Rechteck Mathe – einfach erklärt

Erfahre alles über Rechtecke, wichtige Formeln wie Umfang und Flächeninhalt sowie deren Eigenschaften. Rechtecke haben vier rechte Winkel und gegenüberliegende Seiten, die parallel und gleich lang sind. Entdecke, wie man Seiten, Diagonalen berechnet und vergleiche Rechtecke mit anderen Vierecken. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Rechteck

Das Rechteck im Überblick

  • Das Rechteck gehört zu den besonderen Vierecken.
  • Ein Rechteck hat vier rechte Winkel.
  • Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind paarweise gleich lang und parallel zueinander.
  • Der Umfang eines Rechtecks berechnet sich nach:

    U = 2 \cdot a + 2 \cdot b

  • Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet sich nach:

    A = a \cdot b

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Rechteck – Definition und Eigenschaften

Rechtecke sind geometrische Figuren. Ein Rechteck hat vier Seiten, vier Ecken und somit auch vier Winkel. Alle Winkel sind rechte Winkel, sie sind also genau 90^\circ groß.
Die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks sind immer parallel und gleich lang. Die Rechteckseiten werden häufig mit den gleichen Buchstaben bezeichnet. In den meisten Fällen sind die Seiten eines Rechtecks mit den Buchstaben a und b beschriftet. Ein Rechteck hat somit eine Länge und eine Breite. Die längeren Seiten werden auch als Längsseiten des Rechtecks bezeichnet.
Bei Rechtecken müssen im Gegensatz zu Quadraten jedoch nicht alle vier Seiten gleich lang sein. Jedes Quadrat ist somit ein Rechteck, aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat.

Rechteck

Quelle sofatutor.com

Da zwar alle Winkel gleich groß, aber nicht alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich nicht um ein regelmäßiges Viereck

Die Diagonalen verbinden die gegenüberliegenden Ecken des Rechtecks. Sie sind genau gleich lang und halbieren sich gegenseitig.
Rechtecke haben zwei Symmetrieachsen. Die Symmetrieachsen halbieren sich gegenseitig. Eine Symmetrieachse geht von der Mitte der einen langen Seite zur Mitte der anderen langen Seite. Die andere Symmetrieachse geht von der Mitte der einen kurzen Seite zur Mitte der anderen kurzen Seite.

Rechteck Symmetrie

Rechteck – Formeln

Es lassen sich verschiedene Größen des Rechtecks berechnen. Besonders wichtig sind der Umfang und der Flächeninhalt. Wir schauen uns aber auch an, wie die Berechnung für die Diagonalen eines Rechtecks lautet.
Da ein Rechteck eine Figur und kein Körper ist, besitzt es kein Volumen, das berechnet werden kann.

Rechteck Umfang – Formel

Um den Umfang U eines Rechtecks zu berechnen, werden alle Seitenlängen miteinander addiert. Da zwei Seiten immer gleich lang sind, können wir also 2 \cdot a und 2 \cdot b addieren:

U = 2 \cdot a + 2 \cdot b

Beispiel – Umfang eines Rechtecks
Der Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=4~\text{cm} und b=6~\text{cm} soll berechnet werden:

U = 2 \cdot 4~\text{cm} + 2 \cdot 6~\text{cm} = 8~\text{cm} + 12~\text{cm} = 20~\text{cm}

Rechteck Umfang – Rechner

Rechteck Flächeninhalt – Formel

Um den Flächeninhalt A eines Rechtecks zu berechnen, multiplizierst du die Seitenlängen zweier verschieden langer Seiten:

A = a \cdot b

Beachte, dass die Einheit vom Flächeninhalt immer ein Quadrat besitzt.

Beispiel – Flächenberechnung Rechteck
Die Fläche eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=3~\text{cm} und b=5~\text{cm} soll berechnet werden:

A = 3~\text{cm} \cdot 5~\text{cm} = 15~\text{cm}^2

Rechteck Flächeninhalt – Rechner

Rechteck – Seiten berechnen

Ist der Umfang und eine Seite gegeben, können wir die andere Seite mit der folgenden Formel berechnen:

\begin{array}{lrcl} &U &=& 2 \cdot a + 2 \cdot b \\ \\ \Leftrightarrow & a &=& \dfrac{U - 2b}{2} \\ \\ \Leftrightarrow & b &=& \dfrac{U - 2a}{2} \end{array}

Ist der Flächeninhalt und eine Seite gegeben, können wir die andere Seite mit der folgenden Formel berechnen:

\begin{array}{lrcl} &A &=& a \cdot b \\ \\ \Leftrightarrow & a &=& \dfrac{A}{b} \\ \\ \Leftrightarrow & b &=& \dfrac{A}{a} \end{array}

Beispiel – Seiten eines Rechtecks berechnen
Gegeben: U = 26~\text{cm} und b = 10~\text{cm}
Gesucht: a
Rechnung: a = \dfrac{26~\text{cm} - 2 \cdot 10~\text{cm}}{2} = \dfrac{6~\text{cm}}{2} = 3~\text{cm}

Gegeben: A = 30~\text{cm}^2 und a = 5~\text{cm}
Gesucht: b
Rechnung: b = \dfrac{30~\text{cm}^2}{5~\text{cm}} = 6~\text{cm}

Rechteck – Diagonalen berechnen

Zur Berechnung der Diagonalen eines Rechtecks wird der Satz des Pythagoras benötigt, weil die Länge, die Breite und die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Es gilt:

\begin{array}{lrcl} & a^2 + b^2 &=& d^2 \\ \Leftrightarrow & d &=& \sqrt{a^2 + b^2} \end{array}

Dabei sind a die Länge des Rechtecks, b die Breite des Rechtecks und d die Diagonale.

Beispiel – Diagonale berechnen
Gegeben: a=5~\text{cm} und b=7~\text{cm}
Gesucht: d
Rechnung: d = \sqrt{5^2 + 7^2} \approx 8{,}6~\text{cm}

Rechtecke im Vergleich mit anderen Vierecken

Das Rechteck gehört wie das Quadrat zu den besonderen Vierecken. Weitere besondere Vierecke sind das Parallelogramm, die Raute, das Trapez und das Drachenviereck. Vergleichen wir die Merkmale des Rechtecks mit den Merkmalen der anderen Vierecke, stellen wir fest:

  • Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
  • Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten ist auch ein Quadrat, eine Raute und ein Drachenviereck.
  • Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
  • Ein Parallelogramm mit rechten Winkeln ist auch ein Rechteck.
  • Jedes Rechteck ist ein Trapez.
  • Ein Trapez mit rechten Winkeln ist auch ein Rechteck.
  • Jedes Rechteck ist ein allgemeines Viereck.

Einen Überblick zu den Zusammenhängen der einzelnen Vierecke bietet das Haus der Vierecke.

Zusammengesetzte Rechtecke

Formen können auch aus verschiedenen Rechtecken zusammengesetzt sein. Dann sprechen wir von zusammengesetzten Rechtecken. Das folgende linke Rechteck ist aus drei Rechtecken zusammengesetzt:

zusammengesetztes Rechteck

Um den Flächeninhalt einer aus Rechtecken zusammengesetzten Figur zu berechnen, können wir diese zerlegen. Die oben dargestellte zusammengesetzte Figur kann in drei Rechtecke (A, B und C) zerlegt werden. Dann können wir die Flächeninhalte der Rechtecke einzeln ausrechnen. Der Flächeninhalt der gesamten Fläche ist die Summe der drei Teilflächen.

Beispiel zusammengesetzte Figur
Die oben dargestellte Fläche kann in drei Rechtecke aufgeteilt werden. Die einzelnen Rechtecke haben die Flächeninhalte:

A_A = 12~\text{m} \cdot 27~\text{m} = 324~\text{m}^2
A_B = 12~\text{m} \cdot 27~\text{m} = 324~\text{m}^2
A_C = 38~\text{m} \cdot 27~\text{m} = 1\,026~\text{m}^2

Die zusammengesetzte Form hat also den Flächeninhalt:

A = A_A + A_B + A_C = 324~\text{m}^2 + 324~\text{m}^2 + 1\,026~\text{m}^2 = 1\,674~\text{m}^2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rechteck

Das Rechteck gehört zu den besonderen Vierecken. Ein Rechteck hat vier rechte Winkel. Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind parallel und gleich lang.

Ein Rechteck hat vier Seiten und vier Ecken. Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel zueinander und gleich lang. Jeder Winkel des Rechtecks ist ein rechter Winkel.

Ein Rechteck hat wie jedes Viereck vier Ecken.

Ein Rechteck hat wie jedes Viereck vier Seiten.

Für das Rechteck gibt es zwei wichtige Formeln: die Formel, um den Umfang U zu berechnen, und die Formel, um den Flächeninhalt A zu berechnen. Diese Formel lauten für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b

  • U = 2 \cdot a + 2 \cdot b 
  • A = a \cdot b

Der Umfang eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b wird mit der Formel {U = 2 \cdot a + 2 \cdot b} berechnet.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b wird mit der Formel {A = a \cdot b} berechnet.

Ist der Umfang und eine Seite gegeben, kann die andere Seite mit der Formel a = \frac{U - 2b}{2} oder b = \frac{U - 2a}{2} berechnet werden.

Die Länge der Diagonalen d wird mit der Formel d = \sqrt{a^2 + b^2} aus den Seitenlängen a und b berechnet.

Ein Rechteck ist eine Figur und kein Körper. Es hat also kein Volumen.

Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm, da die gegenüberliegenden Seiten paarweise parallel sind.

Ein Quadrat ist auch immer ein Rechteck.

Ja, jedes Quadrat erfüllt die Eigenschaften eines Rechtecks. Also ist jedes Quadrat auch gleichzeitig ein Rechteck.

Nein, nur Vierecke, die die Eigenschaften für Rechtecke erfüllen, sind auch Rechtecke.

Ein allgemeines Viereck muss kein Rechteck sein. Parallelogramme, Trapeze, Rauten und Drachenvierecke müssen die Eigenschaften des Rechtecks erfüllen, um auch Rechtecke zu sein.

Das allgemeine Viereck hat keine Vorgaben zu den Seiten und Winkeln. Das Rechteck muss vier rechte Winkel besitzen. Die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sind parallel und gleich lang. Bei einem allgemeinen Viereck können die Winkel beliebig groß sein. Die Seiten müssen nicht parallel und gleich lang sein.

Alle Vierecke, deren gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind und die vier rechte Winkel besitzen, sind Rechtecke. 

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