Primfaktorzerlegung – Erklärung und Beispiele

Natürliche Zahlen lassen sich als Produkt von Primzahlen darstellen, ein wichtiger Schritt bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers und kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Lerne, wie die Primfaktorzerlegung funktioniert und wie sie in der Mathematik Anwendung findet. Dies und mehr im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung im Überblick

  • Jede natürliche Zahl kann als Produkt aus Primzahlen dargestellt werden. Dieses Produkt wird Primfaktorzerlegung genannt.

  • Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig.

  • Zum Einsatz kommt die Primfaktorzerlegung zum Beispiel bei der Suche nach dem größten gemeinsamen Teiler oder dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen.

Primfaktorzerlegung Video

Quelle sofatutor.com

Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Primzahlen sind Zahlen, die außer der 1 und sich selbst keine weiteren Teiler haben. Die Zahl 7 ist zum Beispiel eine Primzahl, da sie ohne Rest nur durch 1 und 7 teilbar ist. Im Gegensatz dazu ist die Zahl 14 keine Primzahl, sie hat die ganzzahligen Teiler 1, 2, 4, 7 und 14. Wir können die 14 als Produkt aus Primzahlen schreiben: 14 = 2 \cdot 7. Die Darstellung einer natürlichen Zahl als Produkt aus Primzahlen wird Primfaktorzerlegung genannt. 

Es gilt: Für jede natürliche Zahl gibt es eine Primfaktorzerlegung, die bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.
Ein Beweis für Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung kann mittels Induktion geführt werden, wir verzichten an dieser Stelle auf eine Ausführung.

Primfaktorzerlegung bestimmen

Um die Primfaktorzerlegung einer Zahl zu berechnen, überprüfen wir diese nach und nach auf Teilbarkeit durch Primzahlen. Haben wir eine Primzahl gefunden, die Teiler der Zahl ist, führen wir die Division durch diesen sogenannten Primfaktor durch. Dann suchen wir nach weiteren Primfaktoren für das Ergebnis. Die Primfaktorzerlegung ist das Produkt aus allen Primfaktoren. Kommt der gleiche Primfaktor mehrfach in einer Zerlegung vor, wird er mit Potenzschreibweise abgekürzt:
\underbrace{p \cdot p \cdot \dots \cdot p}_{n-\text{mal}} = p^n

Beispiel 1: Primfaktorzerlegung von 45

45 ist nicht durch 2 teilbar.
45 ist durch 3 teilbar.
Wir rechnen:
45 : 3 = 15
15 ist durch 3 teilbar.
Wir rechnen:
15 : 3 = 5
5 ist eine Primzahl.

Wir erhalten die Primfaktorzerlegung 45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5. Da der Primfaktor 3 hier zweimal vorkommt, fassen wir 3 \cdot 3 als Potenz zu 3^2 zusammen.

Es ist auch möglich, den Rechenweg bei der Primfaktorzerlegung in Form einer Tabelle darzustellen. Wir betrachten hierzu zwei Beispiele:

Beispiel 2: Primfaktorzerlegung von 72

72 : 2 36 : 2 18 : 2 9 : 3 3
Primfaktor 2 2 2 3 3

\Rightarrow ~ 72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2

Beispiel 2: Primfaktorzerlegung von 130

130 : 2 65 : 5 13
Primfaktor 2 5 13

\Rightarrow ~ 130 = 2 \cdot 5 \cdot 13

Hinweis: Da es für die Primfaktorzerlegung keine Formel gibt, kann diese gerade bei großen Zahlen mit einem großen Aufwand verbunden sein. Diese Eigenschaft der Primfaktorzerlegung wird beispielsweise bei der Verschlüsselung von Daten genutzt, um diese vor unbefugtem Zugriff zu schützen. 

 Anwendungen der Primfaktorzerlegung

Die Zerlegung einer Zahl in Faktoren ist in vielen Bereichen in Mathe nützlich, beispielsweise wenn es darum geht, Brüche zu kürzen. An der Primfaktorzerlegung des Nenners eines vollständig gekürzten Bruchs können wir außerdem erkennen, wie der Bruch als Dezimalzahl geschrieben wird. Dabei können drei Fälle unterschieden werden:

  • endliche Dezimalzahlen,
  • reinperiodische Dezimalzahlen und
  • gemischt periodische Dezimalzahlen.

Kriterien und Beispiele sind hier zusammengefasst: 

Primfaktorzerlegung Anwendung Dezimalzahlen

Eine besondere Rolle spielt die Primfaktorzerlegung auch bei der Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (kurz \text{ggT}) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kurz \text{kgV}), die wir nun kurz betrachten wollen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die ein ganzzahliges Vielfaches beider Zahlen ist.
Dabei gilt: Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist das Produkt aller Primfaktoren, die in einer der Primfaktorzerlegungen der Zahlen vorkommen.  

Beispiel: \text{kgV}(6, 14)

6 = 2 \cdot 3
14 = 2 \cdot 7

\Rightarrow ~ \text{kgV}(6, 14) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 56
Wir multiplizieren alle Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Der gemeinsame Primfaktor 2 taucht dabei nur einmal auf. 

Der größte gemeinsame Teiler

Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte Zahl, die ein Teiler beider Zahlen ist.
Dabei gilt: Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist das Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Primfaktorzerlegungen beider Zahlen vorkommen

Beispiel: \text{ggT}(52, 78)

52 = 2 \cdot 2 \cdot 13
78 = 2 \cdot 3 \cdot 13

\text{ggT}(52, 78) = 2 \cdot 13 = 26
Wir multiplizieren die gemeinsamen Primfaktoren 2 und 13

Häufig gestellte Fragen zum Thema Primfaktorzerlegung

Eine Primfaktorzerlegung ist ein Produkt aus Primzahlen.

Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen, dessen Wert der Zahl entspricht.

Eine Primfaktorzerlegung besteht aus allen Primzahlen, die Teiler einer Zahl sind. Wir müssen also alle Primzahlen finden, die die Zahl teilen.

Um eine Primfaktorzerlegung durchzuführen, können wir die Zahl nach und nach auf die Teilbarkeit durch verschiedene Primzahlen überprüfen. Haben wir eine Primzahl gefunden, die Teiler ist, dann bestimmen wir den Quotienten und rechnen damit weiter, bis der Quotient selbst eine Primzahl ist.

Bei der Berechnung einer Primfaktorzerlegung können wir eine Tabelle zur Hilfe nehmen, in der wir nach und nach durch die gefundenen Primfaktoren teilen, bis eine Primzahl übrig bleibt.

Damit die Primfaktorzerlegung einer Zahl möglichst einfach gelingt, überprüfen wir zunächst die Teilbarkeit durch die kleinste Primzahl 2. Ist diese kein Teiler (mehr), gehen wir zur nächstgrößeren Primzahl 3 weiter, dann prüfen wir die Teilbarkeit durch 5 etc. so lange, bis wir alle Primfaktoren gefunden haben.
Dabei helfen auch die Teilbarkeitsregeln.

Die Primfaktorzerlegung wird beispielsweise beim Kürzen von Brüchen oder bei der Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen genutzt. 

Es gilt: Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist das Produkt aller Primfaktoren, die in einer der Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen vorkommen. Zahlen, die in beiden Zerlegungen vorkommen, zählen dabei immer nur einmal.

Es gilt: Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist das Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Primfaktorzerlegungen beider Zahlen vorkommen.

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