Quadratische Ergänzung – Definition, Erklärung und Beispiele
Erfahre, wie quadratische Ergänzung quadratische Terme umformt und binomische Formeln anwendet. Löse Gleichungen und finde Scheitelpunkte mithilfe dieses Verfahrens. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Quadratische Ergänzung
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Quadratische Ergänzung – einfach erklärt
Ein quadratischer Term ist ein Term der Form mit , also mit dem höchsten Exponenten . Bei der quadratischen Ergänzung wird ein quadratischer Term nun so umgeformt, dass die 1. oder 2. binomische Formel angewendet werden kann. Beispielsweise hilft die quadratische Ergänzung, wenn der Term in den gleichwertigen Term umgeformt werden soll. Dazu sagen wir auch: „Der Term wird teilweise faktorisiert.“
Im Folgenden wird das Vorgehen bei der quadratischen Ergänzung Schritt für Schritt erklärt.
Gegeben ist der quadratische Term .
- Vor dem steht ein Faktor, der zunächst ausgeklammert wird:
- Der Faktor vor dem , hier also , wird durch dividiert:
- Dieser Wert wird nun quadriert:
- Nun wird diese zu dem Term in der Klammer addiert und anschließend wieder subtrahiert. Insgesamt wird so addiert, der Wert des Terms ändert sich dadurch nicht.
- Für die ersten drei Summanden in der Klammer kann nun die 1. binomische Formel angewendet werden:
- Diese Umformung wird in den gesamten Term eingesetzt und weiter zusammengefasst:
Schritte der quadratischen Ergänzung
Die quadratische Ergänzung für einen quadratischen Term mit läuft wie folgt ab:
- Vorfaktor vor dem ausklammern
- Faktor vor dem durch dividieren und dann quadrieren
- Ergebnis zum Term in der Klammer addieren und subtrahieren („ addieren“)
- Binomische Formel anwenden
- Term zusammenfassen
Anwendung der quadratischen Ergänzung
Die quadratische Ergänzung kommt vor allem beim Lösen von Gleichungen oder beim Bestimmen von Nullstellen zum Einsatz.
Quadratische Ergänzung – quadratische Gleichungen lösen
Eine quadratische Gleichung der Form lässt z. B. mithilfe der -Formel oder der Mitternachtsformel lösen. Es ist aber auch möglich, die Gleichung mit der quadratischen Ergänzung zu lösen. Dafür wird der quadratische Term wie oben gezeigt umgeformt, danach kann die quadratische Klammer isoliert und die Wurzel gezogen werden.
Im folgenden Beispiel schauen wir uns einmal an, wie das funktioniert:
Wir suchen die Lösungen der Gleichung .
Wir formen um:
Daraus ergeben sich die Lösungen und .
Quadratische Ergänzung – Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Liegt eine quadratische Funktion in der Form mit vor, sagen wir dazu Normalform. Durch Termumformung lässt sich der Funktionsterm auch in die Scheitelpunktform umformen, wobei der Punkt der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel ist. Um einen Funktionsterm einer quadratischen Funktion von der Normalform in die Scheitelpunktform umzuformen, hilft die quadratische Ergänzung.
Wie dies funktioniert, schauen wir uns an einem Beispiel an:
Die Funktion soll in Scheitelpunktform umgeformt werden:
Aus der Scheitelpunktform lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Ergänzung
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