Parallelogramm – Definition, Formeln und Beispiele

Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit parallelen, gleich langen Seiten und gegenüberliegenden Winkeln. Erfahre mehr über Symmetrie, Formeln für Umfang und Fläche sowie praktische Anwendungen in Architektur und Design. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Parallelogramm

Das Quiz zum Thema: Parallelogramm

Was ist ein Parallelogramm?

Frage 1 von 5

Welche Eigenschaft haben gegenüberliegende Seiten in einem Parallelogramm?

Frage 2 von 5

Wie berechnet sich der Umfang eines Parallelogramms?

Frage 3 von 5

Wie sieht es mit den Winkeln in einem Parallelogramm aus?

Frage 4 von 5

Welche besondere Form des Parallelogramms hat vier rechte Winkel?

Frage 5 von 5

Das Parallelogramm im Überblick

  • Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.

  • Gegenüberliegende Winkel sind in einem Parallelogramm gleich groß, benachbarte Winkel ergeben zusammen 180^\circ.

  • Ein Parallelogramm ist punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen.

  • Der Umfang ist die Summe aller Seiten: U = a + b + c + d = 2\cdot (a+b).

  • Die Fläche berechnet sich mit der Formel: A = a\cdot h_a

Parallelogramm Video

Quelle sofatutor.com

Parallelogramm – Eigenschaften

Ein Parallelogramm ist eine geometrische Figur, bei der gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. Wir definieren es als Viereck mit zwei Paaren paralleler Seiten.
Die Eigenschaften eines Parallelogramms sind:

  • Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
  • Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.
  • Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
  • Benachbarte Winkel ergeben zusammen 180^\circ.
  • Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
  • Diese Eigenschaften müssen beim Zeichnen von Parallelogrammen beachtet werden.

Betrachten wir folgendes Parallelogramm:

Parallelogramm Beispiel

Die Beschriftung der Ecken erfolgt, wie bei Vierecken üblich, gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben A bis D. Die auf die jeweilige Ecke folgenden Seiten werden mit den entsprechenden Kleinbuchstaben a bis d gekennzeichnet. Die Winkel werden mit den griechischen Buchstaben \alpha, \beta, \gamma und \delta beschriftet.
Für dieses Parallelogramm gilt also:

  • a\parallel c \quad und \quad b\parallel d
  • a = b \quad und \quad b = d
  • \alpha = \gamma \quad und \quad \beta = \delta
  • \alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta = \delta + \alpha = 180^\circ

Die Innenwinkelsumme, kurz Winkelsumme, eines Parallelogramms beträgt immer 360^\circ.

Parallelogramm – besondere Fälle

Es gibt verschiedene Arten von Parallelogrammen, die jeweils eine Besonderheit aufweisen:

  • Rechteck: Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln ist ein Rechteck.
  • Raute (Rhombus): Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute. Eine Raute ist also ein gleichseitiges Parallelogramm.
  • Quadrat: Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln und vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat.

Zudem ist jedes Parallelogramm ein spezielles Trapez mit zwei parallelen Seitenpaaren.

Entsprechend wird das Parallelogramm im Haus der Vierecke eingeordnet. 

Parallelogramm – Symmetrie

Jedes Parallelogramm ist punktsymmetrisch. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist das Symmetriezentrum des Parallelogramms.

Symmetriezentrum des Parallelogramms

Achsensymmetrisch ist ein Parallelogramm im Allgemeinen jedoch nicht. Nur die speziellen Parallelogramme Raute und Rechteck haben zwei Symmetrieachsen.

Parallelogramm – Formeln

Nun schauen wir uns einige Formeln an, um verschiedene Größen in einem Parallelogramm zu berechnen.

Umfang:
Für den Umfang eines Parallelogramms gilt die Formel:
U = a + b + c + d = 2\cdot (a+b)
Es werden also alle Seiten addiert und die Formel durch die Tatsache vereinfacht, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.

Flächeninhalt:
Die Fläche eines Parallelogramms berechnet sich aus einer Seite und der zugehörigen Höhe. Nimmt man die Seite a als Grundseite, gilt die Formel:
A = a \cdot h_a
Ebenso gilt für die Seite b:
A = b\cdot h_b
Die Höhe beschreibt dabei den kürzesten Abstand von der jeweiligen Seite zur gegenüberliegenden Seite.

Formeln Parallelogramm

Beispiel:
Gegeben ist ein Parallelogramm mit den Seiten a = 10~\text{cm} und b = 7~\text{cm} und einer Höhe h_a=4~\text{cm}. Das Einsetzen in die Formeln für den Umfang und die Flächenberechnung liefert:
U = 2\cdot (10~\text{cm} + 7~\text{cm}) = 34~\text{cm}
A= 10~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 40~\text{cm}^2

Sind der Flächeninhalt und eine Seite des Parallelogramms gegeben, kann die zugehörige Höhe durch Umstellen der Flächenformel berechnet werden:
h_a = \dfrac{A}{a}
Wir können die Formel auch nach der Seite a umstellen und so über Flächeninhalt und Höhe die Länge der Seite berechnen:
a=\dfrac{A}{h_a}

Parallelogramm – Beispiele im Alltag

Parallelogramme finden sich in vielen Bereichen des Alltags. Einige Beispiele aus dem Bereich Architektur sind Muster von Bodenbelägen, Fenster oder ganze Gebäude. Auch auf Spielkarten oder Landesflaggen sind Parallelogramme zu finden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind.

Ja, ein Rechteck ist ein spezielles Parallelogramm, da es zwei parallele Seitenpaare hat. Zusätzlich hat ein Rechteck vier rechte Winkel.

Ja, ein Quadrat ist ein spezielles Parallelogramm mit zwei gleich langen parallelen Seitenpaaren. Zusätzlich hat ein Quadrat vier rechte Winkel, außerdem sind alle vier Seiten gleich lang.

Ja, ein Parallelogramm ist ein besonderes Trapez, das nicht nur ein paralleles Seitenpaar, sondern zwei parallele Seitenpaare besitzt.

Um ein Parallelogramm zu zeichnen, müssen zwei parallele Seitenpaare gezeichnet werden, die sich gegenseitig schneiden. Die gegenüberliegenden Seiten sind dann immer auch gleich lang.

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet sich mit einer Seite und der zugehörigen Höhe nach der Formel:
A = a\cdot h_a = b \cdot h_b

Der Umfang ist die Summe aller Seiten: 

U = a + b + c + d = 2\cdot (a+b)

Die Fläche berechnet sich mit der Formel: 

A = a\cdot h_a

Im Allgemeinen hat ein Parallelogramm keine rechten Winkel. Ein besonderes Parallelogramm mit rechten Winkeln ist ein Rechteck.

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