Distributivgesetz – Klammern ausmultiplizieren und Ausklammern
Inhaltsverzeichnis zum Thema Distributivgesetz
Rechengesetze in der Mathematik – Einführung Distributivgesetz
Die wichtigsten Rechenregeln in Mathe heißen Gesetze. Zu ihnen gehören zum Beispiel das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz ebenso wie das Distributivgesetz, das wir hier genauer betrachten wollen.
Der Name Distributivgesetz hat die Bedeutung Verteilungsgesetz vom lateinischen Verb distribuere, was „verteilen“ bedeutet. Was beim Rechnen mit dem Distributivgesetz verteilt wird, wird im Folgenden einfach erklärt.
Distributivgesetz – Definition
Wir definieren das Distributivgesetz hier für drei Zahlen ,
und
.
Das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Faktors mit einer Summe
lautet:
Das Distributivgesetz für die Division einer Summe durch einen Divisor
lautet:
Das Distributivgesetz hilft uns also dabei, Klammern aufzulösen bzw. einen Faktor auszuklammern.
Hinweis: Das Distributivgesetz gilt auch, wenn in der Klammer eine Differenz steht. In dem Fall schreiben wir in eine Addition um und wenden das Distributivgesetz an:
Distributivgesetz – Erklärung
Das Distributivgesetz besagt, dass sich der Wert eines Terms nicht ändert, wenn wir, anstatt einen Faktor mit einer Summe zu multiplizieren, den Faktor mit den einzelnen Summanden multiplizieren. Wir betrachten dazu ein Zahlenbeispiel:
Auf einen formalen Beweis für das Distributivgesetz wollen wir verzichten und uns dafür seine Gültigkeit an der folgenden Darstellung veranschaulichen:

Wir betrachten eine Menge aus roten und blauen Punkten. Auf der linken Seite der Gleichung werden alle Punkte zusammen verdoppelt. Dies entspricht der Rechnung . Auf der rechten Seite werden die Punkte einzeln verdoppelt und dann zusammengezählt. Dies entspricht der Rechnung
. Wir erkennen, dass die Gesamtzahl der Punkte sich durch die unterschiedliche Darstellung nicht verändert. Auf der linken und rechten Seite der Gleichung befinden sich je
Punkte.
Distributivgesetz – Anwendung und Beispiele
Das Distributivgesetz kann beim Rechnen mit Zahlen und Termen angewendet werden. Das Distributivgesetz gilt dabei für beliebige reelle Zahlen, also zum Beispiel bei rationalen Zahlen, Brüchen und Wurzeln. Auch in Termen mit Variablen und bei komplexen Zahlen können wir das Distributivgesetz verwenden.
Bei der Anwendung des Distributivgesetzes unterscheiden wir zwischen dem Ausmultiplizieren und Ausklammern.
Ausmultiplizieren:
Hier wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.
Ausklammern:
Hier wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt.
Distributivgesetz bei Bruchtermen
Bei einem Bruchterm mit Summen und Differenzen im Nenner kann nicht ohne Weiteres gekürzt werden. Wenn wir durch Anwendung des Distributivgesetzes Zähler und Nenner in ein Produkt mit gemeinsamen Faktoren umformen, dürfen wir diesen kürzen.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Distributivgesetz bei Vektoren und Matrizen
Das Distributivgesetz gilt auch bei Matrix- und Vektormultiplikation:
Distributivgesetz | ||
---|---|---|
Matrixmultiplikation | ![]() ![]() |
|
Kreuzprodukt | ![]() |
|
Skalarprodukt | ![]() |
Distributivgesetz in der Logik und Mengenlehre
Auch bei Mengen und in der Aussagenlogik kann das Distributivgesetz angewendet werden. Es gilt hier beispielsweise bezüglich Schnitt () und Vereinigung (
) bzw. bezüglich und (
) und oder (
):
Häufig gestellte Fragen zum Distributivgesetz