. Dabei stehen in den inneren Feldern die Und-Verknüpfungen der beiden Merkmale, die äußeren Felder stehen für das Merkmal, das sich links oder oberhalb des Feldes befindet.

Eine Vierfeldertafel ist immer dann sinnvoll, wenn Kombinationen aus zwei Merkmalen betrachtet werden, für die jeweils genau zwei Merkmalsausprägungen unterschieden werden. Zum Beispiel die Merkmale Geschlecht und Brillenträger mit den Ausprägungen Mann und Frau bzw. Brillenträger und kein Brillenträger.

In einer Vierfeldertafel stehen in einem Feld am Ende einer Zeile bzw. Spalte die Summen der beiden inneren Felder, die direkt neben oder oberhalb des Feldes liegen. So können die Werte der äußeren Felder als Summe oder die der inneren als Differenz berechnet werden, um eine Vierfeldertafel zu vervollständigen.
Außerdem kann aus einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten eine mit relativen Häufigkeiten berechnet werden und umgekehrt, indem der Wert in jedem Feld durch die Gesamtzahl geteilt oder mit ihr multipliziert wird.

Es gibt Vierfeldertafeln mit absoluten Häufigkeiten und Vierfeldertafeln mit relativen Häufigkeiten von Ereignissen.

Aus einer Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten kann die relative Häufigkeit berechnet werden, indem die absoluten Häufigkeiten in den einzelnen Feldern durch die Gesamtzahl geteilt werden, die in dem äußeren Feld ganz unten rechts steht.

Baumdiagramme eignen sich besonders zur Visualisierung mehrstufiger Zufallsexperimente. Eine Vierfeldertafel ist sinnvoll, um die Verknüpfung von zwei Merkmalen darzustellen, die je genau zwei Ausprägungen haben.
Generell gilt, dass die Informationen aus einer Vierfeldertafel immer auch als Baumdiagramm veranschaulicht werden können. Dabei hat die Vierfeldertafel die Vorteile, dass sie auch zur Darstellung der absoluten Häufigkeiten geeignet ist und dass die Werte der Und-Verknüpfungen ohne weitere Berechnung abgelesen werden können.

Die Sensitivität und Spezifität eines Diagnoseverfahrens können mit den absoluten Häufigkeiten in einer Vierfeldertafel bestimmt werden. Dabei gibt die Sensitivität die Wahrscheinlichkeit an, eine betroffene Person zu erkennen. Sie ergibt sich als Quotient aus der Anzahl der erkannten Betroffenen und der Anzahl der insgesamt betroffenen Personen. Die Wahrscheinlichkeit, eine nicht betroffene Person als solche zu erkennen, wird als Spezifität bezeichnet. Sie erhalten wir als Quotienten aus der Anzahl der korrekt als solche identifizierten und der Anzahl aller nicht betroffenen Personen.

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