Der Logarithmus – Definition und Eigenschaften

Ähnlich wie das Wurzelziehen ist auch das Anwenden des Logarithmus eine Umkehrung des Potenzierens.

• Beim Wurzelziehen sind Potenzwert und Exponent gegeben und die Basis ist gesucht: Wenn wir berechnen, lösen wir die Gleichung . Wir bestimmen also die passende Basis zum Exponenten und dem Potenzwert . Mit anderen Worten: Wir beantworten die Frage: Bei welcher Basis kommt der Potenzwert heraus, wenn ich mit dem Exponenten potenziere? Die gesuchte Basis heißt die dritte Wurzel von . Wir schreiben: .
• Beim Anwenden des Logarithmus sind Potenzwert und Basis gegeben und der passende Exponent ist gesucht: Wir wollen die Gleichung nach auflösen, d. h., wir suchen zum Potenzwert und zur Basis den passenden Exponenten. Mit anderen Worten: Wir beantworten die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis potenzieren, um den Potenzwert zu erhalten? Der gesuchte Exponent heißt der Logarithmus von zur Basis . Wir schreiben: . Um den Logarithmus zu bestimmen, betrachten wir die Potenzen zur Basis . Wir finden , daher ist der gesuchte Exponent , also .

Jeder Logarithmus gehört zu einer festgelegten Basis. Wir betrachten zuerst die Basis . Der Logarithmus (zur Basis ) einer natürlichen Zahl ist diejenige Zahl , für die gilt:

Man schreibt: .
Die Zahl ist durch die Basis und den Potenzwert eindeutig festgelegt. Ändern wir die Basis oder den Potenzwert, ändert sich auch der Wert des Logarithmus.

Was wir eben für die Basis erklärt haben, können wir ganz analog für jede beliebige positive Zahl als Basis machen. Wir erhalten so die allgemeine Definition des Logarithmus: Sind und positive reelle Zahlen und ist , heißt eine reelle Zahl der Logarithmus von zur Basis , falls gilt: . Wir schreiben also:

In Worten: Die Basis der Potenz schreiben wir bei dem Logarithmus als Index. Der Potenzwert ist der Numerus des Logarithmus (man sagt auch: das Argument des Logarithmus). Der Logarithmus schließlich ist der gesuchte Exponent .

Die Basis des Logarithmus muss eine positive Zahl sein. Denn für eine negative Zahl als Basis ist die Gleichung im Allgemeinen nicht lösbar. Zum Beispiel ist für die Gleichung nicht lösbar. Denn es gibt keine Zahl, mit der potenziert den Wert annimmt. Die Basis darf auch nicht sein. Denn die Gleichung ist nur dann lösbar, wenn ist. Aber selbst in diesem Fall ist die Gleichung nicht eindeutig lösbar, d. h., es ist kein eindeutiger Wert bestimmbar.

Die Basis des Logarithmus darf auch nicht sein, denn jede Potenz von ist . Daher ist die Gleichung nicht lösbar, wenn ist.

Der Numerus des Logarithmus darf keine negative Zahl sein, denn jede Potenz einer positiven Basis ist wieder eine positive Zahl . Mit anderen Worten: Für negative Potenzwerte ist die Gleichung nicht lösbar, da die Basis immer positiv ist.

Der Numerus des Logarithmus darf auch nicht sein, denn Potenzen einer positiven Basis sind immer positiv und ergeben niemals den Potenzwert . Mit anderen Worten: Die Gleichung mit ist nicht lösbar.

Der Logarithmus jeder beliebigen Basis nimmt aber den Wert an: Für jede Basis ist , denn für jede positive Zahl ist . Diese Gleichung ist eine Folgerung des Potenzgesetzes.

Der Logarithmus jeder Basis nimmt auch den Wert an: Für jede Basis ist . Denn für jede positive Zahl ist .

Die beiden äquivalenten Gleichungen und aus der Definition des Logarithmus können wir auch ineinander einsetzen:

• Setzen wir den Logarithmus als Exponenten der Potenz ein, erhalten wir den Numerus des Logarithmus:
  
• Setzen wir umgekehrt die Potenz in den Logarithmus zur Basis ein, erhalten wir wieder den Exponenten, also den Numerus der Exponentialfunktion zur Basis :
  

Wir wollen die Gleichung nach auflösen. Da der gesuchte Wert im Exponenten steht, ist das Auflösen nach eine Anwendung des Logarithmus. Wir müssen den Logarithmus zur Basis (also ) verwenden, denn in der Potenzgleichung ist die Basis . In setzen wir den Potenzwert ein. Mit dem Taschenrechner erhalten wir:

Wenn wir keinen Taschenrechner zur Hand haben, können wir versuchen, den richtigen Logarithmus selbst zu berechnen. Dazu bestimmen wir beispielsweise die Potenzen zur Basis , bis wir den gewünschten Wert erhalten:

Die letzte Gleichung zeigt:

Die wichtigsten Rechenregeln für den Logarithmus sind Umkehrungen von Potenzgesetzen.

Wir beginnen mit dem Potenzgesetz der Addition von Exponenten. Für eine positive Basis und beliebige Exponenten und gilt das Potenzgesetz:

Wir bezeichnen die beiden Potenzwerte auf der rechten Seite als und . Jetzt können wir die Gleichung

nach dem Exponenten links auflösen und erhalten:

Da und gilt, ist und . Setzen wir diese Darstellung oben ein, erhalten wir die Formel:

Diese Formel wird als Gesetz der Addition von Logarithmen bezeichnet.

Das Potenzgesetz der Multiplikation von Exponenten lautet:

Setzen wir , haben wir:

Die Formel

wird als Gesetz der Multiplikation von Logarithmen oder Regel des Logarithmus von Potenzen bezeichnet.

Ein weiteres Logarithmusgesetz beschreibt die Umwandlung von Logarithmen zu verschiedenen Basen ineinander.
Wir definieren und können damit wie folgt berechnen:

• Wir schreiben zuerst . Darauf wenden wir den Logarithmus zur Basis an und verwenden die Regel für den Logarithmus von Potenzen:
  
• Nun setzen wir ein und erhalten die Formel:
  
• Zuletzt bringen wir beide Terme des Logarithmus zur Basis auf eine Seite der Gleichung, erhalten wir (sofern ):
  

Mit dieser Formel können wir jeden Logarithmus zur Basis in den entsprechenden Logarithmus zur Basis umrechnen (und umgekehrt).

Beachte: Der Bruch auf der rechten Seite ist nicht definiert, wenn der Nenner ist. Aber ist genau dann , wenn ist. Aber hatten wir als Basis eines Logarithmus ausgeschlossen. Daher gilt die Umrechnungsformel für alle Logarithmen.

In der folgenden Tabelle siehst du noch einmal die Logarithmusgesetze auf einen Blick:

Für Logarithmen, die besonders häufig verwendet werden, gibt es abkürzende Schreibweisen, die das Rechnen mit Logarithmen übersichtlicher machen.

Beim Rechnen mit Logarithmen gibt es eine spezielle Basis, nämlich die eulersche Zahl . Der Logarithmus zur Basis wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Wir schreiben (lat.: logarithmus naturalis) anstelle von .

Du kannst den Logarithmus zu einer beliebigen Basis mithilfe des natürlichen Logarithmus berechnen. Die Formel dazu ist genau die Umrechnungsformel aus dem vorigen Abschnitt. Mit der Schreibweise anstelle von ist sie leichter zu merken:

Für jeden Logarithmus zur Basis und jede positive Zahl gilt:

Eine spezielle Rolle spielt auch der Logarithmus zur Basis . Statt sind auch die Bezeichnungen (ohne Index) oder gebräuchlich. Den Logarithmus zur Basis kannst du einfach verstehen, wenn der Numerus eine Zehnerpotenz ist: Der Exponent einer Zehnerpotenz ist das Gleiche wie die Anzahl der Nullen ihres Potenzwerts. Es ist nämlich (eine Eins mit einer Null), (eine Eins mit zwei Nullen), (eine Eins mit fünf Nullen) und so weiter. Den Logarithmus zu berechnen, bedeutet, den Exponenten zu bestimmen. Es ist also . Ganz allgemein gilt für beliebige positive Exponenten:

Der Logarithmus ist eine Umkehrung des Potenzierens, bei der die Basis gegeben ist. Wir wählen eine beliebige Basis mit und betrachten Potenzen und Logarithmen zur Basis . Den Zusammenhang zwischen Potenzen und Logarithmen beschreiben wir durch die Äquivalenz:

Die Variablen und in diesen beiden Gleichungen verraten schon, dass wir diese Gleichungen im Koordinatensystem darstellen können. Setzen wir in die Potenz verschiedene Werte für ein, erhalten wir die Exponentialfunktion zu Basis .

Vertauschen wir nun die Rollen von und und lesen die Gleichung oder die äquivalente Gleichung als Funktion mit der unabhängigen Variablen und der abhängigen Variablen , erhalten wir die Logarithmusfunktion zur Basis .

Ganz analog erhalten wir den Funktionsgraphen der Logarithmusfunktion zur Basis aus dem Funktionsgraphen der Exponentialfunktion zur Basis , indem wir die -Achse und die -Achse tauschen. Das Tauschen der Koordinatenachsen entspricht einer Spiegelung der Funktionsgraphen an der Diagonale des ersten und dritten Quadranten oder – anders gesagt – einer Spiegelung am Funktionsgraphen der Funktion .

Im Bild siehst du die Funktionsgraphen der Exponentialfunktion zur Basis , also , und der zugehörigen Logarithmusfunktion zur Basis , also .

Wählen wir speziell die eulersche Zahl als Basis, erhalten wir die Exponentialfunktion zur Basis und den natürlichen Logarithmus:

Der Zusammenhang der Exponentialfunktion (oder -Funktion) mit der Logarithmusfunktion wird durch den Begriff der Umkehrfunktion ausgedrückt: Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion und die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion.
Wir schreiben auch:

• und
• .

Mit anderen Worten: Steht der natürliche Logarithmus im Exponenten der -Funktion, erhält man den Numerus des Logarithmus. Steht eine -Funktion im Numerus des natürlichen Logarithmus, erhält man den Numerus des Logarithmus.