Der Logarithmus – Definition und Eigenschaften
Inhaltsverzeichnis zum Thema Logarithmus
Der Logarithmus einfach erklärt
Ähnlich wie das Wurzelziehen ist auch das Anwenden des Logarithmus eine Umkehrung des Potenzierens.
- Beim Wurzelziehen sind Potenzwert und Exponent gegeben und die Basis ist gesucht: Wenn wir
berechnen, lösen wir die Gleichung
. Wir bestimmen also die passende Basis zum Exponenten
und dem Potenzwert
. Mit anderen Worten: Wir beantworten die Frage: Bei welcher Basis
kommt der Potenzwert
heraus, wenn ich
mit dem Exponenten
potenziere? Die gesuchte Basis
heißt die dritte Wurzel von
. Wir schreiben:
.
- Beim Anwenden des Logarithmus sind Potenzwert und Basis gegeben und der passende Exponent ist gesucht: Wir wollen die Gleichung
nach
auflösen, d. h., wir suchen zum Potenzwert
und zur Basis
den passenden Exponenten. Mit anderen Worten: Wir beantworten die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis
potenzieren, um den Potenzwert
zu erhalten? Der gesuchte Exponent
heißt der Logarithmus von
zur Basis
. Wir schreiben:
. Um den Logarithmus
zu bestimmen, betrachten wir die Potenzen zur Basis
. Wir finden
, daher ist
der gesuchte Exponent
, also
.
Logarithmus – Definition und Regeln
Jeder Logarithmus gehört zu einer festgelegten Basis. Wir betrachten zuerst die Basis . Der Logarithmus (zur Basis
) einer natürlichen Zahl
ist diejenige Zahl
, für die gilt:
Man schreibt: .
Die Zahl ist durch die Basis und den Potenzwert
eindeutig festgelegt. Ändern wir die Basis oder den Potenzwert, ändert sich auch der Wert des Logarithmus.
Logarithmus – Definition
Was wir eben für die Basis erklärt haben, können wir ganz analog für jede beliebige positive Zahl als Basis machen. Wir erhalten so die allgemeine Definition des Logarithmus: Sind
und
positive reelle Zahlen und ist
, heißt eine reelle Zahl
der Logarithmus von
zur Basis
, falls gilt:
. Wir schreiben also:
In Worten: Die Basis der Potenz schreiben wir bei dem Logarithmus als Index. Der Potenzwert
ist der Numerus des Logarithmus (man sagt auch: das Argument des Logarithmus). Der Logarithmus schließlich ist der gesuchte Exponent
.

Die Basis des Logarithmus muss eine positive Zahl sein. Denn für eine negative Zahl als Basis ist die Gleichung
im Allgemeinen nicht lösbar. Zum Beispiel ist für
die Gleichung
nicht lösbar. Denn es gibt keine Zahl, mit der
potenziert den Wert
annimmt. Die Basis
darf auch nicht
sein. Denn die Gleichung
ist nur dann lösbar, wenn
ist. Aber selbst in diesem Fall ist die Gleichung nicht eindeutig lösbar, d. h., es ist kein eindeutiger Wert
bestimmbar.
Die Basis des Logarithmus darf auch nicht sein, denn jede Potenz von
ist
. Daher ist die Gleichung
nicht lösbar, wenn
ist.
Der Numerus des Logarithmus darf keine negative Zahl sein, denn jede Potenz einer positiven Basis ist wieder eine positive Zahl
. Mit anderen Worten: Für negative Potenzwerte ist die Gleichung
nicht lösbar, da die Basis
immer positiv ist.
Der Numerus des Logarithmus darf auch nicht sein, denn Potenzen einer positiven Basis sind immer positiv und ergeben niemals den Potenzwert
. Mit anderen Worten: Die Gleichung
mit
ist nicht lösbar.
Der Logarithmus jeder beliebigen Basis nimmt aber den Wert
an: Für jede Basis
ist
, denn für jede positive Zahl
ist
. Diese Gleichung ist eine Folgerung des Potenzgesetzes.
Der Logarithmus jeder Basis nimmt auch den Wert
an: Für jede Basis
ist
. Denn für jede positive Zahl
ist
.
Die beiden äquivalenten Gleichungen und
aus der Definition des Logarithmus können wir auch ineinander einsetzen:
- Setzen wir den Logarithmus
als Exponenten der Potenz
ein, erhalten wir den Numerus des Logarithmus:
- Setzen wir umgekehrt die Potenz
in den Logarithmus zur Basis
ein, erhalten wir wieder den Exponenten, also den Numerus der Exponentialfunktion zur Basis
:
Logarithmus – Beispiel
Wir wollen die Gleichung nach
auflösen. Da der gesuchte Wert
im Exponenten steht, ist das Auflösen nach
eine Anwendung des Logarithmus. Wir müssen den Logarithmus zur Basis
(also
) verwenden, denn in der Potenzgleichung
ist die Basis
. In
setzen wir den Potenzwert
ein. Mit dem Taschenrechner erhalten wir:
Wenn wir keinen Taschenrechner zur Hand haben, können wir versuchen, den richtigen Logarithmus selbst zu berechnen. Dazu bestimmen wir beispielsweise die Potenzen zur Basis , bis wir den gewünschten Wert erhalten:
Die letzte Gleichung zeigt:
Logarithmus – Rechenregeln und Logarithmusgesetze mit Herleitung
Die wichtigsten Rechenregeln für den Logarithmus sind Umkehrungen von Potenzgesetzen.
Wir beginnen mit dem Potenzgesetz der Addition von Exponenten. Für eine positive Basis und beliebige Exponenten
und
gilt das Potenzgesetz:
Wir bezeichnen die beiden Potenzwerte auf der rechten Seite als und
. Jetzt können wir die Gleichung
nach dem Exponenten links auflösen und erhalten:
Da und
gilt, ist
und
. Setzen wir diese Darstellung oben ein, erhalten wir die Formel:
Diese Formel wird als Gesetz der Addition von Logarithmen bezeichnet.
Das Potenzgesetz der Multiplikation von Exponenten lautet:
Setzen wir , haben wir:
Die Formel
wird als Gesetz der Multiplikation von Logarithmen oder Regel des Logarithmus von Potenzen bezeichnet.
Ein weiteres Logarithmusgesetz beschreibt die Umwandlung von Logarithmen zu verschiedenen Basen ineinander.
Wir definieren und können damit
wie folgt berechnen:
- Wir schreiben zuerst
. Darauf wenden wir den Logarithmus zur Basis
an und verwenden die Regel für den Logarithmus von Potenzen:
- Nun setzen wir
ein und erhalten die Formel:
- Zuletzt bringen wir beide Terme des Logarithmus zur Basis
auf eine Seite der Gleichung, erhalten wir (sofern
):
Mit dieser Formel können wir jeden Logarithmus zur Basis in den entsprechenden Logarithmus zur Basis
umrechnen (und umgekehrt).
Beachte: Der Bruch auf der rechten Seite ist nicht definiert, wenn der Nenner ist. Aber
ist genau dann
, wenn
ist. Aber
hatten wir als Basis eines Logarithmus ausgeschlossen. Daher gilt die Umrechnungsformel für alle Logarithmen.
In der folgenden Tabelle siehst du noch einmal die Logarithmusgesetze auf einen Blick:
Logarithmus von … | Rechenregel/Formel |
---|---|
Produkt | ![]() |
allgemeiner Potenz | ![]() |
spezieller Potenz | ![]() |
![]() |
![]() |
negativer Zahl | nicht definiert |
![]() |
nicht definiert |
anderer Basis | ![]() |
Besondere Logarithmen
Für Logarithmen, die besonders häufig verwendet werden, gibt es abkürzende Schreibweisen, die das Rechnen mit Logarithmen übersichtlicher machen.
Der natürliche Logarithmus
Beim Rechnen mit Logarithmen gibt es eine spezielle Basis, nämlich die eulersche Zahl . Der Logarithmus zur Basis
wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Wir schreiben
(lat.: logarithmus naturalis) anstelle von
.
Du kannst den Logarithmus zu einer beliebigen Basis mithilfe des natürlichen Logarithmus berechnen. Die Formel dazu ist genau die Umrechnungsformel aus dem vorigen Abschnitt. Mit der Schreibweise
anstelle von
ist sie leichter zu merken:
Für jeden Logarithmus zur Basis und jede positive Zahl
gilt:
Der Logarithmus zur Basis
Eine spezielle Rolle spielt auch der Logarithmus zur Basis . Statt
sind auch die Bezeichnungen
(ohne Index) oder
gebräuchlich. Den Logarithmus zur Basis
kannst du einfach verstehen, wenn der Numerus eine Zehnerpotenz ist: Der Exponent einer Zehnerpotenz ist das Gleiche wie die Anzahl der Nullen ihres Potenzwerts. Es ist nämlich
(eine Eins mit einer Null),
(eine Eins mit zwei Nullen),
(eine Eins mit fünf Nullen) und so weiter. Den Logarithmus zu berechnen, bedeutet, den Exponenten zu bestimmen. Es ist also
. Ganz allgemein gilt für beliebige positive Exponenten:
Logarithmus- und Exponentialfunktionen
Der Logarithmus ist eine Umkehrung des Potenzierens, bei der die Basis gegeben ist. Wir wählen eine beliebige Basis mit
und betrachten Potenzen und Logarithmen zur Basis
. Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen beschreiben wir durch die Äquivalenz:
Die Variablen und
in diesen beiden Gleichungen verraten schon, dass wir diese Gleichungen im Koordinatensystem darstellen können. Setzen wir in die Potenz
verschiedene Werte für
ein, erhalten wir die Exponentialfunktion zu Basis
.
Vertauschen wir nun die Rollen von und
und lesen die Gleichung
oder die äquivalente Gleichung
als Funktion mit der unabhängigen Variablen
und der abhängigen Variablen
, erhalten wir die Logarithmusfunktion zur Basis
.
Ganz analog erhalten wir den Funktionsgraphen der Logarithmusfunktion zur Basis aus dem Funktionsgraphen der Exponentialfunktion zur Basis
, indem wir die
-Achse und die
-Achse tauschen. Das Tauschen der Koordinatenachsen entspricht einer Spiegelung der Funktionsgraphen an der Diagonale des ersten und dritten Quadranten oder – anders gesagt – einer Spiegelung am Funktionsgraphen der Funktion
.
Im Bild siehst du die Funktionsgraphen der Exponentialfunktion zur Basis , also
, und der zugehörigen Logarithmusfunktion zur Basis
, also
.

Wählen wir speziell die eulersche Zahl als Basis, erhalten wir die Exponentialfunktion zur Basis
und den natürlichen Logarithmus:
Der Zusammenhang der Exponentialfunktion (oder -Funktion) mit der Logarithmusfunktion wird durch den Begriff der Umkehrfunktion ausgedrückt: Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion.
Wir schreiben auch:
und
.
Mit anderen Worten: Steht der natürliche Logarithmus im Exponenten der -Funktion, erhält man den Numerus des Logarithmus. Steht eine
-Funktion im Numerus des natürlichen Logarithmus, erhält man den Numerus des Logarithmus.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmus