Distributivgesetz – Klammern ausmultiplizieren und Ausklammern

Inhaltsverzeichnis zum Thema Distributivgesetz

Das Distributivgesetz im Überblick

  • Das Distributivgesetz wird beim Auflösen von Klammern angewendet.

  • Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz, da ein Faktor auf mehrere Summanden verteilt wird.

  • Mit dem Distributivgesetz kann ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt.

  • In Mathe gibt es neben dem Distributivgesetz auch das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz als wichtige Gesetze für die Grundrechenarten.

Distributivgesetz Video

Quelle sofatutor.com

Rechengesetze in der Mathematik – Einführung Distributivgesetz

Die wichtigsten Rechenregeln in Mathe heißen Gesetze. Zu ihnen gehören zum Beispiel das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz ebenso wie das Distributivgesetz, das wir hier genauer betrachten wollen.

Der Name Distributivgesetz hat die Bedeutung Verteilungsgesetz vom lateinischen Verb distribuere, was „verteilen“ bedeutet. Was beim Rechnen mit dem Distributivgesetz verteilt wird, wird im Folgenden einfach erklärt. 

Distributivgesetz – Definition

Wir definieren das Distributivgesetz hier für drei Zahlen a, b und c.

Das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Faktors a mit einer Summe b+c lautet:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Das Distributivgesetz für die Division einer Summe a+b durch einen Divisor c lautet:

(a + b) : c = a : c + b : c

Das Distributivgesetz hilft uns also dabei, Klammern aufzulösen bzw. einen Faktor auszuklammern.

Hinweis: Das Distributivgesetz gilt auch, wenn in der Klammer eine Differenz steht. In dem Fall schreiben wir in eine Addition um und wenden das Distributivgesetz an:

a \cdot (b - c) = a \cdot (b + (-c)) = a \cdot b + a \cdot (-c) = a \cdot b - a \cdot c

Distributivgesetz – Erklärung

Das Distributivgesetz besagt, dass sich der Wert eines Terms nicht ändert, wenn wir, anstatt einen Faktor mit einer Summe zu multiplizieren, den Faktor mit den einzelnen Summanden multiplizieren. Wir betrachten dazu ein Zahlenbeispiel:

3 \cdot (1 + 5) = 3 \cdot 6 = 18
3 \cdot (1 + 5) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 3 + 15 = 18

Auf einen formalen Beweis für das Distributivgesetz wollen wir verzichten und uns dafür seine Gültigkeit an der folgenden Darstellung veranschaulichen:

Beweis Distributivgesetz

Wir betrachten eine Menge aus roten und blauen Punkten. Auf der linken Seite der Gleichung werden alle Punkte zusammen verdoppelt. Dies entspricht der Rechnung 2 \cdot (1 + 3). Auf der rechten Seite werden die Punkte einzeln verdoppelt und dann zusammengezählt. Dies entspricht der Rechnung 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3. Wir erkennen, dass die Gesamtzahl der Punkte sich durch die unterschiedliche Darstellung nicht verändert. Auf der linken und rechten Seite der Gleichung befinden sich je 8 Punkte.

Distributivgesetz – Anwendung und Beispiele

Das Distributivgesetz kann beim Rechnen mit Zahlen und Termen angewendet werden. Das Distributivgesetz gilt dabei für beliebige reelle Zahlen, also zum Beispiel bei rationalen Zahlen, Brüchen und Wurzeln. Auch in Termen mit Variablen und bei komplexen Zahlen können wir das Distributivgesetz verwenden.

Bei der Anwendung des Distributivgesetzes unterscheiden wir zwischen dem Ausmultiplizieren und Ausklammern.

Ausmultiplizieren: x \cdot (5x + 3) = x \cdot 5x + x \cdot 3 = 5x^2 + 3x
Hier wird ein Produkt in eine Summe umgewandelt.

Ausklammern: 2y^2 + 4y = 2y \cdot y + 2y \cdot 2 = 2y \cdot (y + 2)
Hier wird eine Summe in ein Produkt umgewandelt.

Distributivgesetz bei Bruchtermen

Bei einem Bruchterm mit Summen und Differenzen im Nenner kann nicht ohne Weiteres gekürzt werden. Wenn wir durch Anwendung des Distributivgesetzes Zähler und Nenner in ein Produkt mit gemeinsamen Faktoren umformen, dürfen wir diesen kürzen.

Beispiel 1:
\dfrac{x^2 - 2x}{2x^3 + 3x} = \dfrac{x \cdot (x - 2)}{x \cdot (2x^2 + 3)} = \dfrac{x - 2}{2x^2 + 3}

Beispiel 2:
\dfrac{xy + 5y}{-2x^2 - 10x} = \dfrac{y \cdot (x + 5)}{-2x \cdot (x + 5)} = \dfrac{y}{-2x} = -\dfrac{y}{2x}

Distributivgesetz bei Vektoren und Matrizen

Das Distributivgesetz gilt auch bei Matrix- und Vektormultiplikation:

Distributivgesetz
Matrixmultiplikation A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C
(B + C) \cdot A = B \cdot A + C \cdot A
Kreuzprodukt \vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}
Skalarprodukt \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

Distributivgesetz in der Logik und Mengenlehre

Auch bei Mengen und in der Aussagenlogik kann das Distributivgesetz angewendet werden. Es gilt hier beispielsweise bezüglich Schnitt (\cap) und Vereinigung (\cup) bzw. bezüglich und (\land) und oder (\lor):

A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)
A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)
a \lor (b \land c) = (a \land b) \lor (a \land c)
a \land (b \lor c) = (a \lor b) \land (a \lor c)

Häufig gestellte Fragen zum Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist ein Rechengesetz zur Termumformung. 

Das Distributivgesetz lautet:

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Die folgende Rechnung ist ein Beispiel für die Anwendung des Distributivgesetzes:

5 \cdot (7 + 5) = 5 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 35 + 25 = 60

Das Distributivgesetz gilt für alle reellen Zahlen und kann sogar beim Rechnen mit komplexen Zahlen angewendet werden.

Mit dem Distributivgesetz können Klammern ausmultipliziert werden. Es kann außerdem zum Ausklammern gemeinsamer Faktoren in einer Summe oder Differenz genutzt werden. 

Das Distributivgesetz gilt für Produkte mit Summen und Differenzen.

Das Distributivgesetz gilt im Allgemeinen nicht, wenn bei einer Division der Divisor eine Summe ist:
a : (b + c) \neq a : b + a : c

Das Distributivgesetz kann nicht angewendet werden, wenn in der Klammer multipliziert oder dividiert wird.

Das Distributivgesetz gilt auch bei Brüchen. Bei Bruchtermen kann es auch im Zähler und Nenner angewendet werden.

Du kannst das Distributivgesetz einfach mit einem Beispiel erklären:

2 \cdot (10 + 7) = 2 \cdot 17 = 34
2 \cdot (10 + 7) =2 \cdot 10 + 2 \cdot 7 = 20 + 14 = 34

Das Distributivgesetz für die Division gilt, wenn der Dividend eine Summe ist:
(a + b) : c = a : c + b : c

Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz.

Das Distributivgesetz kann dir bei Termumformungen genauso helfen wie beim Kopfrechnen. Du kannst zum Beispiel ein Produkt wie 7 \cdot 15 schreiben als: 7 \cdot (10 + 5) und dann das Distributivgesetz anwenden, um leichter im Kopf zu rechnen.
7 \cdot 15 = 7 \cdot (10 + 5) = 7 \cdot 10 + 7 \cdot 5 = 70 + 35 = 105

Das Assoziativgesetz gilt, wenn in einem Term nur addiert oder nur multipliziert wird. Dann können wir beliebig Klammern setzen oder weglassen.
Das Distributivgesetz gilt, wenn eine Zahl mit einer Summe multipliziert wird. Wir können dann die Summanden einzeln mit der Zahl multiplizieren. 

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