Binomialverteilung – Erklärung, Merkmale, Berechnung und Anwendung

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Trefferzahlen in Bernoulli-Ketten. Die Grundformel, Herleitung, Berechnung und Histogramme werden erklärt.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Binomialverteilung

Die Binomialverteilung im Überblick
Binomialverteilung Mathe – einfach erklärt
Binomialverteilung – Formel
Binomialverteilung – Herleitung
Binomialverteilung – Beispiele
Binomialverteilung – Histogramm
Binomialverteilung – Voraussetzung
Binomialverteilung – Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Erwartungswert – Binomialverteilung
Varianz – Binomialverteilung
Standardabweichung – Binomialverteilung
Kumulierte Binomialverteilung – Formeln und Erklärung
Binomialverteilung – Approximation
Approximation durch Poisson-Verteilung
Approximation durch Normalverteilung
Binomialverteilung – Umkehraufgaben
Binomialverteilung – $n$ berechnen
Binomialverteilung – $p$ berechnen
Negative Binomialverteilung – leicht erklärt
Binomialverteilung – Aufgaben
Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung

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Wie lautet die Gleichung der Binomialverteilung?

Frage 1 von 5

Was ist der Erwartungswert in Bezug auf die Binomialverteilung?

Frage 2 von 5

Wie erfolgt die Approximation der Binomialverteilung bei kleinen Erfolgswahrscheinlichkeiten?

Frage 3 von 5

Was sind die Voraussetzungen für die Anwendung der Binomialverteilung?

Frage 4 von 5

Was beschreibt die Negative Binomialverteilung?

Frage 5 von 5

Die Binomialverteilung im Überblick

Als Binomialverteilung wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße, bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit einer Trefferzahl $k$ lässt sich mit der Bernoulli-Formel berechnen.
Die Bernoulli-Formel lautet:
$B(n; p; k) = P( X = k ) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$
Binomialverteilungen werden häufig in Form eines Histogramms dargestellt. Dort lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Trefferzahlen an den Höhen der Säulen ablesen.

Quelle sofatutor.com

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Binomialverteilung

Binomialverteilung Mathe – einfach erklärt

Der Binomialverteilung liegen die Bernoulli-Experimente zugrunde. Bei diesen Experimenten gibt es nur zwei mögliche Resultate, einen Erfolg oder einen Misserfolg beziehungsweise einen Treffer oder keinen Treffer. Durch mehrfaches Durchführen eines Bernoulli-Experiments mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit erhalten wir eine Bernoulli-Kette. Die Bernoulli-Kette ist eine binomialverteilte Zufallsgröße.
Beispiele – Bernoulli-Experiment:

Münzwurf (Kopf oder nicht Kopf bzw. Zahl)
Würfeln einer $6$ ( $6$ oder keine $6$ )
Qualitätskontrolle (Fehler oder kein Fehler)

Binomialverteilung – Definition:
Als Binomialverteilung wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße bezeichnet. Die Binomialverteilung ordnet dabei jeder möglichen Trefferanzahl $k$ die zugehörige Wahrscheinlichkeit $P(X = k)$ zu.
Mit der Binomialverteilung kann die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse der Bernoulli-Experimente berechnet werden. Die Binomialverteilung ist eine der bekanntesten Verteilungen in der Statistik und eine der wichtigsten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Unterschied Bernoulli- und Binomialverteilung:
Die Bezeichnung Bernoulli-Verteilung für die Binomialverteilung ist falsch! Bei der Bernoulli-Verteilung handelt es sich um ein Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen, bei der Binomialverteilung um die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl einer Bernoulli-Kette.

Binomialverteilung – Formel

Die Funktionsgleichung der Binomialverteilung ist durch die Bernoulli-Formel gegeben und wird als $B(n; p; k)$ angegeben:

$B(n; p; k) = P( X = k ) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

Dabei ist:

$X$ : binomialverteileilte Zufallsvariable
$n$ : Anzahl der Versuche
$p$ : Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs/Treffers
$k$ : Anzahl der Erfolge/Treffer (wird manchmal auch als $x$ bezeichnet) – ist die unabhängige Variable der Funktion

Die Formel wird auch als Dichtefunktion oder Dichte der Binomialverteilung bezeichnet.

Bei dem Ausdruck $\binom{n}{k}$ handelt es sich um den Binomialkoeffizienten. Dieser lässt sich berechnen als:

$\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

Da es sich bei der Anzahl der Treffer um natürliche Zahlen handelt, sprechen wir bei der Binomialverteilung von einer diskreten Verteilung.

Binomialverteilung – Herleitung

Es lässt sich beim mehrfachen Durchführen eines Bernoulli-Experiments ein Baumdiagramm anfertigen. Ein Treffer ist dann gegeben durch die Wahrscheinlichkeit $p$ und dementsprechend ist kein Treffer gegeben durch $(1 - p)$ . Führen wir das Experiment $n$ -mal durch, erhalten wir ein $n$ -Tupel als Ergebnis. Dort sind die einzelnen Ergebnisse aufgeführt. Das kann beispielsweise so aussehen:

$n$ -Tupel: $(\text{Treffer}, \text{kein Treffer}, \text{kein Treffer}, … , \text{kein Treffer})$

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der nach $n$ Versuchen $k$ Treffer erzielt wurden, betrachten wir zuerst die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfads des Baumdiagramms, an dem es zu $k$ Treffern kommt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse entlang eines Pfads müssen multipliziert werden, um die Wahrscheinlichkeit des gesamten Pfads zu berechnen. Mithilfe der Wahrscheinlichkeiten $p$ und $(1 - p)$ können wir das folgendermaßen zusammenfassen:

$P(\text{Pfad}) = p^k \cdot (1 - p)^{(n-k)}$

Dabei ist:

$P(\text{Pfad})$ : Wahrscheinlichkeit Tupel
$p^k$ : $k$ Äste mit Treffer
$(1 - p)^{(n-k)}$ : $n-k$ Äste mit keinem Treffer

Da es $k$ Äste mit Treffern gibt, sind die restlichen Äste keine Treffer. Diese ergeben sich als Differenz aus der Gesamtanzahl $n$ der Versuche und den Ästen mit Treffern $k$ .

Die Reihenfolge, in der Treffer und keine Treffer auftreten, spielt keine Rolle. Es müssen also alle Pfade zusammengezählt werden, in denen $k$ Treffer auftreten. Durch den Binomialkoeffizienten $\binom{n}{k}$ erhalten wir die Anzahl an Möglichkeiten für $k$ Treffer:

$P(X = k) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^(n-k)$

Somit erhalten wir die Wahrscheinlichkeit, bei $n$ Versuchen $k$ Treffer zu erzielen, ohne dass die Reihenfolge der Ergebnisse eine Rolle spielt.

Binomialverteilung – Beispiele

Betrachten wir einen Münzwurf. Die Kopfseite ist dabei als Treffer und die Zahlseite als kein Treffer definiert. Die Münze wird dreimal hintereinander geworfen. Die Bernoulli-Kette hat also die Länge $n=3$ . Die Trefferwahrscheinlichkeit liegt bei $p=0,\!5$ , da beide Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit geworfen werden können. Da die Münze dreimal geworfen wird, kann $k$ entweder $0$ , $1$ , $2$ oder $3$ sein. Die Wahrscheinlichkeiten für diese Trefferzahlen können nun mit der Bernoulli-Formel berechnet werden. Dafür setzen wir die entsprechenden Werte in die Formel ein:

$B(3; 0,\!5; 0) = P( X = 0 ) = \displaystyle \binom{3}{0} \cdot 0,\!5^0 \cdot (1 - 0,\!5)^{3-0}$
$B(3; 0,\!5; 1) = P( X = 1 ) = \displaystyle \binom{3}{1} \cdot 0,\!5^1 \cdot (1 - 0,\!5)^{3-1}$
$B(3; 0,\!5; 2) = P( X = 2 ) = \displaystyle \binom{3}{2} \cdot 0,\!5^2 \cdot (1 - 0,\!5)^{3-2}$
$B(3; 0,\!5; 3) = P( X = 3 ) = \displaystyle \binom{3}{3} \cdot 0,\!5^3 \cdot (1 - 0,\!5)^{3-3}$

Zum Lösen dieser Formeln nutzen wir im Taschenrechner den Befehl $\text{binomPdf}(n;p;k)$ . Für $n$ , $p$ und $k$ setzen wir die entsprechenden Werte ein: $\text{binomPdf}(3;0,\!5;0)}$ . Der Taschenrechner gibt uns dann direkt das Ergebnis aus:

$P( X = 0 ) = 0,\!125$
$P( X = 1 ) = 0,\!375$
$P( X = 2 ) = 0,\!375$
$P( X = 3 ) = 0,\!125$

Die Ergebnisse der Binomialverteilung können wir in einer Tabelle darstellen:

k	0	1	2	3
$P( X = k )$	$0,\!125$	$0,\!375$	$0,\!375$	$0,\!125$

Die Ergebnisse lassen sich aber auch als Histogramm darstellen. Wie genau das aussieht, schauen wir uns im nächsten Absatz an.

Binomialverteilung – Histogramm

Binomialverteilungen lassen sich grafisch in Histogrammen darstellen. Histogramme sind Säulendiagramme. Auf der $x$ -Achse ist die Anzahl der Treffer $k$ und auf der $y$ -Achse die Wahrscheinlichkeit $P(X=k)$ abgetragen. Die Höhe jeder Säule steht für die Wahrscheinlichkeit, mit der die entsprechende Trefferanzahl eintritt. Das folgende Histogramm zeigt die Binomialverteilung für $p=0,\!2$ und $n=10$ :

Quelle sofatutor.com

Ist die Wahrscheinlichkeit $p=0,\!5$ , handelt es sich um eine symmetrische Binomialverteilung. In diesem Fall ist auch das Histogramm symmetrisch und der größte Balken, das Maximum, befindet sich genau in der Mitte.

Hier siehst du einige Beispiele, wie sich die Anzahl der Durchführungen $n$ auf das Histogramm einer Binomialverteilungen mit $p = 0,\!75$ auswirkt.

Binomialverteilung – Voraussetzung

Aufgaben müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, damit sie mit der Binomialverteilung gelöst werden können. Diese sind:

Die Anzahl der Versuche ( $n$ ) muss festgelegt sein.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer ( $p$ ) muss über den Versuchsablauf konstant bleiben.
Die Versuche müssen voneinander unabhängig sein, sie dürfen sich also nicht gegenseitig beeinflussen.
Es wird nur zwischen den zwei Ergebnissen Treffer und kein Treffer unterschieden.

Sind diese vier Eigenschaften erfüllt, lässt sich eine Aufgabe mit der Binomialverteilung lösen. Auch lassen sich an diesen Merkmalen Binomialverteilungen erkennen.

Binomialverteilung – Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung

Die wichtigsten Maße im Zusammenhang mit der Binomialverteilung sind der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Erwartungswert – Binomialverteilung

Um den Erwartungswert $E(X)$ zu berechnen, multiplizieren wir die Anzahl an Versuchen $n$ mit der Wahrscheinlichkeit eines Treffers $p$ :

$E(X) = \mu = p \cdot n$

Der Erwartungswert gibt dabei die Anzahl der Treffer an, die wir langfristig im Mittel erwarten können. Er liegt dabei immer in der Nähe des größten Wahrscheinlichkeitswerts der Binomialverteilung.

Maximum einer Binomialverteilung:
Ist $\mu$ ein ganzzahliger Wert, entspricht der Erwartungswert dem Maximum der Binomialverteilung, also der größten Säule des Histogramms. Ist $\mu$ nicht ganzzahlig, ist das Maximum der Verteilung einer der Nachbarwerte des Erwartungswerts.

Varianz – Binomialverteilung

Um die Varianz $Var(X)$ zu berechnen, benötigen wir ebenfalls nur die Anzahl an Versuchen $n$ und die Wahrscheinlichkeit eines Treffers $p$ :

$Var(X) = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p)$

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsgröße, sie gibt also die Streuung der Binomialverteilung an. Sie zeigt, wie sehr die einzelnen Werte von dem Erwartungswert abweichen und damit auch, wie breit das dazugehörige Histogramm ist.

Standardabweichung – Binomialverteilung

Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Wurzel aus der Varianz:

$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$

Standardabweichung Binomialverteilung Bedeutung:
Die Standardabweichung ist das Maß der Streuung der Binomialverteilung. Legen wir ein Intervall von $\mu-\sigma$ bis $\mu+\sigma$ , liegt innerhalb des Intervalls deutlich mehr als die Hälfte der Gesamtwahrscheinlichkeit. Aber auch andere Intervalle mit dem Abstand von Vielfachen von Sigma um den Erwartungswert werden betrachtet. Diese Umgebungen werden auch als Sigma-Umgebungen bezeichnet. Für die Sigma-Umgebungen der Binomialverteilung gelten folgende Regeln, die sogenannten Sigma-Regeln:

Für $\sigma > 3$ gilt:

$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0,\!68$
$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,\!955$
$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0,\!997$

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Treffer im Intervall von $\mu - 3\sigma$ bis $\mu + 3\sigma$ liegt, beträgt ungefähr $99,\!7\,\%$ .

Kumulierte Binomialverteilung – Formeln und Erklärung

Ganz häufig sind bei der Binomialverteilung nicht die Wahrscheinlichkeiten für genau $k$ Treffer, sondern für mindestens oder höchstens $k$ Treffer gesucht. Dafür werden verschiedene Wahrscheinlichkeiten addiert und wir erhalten eine kumulierte Binomialverteilung. Diese wird manchmal auch als summierte Binomialverteilung bezeichnet.

Höchstens $k$ Treffer:
$P( X \leq k ) = \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Weniger als $k$ Treffer:
$P( X < k ) = \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Mindestens $k$ Treffer:
Bei der Berechnung für mindestens $k$ Treffer wird in der allgemeinen Formel die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k-1$ Treffer berechnet (Gegenereignis). Diese Wahrscheinlichkeit wird dann von der Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ abgezogen und wir erhalten die Wahrscheinlichkeit für mindestens $k$ Treffer.

$P( X \geq k ) = 1 - P( X \leq k - 1) = 1 - \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Wir können auch die Werte der Wahrscheinlichkeiten für Trefferzahlen größer oder gleich $k$ summieren:

$P( X \geq k ) = \displaystyle \sum\limits_{i=k}^{n} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Mehr als $k$ Treffer:
Bei der Berechnung für mehr als $k$ Treffer wird in der allgemeinen Formel die Wahrscheinlichkeit für höchstens $k$ Treffer berechnet (Gegenereignis). Diese Wahrscheinlichkeit wird dann von der Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ abgezogen und wir erhalten die Wahrscheinlichkeit für mehr als $k$ Treffer.

$P( X > k ) = 1 - P( X \leq k ) = 1 - \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Auch hier können wir alternativ die Wahrscheinlichkeiten für Trefferzahlen größer $k$ summieren:

$P( X > k ) = \displaystyle \sum\limits_{i=k+1}^{n} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Mindestens $k$ , aber höchstens $m$ Treffer:
Ist die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer in einem bestimmten Intervall zwischen $k$ und $m$ gesucht, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für eine Trefferzahl von $m$ oder weniger. Davon ziehen wir dann die Wahrscheinlichkeit für weniger als $k$ Treffer ab.

$\begin{array}{rcccc} P(k \leq X \leq m) &=& P(X \leq m) &-& P(X \leq k-1) \\ &=& \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{m} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} &-& \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i} \end{array}$

Binomialverteilung – Approximation

In praktischen Anwendungen kommt es häufig vor, dass die Anzahl an durchgeführten Versuchen so hoch ist, dass das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten sehr aufwendig wird (Beispiel: $n = 20\,000$ ). Aus diesem Grund gibt es Näherungsformeln für die Binomialverteilung. Dabei ist es hilfreich, die Binomialverteilung durch eine Poisson-Verteilung oder eine Normalverteilung zu approximieren und entsprechende Näherungsformeln anzuwenden.

Approximation durch Poisson-Verteilung

Ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ sehr klein, kann die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung approximiert werden. Sinnvoll ist die Poisson-Verteilung für $n \geq 100$ und $p \leq 0,\!1$ . Nach dem Grenzsatz von Poisson gilt für $n \geq 100$ und $p \leq 0,\!1$ :

$B(n; p; k) \approx \dfrac{\mu^k}{k!}\cdot e^{-\mu}$

Durch die Approximation der Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung lassen sich die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung für kleine $p$ einfach berechnen.

Approximation durch Normalverteilung

Die Approximation durch die Normalverteilung ermöglicht für jedes $p$ mit $0 < p < 1$ eine gute Näherung der Wahrscheinlichkeiten. Die Bedingung für die Approximation durch die Normalverteilung ist $n \cdot p \cdot (1 - p) > 9$ . Es gilt dann:

$B(n; p; k) \approx \Phi\left(\dfrac{k + 0,\!5 - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\dfrac{k - 0,\!5 - \mu}{\sigma}\right) \approx \dfrac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{(k-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

Binomialverteilung – Umkehraufgaben

Bei den Umkehraufgaben der Binomialverteilung werden die Parameter $n$ oder $p$ gesucht und nicht die Wahrscheinlichkeiten für eine Trefferzahl. Betrachten wir dafür die folgenden Beispiele:

Binomialverteilung – $n$ berechnen

In einer Urne befinden sich verschiedenfarbige Kugeln. $15\,\%$ aller Kugeln sind blau. Wie oft muss (mit Zurücklegen) gezogen werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen, bei $90\,\%$ liegt?

$P(X \geq 1) = 0,\!9 ~ \Rightarrow ~ P(X = 0) = 0,\!1$

$p = 0,\!15$
$k = 0$

$\begin{array}{rcll} \displaystyle \binom{n}{0} \cdot 0,\!15^0 \cdot (1 - 0,\!15)^{n-0} & = & 0,\!1 & \\ 1 \cdot 1 \cdot 0,\!85^n & = & 0,\!1 & \vert \ln \\ n \cdot \ln(0,\!85) & = & \ln(0,\!1) & \vert : \ln(0,\!85) \\ n & = & \dfrac{\ln(0,\!1)}{\ln(0,\!85)} &\\ n & = & 14,\!17 & \\ \end{array}$

Da für $n$ nur ganze Zahlen infrage kommen, runden wir diesen Wert auf $15$ auf. Es muss also $15$ -mal gezogen werden.

Binomialverteilung – $p$ berechnen

Wie viel Prozent der Kugeln müssen blau sein, damit bei $10$ Ziehungen (mit Zurücklegen) mit mindestens $90\,\%$ -iger Wahrscheinlichkeit mindestens eine blaue Kugel gezogen wird?

$P(X \geq 1) = 0,\!9 ~ \Rightarrow ~ P(X = 0) = 0,\!1$

$k = 0$
$n = 10$

$\begin{array}{rcll} \binom{10}{0} \cdot p^0 \cdot (1 - p)^{10-0} & = & 0,\!1 & \\ 1 \cdot 1 \cdot (1 - p)^{10} & = & 0,\!1 & \vert \sqrt[10]{~} \\ 1 - p & = & \sqrt[10]{0,\!1} & \vert : + p ~ \vert -\sqrt[10]{0,\!1} \\ p & = & 1 - \sqrt[10]{0,\!1} &\\ p & = & 0,\!79 & \\ \end{array}$

Es müssen $79\,\%$ der Kugeln blau sein.

Negative Binomialverteilung – leicht erklärt

Die negative Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, bis zu einem bestimmten Versuch (beispielsweise dem $10.$ ) einen bestimmten Treffer (beispielsweise den $3.$ ) erzielt zu haben. Es gilt:

$P(X = n) = \displaystyle \binom{n-1}{r-1} \cdot p^r \cdot (1 - p)^{n-r}$

Dabei ist:

$n$ : die Anzahl an Versuchen
$r$ : die Anzahl an Erfolgen
$p$ : die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg

Negative Binomialverteilung – Beispiel:
Laura gewinnt bei einem Kartenspiel in der Regel jedes $5.$ Spiel. Heute Abend will sie $10$ Spiele gewinnen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie in der $30.$ Runde ihren $10.$ Sieg erzielt?

$n = 30$
$r = 10$
$p = \dfrac{1}{5} = 0,\!2$

Setzen wir diese Werte in die Formel ein, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit:

$P(30) = \displaystyle \binom{30 - 1}{10 - 1} \cdot 0,\!2^{10} \cdot (1 - 0,\!2)^{30 - 10} = \binom{29}{9} \cdot 0,\!2^{10} \cdot 0,8^{20} = 0,\!0118 = 1,\!18\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Laura in der $30.$ Runde ihren $10.$ Sieg erzielt, liegt bei $1,\!18\,\%$ .

Binomialverteilung – Aufgaben

Luisa spielt gerne Basketball. Mittlerweile ist sie so gut, dass sie den Korb mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%$ trifft.

Frage 1
Mit wie vielen Treffern kann sie rechnen, wenn sie $20$ -mal auf den Korb wirft?

Lösung 1
Gesucht ist hier der Erwartungswert $\mu$ . Dieser wird mit der Formel $\mu = p \cdot n$ berechnet. Setzen wir die Zahlen in die Formel ein, erhalten wir für $\mu$ :

$\mu = 0,\!75 \cdot 20 = 15$

Bei $20$ Versuchen kann Luisa also mit $15$ Treffern rechnen.

Frage 2
Tom bietet Luisa an, dass sie für $20$ Euro $15$ -mal auf den Korb werfen kann. Für jeden Treffer bekommt sie $2$ Euro. Ihre Trefferquote liegt weiterhin bei $75\,\%$ . Lohnt sich dieses Angebot für Luisa?

Lösung 2
Zunächst sollten wir den Erwartungswert berechnen, um zu schauen, mit wie vielen Treffern Luisa bei $15$ Versuchen rechnen kann.

$\mu = 0,\!75 \cdot 15 = 11,\!25$

Luisa kann nicht $11,\!25$ -mal treffen, aber dieser Wert bietet eine Orientierung, mit welcher Trefferzahl Luisa am ehesten rechnen kann. Multiplizieren wir diesen Wert mit den $2$ Euro, die Luisa pro Treffer bekommt, erhalten wir:

$2 \cdot 11,\!25 = 22,\!5$

Es ist also gut möglich, dass Luisa bei dem Angebot mehr Geld bekommt, als sie vorher zahlen musste. Um das Angebot noch besser beurteilen zu können, können wir noch die Standardabweichung berechnen. Dadurch können wir das Risiko, das Luisa eingeht, besser einschätzen.

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{15 \cdot 0,\!75 \cdot (1 - 0,\!75)} \approx 1,\!68$

$\mu - \sigma = 11,\!25 - 1,\!68 = 9,\!57$
$\mu + \sigma = 11,\!25 + 1,\!68 = 12,\!93$

Die Wahrscheinlichkeit, zwischen $10$ und $13$ Treffern zu erzielen, ist für Luisa sehr hoch. Somit geht sie bei dem Deal mit Tom kein großes Risiko ein, zu verlieren.

Frage 3
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei $30$ Versuchen $25$ Treffer erzielt?

Lösung 3
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel:

$P( X = k ) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

Setzen wir alle Werte ein, erhalten wir:

$P( X = 25 ) = \displaystyle \binom{30}{25} \cdot 0,\!75^{25} \cdot (1 - 0,\!75)^{30-25} \approx 0,\!1047$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei $30$ Versuchen $25$ Treffer erzielt, liegt bei $10,\!47\,\%$ .

Frage 4
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei $20$ Versuchen mindestens $10$ Treffer erzielt?

Lösung 4
Um diese Frage zu beantworten, nutzen wir die Formel:

$P( X \geq k ) = 1 - \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k-1} \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n-i}$

Wir berechnen also die Wahrscheinlichkeit, dass sie neun oder weniger Treffer erzielt, und ziehen diese von der Gesamtwahrscheinlichkeit $1$ ab.
Setzen wir die Werte ein, erhalten wir:

$P( X \geq 10 ) = 1 - \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{10-1} \binom{20}{i} \cdot 0,75^i \cdot (1 - 0,\!75)^{20-i} = 1 - 0,\!0039 = 0,\!9961$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Luisa bei $20$ Versuchen mindestens $10$ Treffer erzielt, liegt also bei $99,\!61\,\%$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Binomialverteilung

Was ist eine Binomialverteilung?

Unter der Binomialverteilung versteht man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette, also einer binomialverteilten Zufallsgröße.

Ist die Binomialverteilung eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Bei der Binomialverteilung handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Wie erkennt man eine Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist an den folgenden vier Eigenschaften erkennbar:

Die Anzahl $n$ ist ein fester Wert.
Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist konstant.
Die Versuche sind unabhängig voneinander.
Es existieren nur die Möglichkeiten Treffer oder kein Treffer.

Was berechnet man mit Binomialverteilungen?

Die Gleichung der Binomialverteilung wird als $B(n; p; k)$ angegeben und lautet:
$B(n; p; k) = P( X = k ) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$

Wie berechnet man die Standardabweichung bei einer Binomialverteilung?

Die Formel für die Standardabweichung einer Binomialverteilung ist:
$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$

Wann benutze ich Binomialverteilung und wann Normalverteilung?

Die Binomialverteilung existiert nur für ganzzahlige Trefferzahlen, wohingegen die Normalverteilung für alle beliebigen reellen Zahlen existiert. Für $n \cdot p \cdot (1 - p) > 9$ kann die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung approximiert werden.

Was ist der Unterschied zwischen Bernoulli- und Binomialverteilung?

Die Bernoulli-Verteilung bezeichnet ein Zufallsexperiment, bei dem es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, wohingegen die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette bezeichnet.

Wann ist ein Zufallsexperiment binomialverteilt?

Durch mehrfaches Wiederholen eines Bernoulli-Experiments entsteht ein binomialverteiltes Zufallsexperiment. Ein Bernoulli-Experiment hat nur zwei Ergebnisse: Treffer oder kein Treffer.

Ist Binomialverteilung ohne Zurücklegen?

Nein, bei der Binomialverteilung darf sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändern, es handelt sich also stets um Ziehen mit Zurücklegen.

Wie gibt man Binomialverteilungen in den Taschenrechner ein?

Um die Formel $B(n; p; k) = P( X = k ) = \displaystyle \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}$ mit dem Taschenrechner zu lösen, geben wir den Befehl $\text{binomPdf}(n; p; k)$ in den Taschenrechner ein. Die Variablen $n$ , $p$ und $k$ müssen dabei durch die entsprechenden Werte ersetzt werden.

Binomialverteilung – Erklärung, Merkmale, Berechnung und Anwendung

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Die Binomialverteilung im Überblick

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