Binomialverteilung – Erklärung, Merkmale, Berechnung und Anwendung
Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Trefferzahlen in Bernoulli-Ketten. Die Grundformel, Herleitung, Berechnung und Histogramme werden erklärt.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Binomialverteilung
Das Quiz zum Thema: Binomialverteilung
Wie lautet die Gleichung der Binomialverteilung?
Frage 1 von 5
Was ist der Erwartungswert in Bezug auf die Binomialverteilung?
Frage 2 von 5
Wie erfolgt die Approximation der Binomialverteilung bei kleinen Erfolgswahrscheinlichkeiten?
Frage 3 von 5
Was sind die Voraussetzungen für die Anwendung der Binomialverteilung?
Frage 4 von 5
Was beschreibt die Negative Binomialverteilung?
Frage 5 von 5
Wie willst du heute lernen?
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Binomialverteilung Mathe – einfach erklärt
Der Binomialverteilung liegen die Bernoulli-Experimente zugrunde. Bei diesen Experimenten gibt es nur zwei mögliche Resultate, einen Erfolg oder einen Misserfolg beziehungsweise einen Treffer oder keinen Treffer. Durch mehrfaches Durchführen eines Bernoulli-Experiments mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit erhalten wir eine Bernoulli-Kette. Die Bernoulli-Kette ist eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Beispiele – Bernoulli-Experiment:
- Münzwurf (Kopf oder nicht Kopf bzw. Zahl)
- Würfeln einer ( oder keine )
- Qualitätskontrolle (Fehler oder kein Fehler)
Binomialverteilung – Definition:
Als Binomialverteilung wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße bezeichnet. Die Binomialverteilung ordnet dabei jeder möglichen Trefferanzahl die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu.
Mit der Binomialverteilung kann die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse der Bernoulli-Experimente berechnet werden. Die Binomialverteilung ist eine der bekanntesten Verteilungen in der Statistik und eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Unterschied Bernoulli- und Binomialverteilung:
Die Bezeichnung Bernoulli-Verteilung für die Binomialverteilung ist falsch! Bei der Bernoulli-Verteilung handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen, bei der Binomialverteilung um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl einer Bernoulli-Kette.
Binomialverteilung – Formel
Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben und wird als angegeben:
Dabei ist:
- : binomialverteileilte Zufallsvariable
- : Anzahl der Versuche
- : Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs/Treffers
- : Anzahl der Erfolge/Treffer (wird manchmal auch als bezeichnet) – ist die unabhängige Variable der Funktion
Die Formel wird auch als Dichtefunktion oder Dichte der Binomialverteilung bezeichnet.
Bei dem Ausdruck handelt es sich um den Binomialkoeffizienten. Dieser lässt sich berechnen als:
Da es sich bei der Anzahl der Treffer um natürliche Zahlen handelt, sprechen wir bei der Binomialverteilung von einer diskreten Verteilung.
Binomialverteilung – Herleitung
Es lässt sich beim mehrfachen Durchführen eines Bernoulli-Experiments ein Baumdiagramm anfertigen. Ein Treffer ist dann gegeben durch die Wahrscheinlichkeit und dementsprechend ist kein Treffer gegeben durch . Führen wir das Experiment -mal durch, erhalten wir ein -Tupel als Ergebnis. Dort sind die einzelnen Ergebnisse aufgeführt. Das kann beispielsweise so aussehen:
-Tupel:
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der nach Versuchen Treffer erzielt wurden, betrachten wir zuerst die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfads des Baumdiagramms, an dem es zu Treffern kommt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse entlang eines Pfads müssen multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfads zu berechnen. Mithilfe der Wahrscheinlichkeiten und können wir das folgendermaßen zusammenfassen:
Dabei ist:
- : Wahrscheinlichkeit Tupel
- : Äste mit Treffer
- : Äste mit keinem Treffer
Da es Äste mit Treffern gibt, sind die restlichen Äste keine Treffer. Diese ergeben sich als Differenz aus der Gesamtanzahl der Versuche und den Ästen mit Treffern .
Die Reihenfolge, in der Treffer und keine Treffer auftreten, spielt keine Rolle. Es müssen also alle Pfade zusammengezählt werden, in denen Treffer auftreten. Durch den Binomialkoeffizienten erhalten wir die Anzahl an Möglichkeiten für Treffer:
Somit erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, bei Versuchen Treffer zu erzielen, ohne dass die Reihenfolge der Ergebnisse eine Rolle spielt.
Binomialverteilung – Beispiele
Betrachten wir einen Münzwurf. Die Kopfseite ist dabei als Treffer und die Zahlseite als kein Treffer definiert. Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Die Bernoulli-Kette hat also die Länge . Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei , da beide Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geworfen werden können. Da die Münze dreimal geworfen wird, kann entweder , , oder sein. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Trefferzahlen können nun mit der Bernoulli-Formel berechnet werden. Dafür setzen wir die entsprechenden Werte in die Formel ein:
Zum Lösen dieser Formeln nutzen wir im Taschenrechner den Befehl . Für , und setzen wir die entsprechenden Werte ein: . Der Taschenrechner gibt uns dann direkt das Ergebnis aus:
Die Ergebnisse der Binomialverteilung können wir in einer Tabelle darstellen:
k | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
Die Ergebnisse lassen sich aber auch als Histogramm darstellen. Wie genau das aussieht, schauen wir uns im nächsten Absatz an.
Binomialverteilung – Histogramm
Binomialverteilungen lassen sich grafisch in Histogrammen darstellen. Histogramme sind Säulendiagramme. Auf der -Achse ist die Anzahl der Treffer und auf der -Achse die Wahrscheinlichkeit abgetragen. Die Höhe jeder Säule steht für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt. Das folgende Histogramm zeigt die Binomialverteilung für und :
Quelle sofatutor.com
Ist die Wahrscheinlichkeit , handelt es sich um eine symmetrische Binomialverteilung. In diesem Fall ist auch das Histogramm symmetrisch und der größte Balken, das Maximum, befindet sich genau in der Mitte.
Hier siehst du einige Beispiele, wie sich die Anzahl der Durchführungen auf das Histogramm einer Binomialverteilungen mit auswirkt.
Binomialverteilung – Voraussetzung
Aufgaben müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit sie mit der Binomialverteilung gelöst werden können. Diese sind:
- Die Anzahl der Versuche () muss festgelegt sein.
- Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer () muss über den Versuchsablauf konstant bleiben.
- Die Versuche müssen voneinander unabhängig sein, sie dürfen sich also nicht gegenseitig beeinflussen.
- Es wird nur zwischen den zwei Ergebnissen Treffer und kein Treffer unterschieden.
Sind diese vier Eigenschaften erfüllt, lässt sich eine Aufgabe mit der Binomialverteilung lösen. Auch lassen sich an diesen Merkmalen Binomialverteilungen erkennen.
Binomialverteilung – Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Die wichtigsten Maße im Zusammenhang mit der Binomialverteilung sind der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
Erwartungswert – Binomialverteilung
Um den Erwartungswert zu berechnen, multiplizieren wir die Anzahl an Versuchen mit der Wahrscheinlichkeit eines Treffers :
Der Erwartungswert gibt dabei die Anzahl der Treffer an, die wir langfristig im Mittel erwarten können. Er liegt dabei immer in der Nähe des größten Wahrscheinlichkeitswerts der Binomialverteilung.
Maximum einer Binomialverteilung:
Ist ein ganzzahliger Wert, entspricht der Erwartungswert dem Maximum der Binomialverteilung, also der größten Säule des Histogramms. Ist nicht ganzzahlig, ist das Maximum der Verteilung einer der Nachbarwerte des Erwartungswerts.
Varianz – Binomialverteilung
Um die Varianz zu berechnen, benötigen wir ebenfalls nur die Anzahl an Versuchen und die Wahrscheinlichkeit eines Treffers :
Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsgröße, sie gibt also die Streuung der Binomialverteilung an. Sie zeigt, wie sehr die einzelnen Werte von dem Erwartungswert abweichen und damit auch, wie breit das dazugehörige Histogramm ist.
Standardabweichung – Binomialverteilung
Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz:
Standardabweichung Binomialverteilung Bedeutung:
Die Standardabweichung ist das Maß der Streuung der Binomialverteilung. Legen wir ein Intervall von bis , liegt innerhalb des Intervalls deutlich mehr als die Hälfte der Gesamtwahrscheinlichkeit. Aber auch andere Intervalle mit dem Abstand von Vielfachen von Sigma um den Erwartungswert werden betrachtet. Diese Umgebungen werden auch als Sigma-Umgebungen bezeichnet. Für die Sigma-Umgebungen der Binomialverteilung gelten folgende Regeln, die sogenannten Sigma-Regeln:
Für gilt:
Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Treffer im Intervall von bis liegt, beträgt ungefähr .
Kumulierte Binomialverteilung – Formeln und Erklärung
Ganz häufig sind bei der Binomialverteilung nicht die Wahrscheinlichkeiten für genau Treffer, sondern für mindestens oder höchstens Treffer gesucht. Dafür werden verschiedene Wahrscheinlichkeiten addiert und wir erhalten eine kumulierte Binomialverteilung. Diese wird manchmal auch als summierte Binomialverteilung bezeichnet.
Höchstens Treffer:
Weniger als Treffer:
Mindestens Treffer:
Bei der Berechnung für mindestens Treffer wird in der allgemeinen Formel die Wahrscheinlichkeit für höchstens Treffer berechnet (Gegenereignis). Diese Wahrscheinlichkeit wird dann von der Gesamtwahrscheinlichkeit abgezogen und wir erhalten die Wahrscheinlichkeit für mindestens Treffer.
Wir können auch die Werte der Wahrscheinlichkeiten für Trefferzahlen größer oder gleich summieren:
Mehr als Treffer:
Bei der Berechnung für mehr als Treffer wird in der allgemeinen Formel die Wahrscheinlichkeit für höchstens Treffer berechnet (Gegenereignis). Diese Wahrscheinlichkeit wird dann von der Gesamtwahrscheinlichkeit abgezogen und wir erhalten die Wahrscheinlichkeit für mehr als Treffer.
Auch hier können wir alternativ die Wahrscheinlichkeiten für Trefferzahlen größer summieren:
Mindestens , aber höchstens Treffer:
Ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in einem bestimmten Intervall zwischen und gesucht, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von oder weniger. Davon ziehen wir dann die Wahrscheinlichkeit für weniger als Treffer ab.
Binomialverteilung – Approximation
In praktischen Anwendungen kommt es häufig vor, dass die Anzahl an durchgeführten Versuchen so hoch ist, dass das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten sehr aufwendig wird (Beispiel: ). Aus diesem Grund gibt es Näherungsformeln für die Binomialverteilung. Dabei ist es hilfreich, die Binomialverteilung durch eine Poisson-Verteilung oder eine Normalverteilung zu approximieren und entsprechende Näherungsformeln anzuwenden.
Approximation durch Poisson-Verteilung
Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit sehr klein, kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung approximiert werden. Sinnvoll ist die Poisson-Verteilung für und . Nach dem Grenzsatz von Poisson gilt für und :
Durch die Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für kleine einfach berechnen.
Approximation durch Normalverteilung
Die Approximation durch die Normalverteilung ermöglicht für jedes mit eine gute Näherung der Wahrscheinlichkeiten. Die Bedingung für die Approximation durch die Normalverteilung ist . Es gilt dann:
Binomialverteilung – Umkehraufgaben
Bei den Umkehraufgaben der Binomialverteilung werden die Parameter oder gesucht und nicht die Wahrscheinlichkeiten für eine Trefferzahl. Betrachten wir dafür die folgenden Beispiele:
Binomialverteilung – berechnen
In einer Urne befinden sich verschiedenfarbige Kugeln. aller Kugeln sind blau. Wie oft muss (mit Zurücklegen) gezogen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, bei liegt?
Da für nur ganze Zahlen infrage kommen, runden wir diesen Wert auf auf. Es muss also -mal gezogen werden.
Binomialverteilung – berechnen
Wie viel Prozent der Kugeln müssen blau sein, damit bei Ziehungen (mit Zurücklegen) mit mindestens -iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine blaue Kugel gezogen wird?
Es müssen der Kugeln blau sein.
Negative Binomialverteilung – leicht erklärt
Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bis zu einem bestimmten Versuch (beispielsweise dem ) einen bestimmten Treffer (beispielsweise den ) erzielt zu haben. Es gilt:
Dabei ist:
- : die Anzahl an Versuchen
- : die Anzahl an Erfolgen
- : die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg
Negative Binomialverteilung – Beispiel:
Laura gewinnt bei einem Kartenspiel in der Regel jedes Spiel. Heute Abend will sie Spiele gewinnen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in der Runde ihren Sieg erzielt?
Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Laura in der Runde ihren Sieg erzielt, liegt bei .
Binomialverteilung – Aufgaben
Luisa spielt gerne Basketball. Mittlerweile ist sie so gut, dass sie den Korb mit einer Wahrscheinlichkeit von trifft.
Frage 1
Mit wie vielen Treffern kann sie rechnen, wenn sie -mal auf den Korb wirft?
Lösung 1
Gesucht ist hier der Erwartungswert . Dieser wird mit der Formel berechnet. Setzen wir die Zahlen in die Formel ein, erhalten wir für :
Bei Versuchen kann Luisa also mit Treffern rechnen.
Frage 2
Tom bietet Luisa an, dass sie für Euro -mal auf den Korb werfen kann. Für jeden Treffer bekommt sie Euro. Ihre Trefferquote liegt weiterhin bei . Lohnt sich dieses Angebot für Luisa?
Lösung 2
Zunächst sollten wir den Erwartungswert berechnen, um zu schauen, mit wie vielen Treffern Luisa bei Versuchen rechnen kann.
Luisa kann nicht -mal treffen, aber dieser Wert bietet eine Orientierung, mit welcher Trefferzahl Luisa am ehesten rechnen kann. Multiplizieren wir diesen Wert mit den Euro, die Luisa pro Treffer bekommt, erhalten wir:
Es ist also gut möglich, dass Luisa bei dem Angebot mehr Geld bekommt, als sie vorher zahlen musste. Um das Angebot noch besser beurteilen zu können, können wir noch die Standardabweichung berechnen. Dadurch können wir das Risiko, das Luisa eingeht, besser einschätzen.
Die Wahrscheinlichkeit, zwischen und Treffern zu erzielen, ist für Luisa sehr hoch. Somit geht sie bei dem Deal mit Tom kein großes Risiko ein, zu verlieren.
Frage 3
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei Versuchen Treffer erzielt?
Lösung 3
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel:
Setzen wir alle Werte ein, erhalten wir:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei Versuchen Treffer erzielt, liegt bei .
Frage 4
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei Versuchen mindestens Treffer erzielt?
Lösung 4
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel:
Wir berechnen also die Wahrscheinlichkeit, dass sie neun oder weniger Treffer erzielt, und ziehen diese von der Gesamtwahrscheinlichkeit ab.
Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:
Die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei Versuchen mindestens Treffer erzielt, liegt also bei .
Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung
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