Potenzen im Überblick

  • Eine Potenz ist die verkürzte Schreibweise des mehrmaligen Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst.
  • Die Potenz besteht aus der Basis und dem Exponenten. Das Ergebnis der Potenz wird als Wert der Potenz oder Potenzwert bezeichnet.
  • Die Basis ist die Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.

  • Der Exponent gibt an, wie häufig die Basis mit sich selbst multipliziert wird.
  • Beim Rechnen mit Potenzen spielen die Potenzgesetze eine wichtige Rolle.
Potenzen: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Potenzen – Definition

Als Potenz wird die verkürzte Schreibweise des mehrmaligen Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst bezeichnet.

Beispiel:
mehrmaliges Multiplizieren:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

Das können wir auch schreiben als:

2^4

Dabei wird 2^4 als Potenz bezeichnet. Wird eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert, spricht man auch vom Potenzieren dieser Zahl. In diesem Beispiel wird die 2 potenziert.

Basis und Exponent

Die Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird, ist die Basis der Potenz. In dem unten dargestellten Beispiel ist die 4 die Basis der Potenz. Die Hochzahl wird in der Mathematik als Exponent bezeichnet. In diesem Beispiel ist die 3 der Exponent. Der Exponent beschreibt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. In diesem Beispiel also 3-mal. Zusammen ergeben Basis und Exponent die Potenz. Das Ergebnis dieser Rechnung wird als Wert der Potenz oder Potenzwert bezeichnet. In dem Beispiel ist der Potenzwert 64.

\text{Basis}^{\text{Exponent}} = \text{Potenzwert}

Potenzen

Potenz – Beispiele
3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81
4^2 = 4 \cdot 4 = 16
5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125

Besondere Potenzen

x hoch 1
Eine Zahl hoch 1 ist immer das Gleiche wie die Zahl. Es gilt:

x^1 = x

Aus diesem Grund wird die Potenz 1 häufig weggelassen.

Beispiel: 4^1 = 4

x hoch 0
Eine Zahl hoch 0 ist immer 1. Es gilt:

x^0 = 1

Der Exponent 0 besagt, dass die Zahl 1 keinmal mit der Basis multipliziert wird. Daher ergibt sich das Ergebnis 1. Mathematisch gesehen steht vor jeder Potenz 1-mal. Die 1 wird so oft, wie es der Exponent angibt, mit der Basis multipliziert. Da 1-mal eine Zahl jedoch immer die Zahl ergibt, kann die 1 weggelassen werden. Sie ist allerdings die Begründung, warum eine Zahl hoch 0 immer 1 ergibt.
Beispiel: 4^0 = 1

Basis 1
Ist die Basis 1, ist der Potenzwert auch immer 1.
Beispiel: 1^6 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1

Basis 0
Ist die Basis 0 und der Exponent positiv, ist der Potenzwert immer 0.
Beispiel: 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0

Sonderfall 0^0
Null hoch null ist ein Sonderfall und entweder als 1 definiert oder wird als undefiniert betrachtet. Auch die Antwort 0^0 = 0 ist eine Möglichkeit. Das liegt daran, dass eine Zahl hoch 0 immer 1 ist, 0 hoch eine Zahl jedoch immer 0 ergibt.

Zweierpotenzen berechnen
Die Zweierpotenzen sind alle Potenzen mit der Basis 2. Bei den Zweierpotenzen wird die Zahl 2 n-mal mit sich selbst multipliziert:

2^n

Bei Zweierpotenzen handelt es sich um wiederholtes Verdoppeln. Die folgende Tabelle zeigt alle Zweierpotenzen von 2^0 bis 2^{10}. Es ist erkennbar, dass der Wert der Potenz jeweils doppelt so groß ist wie der Wert der vorherigen Potenz.

Zweierpotenz Rechnung Wert der Potenz
2^0 1
2^1 2
2^2 2 \cdot 2 4
2^3 2 \cdot 2 \cdot 2 8
2^4 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 16
2^5 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 32
2^6 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 64
2^7 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 128
2^8 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 256
2^9 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 512
2^{10} 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 1024

Zehnerpotenzen
Zehnerpotenzen werden genutzt, um sehr große oder sehr kleine Zahlen darzustellen. Dabei bildet die 10 die Basis. Der Exponent gibt an, wie viele Nullen die Zahl besitzt.

10^7 = 10\,000\,000

Auch sehr kleine Zahlen lassen sich durch Zehnerpotenzen darstellen. In diesen Fällen steht im Exponenten eine negative Zahl.
Zehnerpotenzen bilden somit die Grundlage der wissenschaftlichen Schreibweise.

Potenzen mit negativer Basis

Ist die Basis der Potenz eine negative Zahl, hängt das Vorzeichen des Potenzwerts davon ab, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Aufgrund der Regel Minus mal minus gleich plus, gilt:

  • Gerader Exponent: Potenzwert ist positiv.
  • Ungerader Exponent: Potenzwert ist negativ.

Beispiele:
(-3)^4 = 81
(-2)^3 = -8

Potenzen mit negativen Exponenten

Für Potenzen mit negativem Exponenten gilt:

x^{-k} = \dfrac{1}{x^k}

Diese Potenzen werden auch als negative Potenzen bezeichnet.
Bei Potenzen mit hoch minus 1 ergibt sich somit immer ein Bruch, bei dem eine 1 im Zähler und die Basis im Nenner steht.

Beispiele:
2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}
4^{-2} = \dfrac{1}{4^2}=\dfrac{1}{16}
6^{-1} = \dfrac{1}{6}

Potenzen mit rationalen Exponenten

Für Potenzen mit rationalen Exponenten (Brüchen) gilt:

x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^a}

Steht ein Bruch im Exponenten, lässt sich die Potenz als Wurzel schreiben. Umgekehrt lassen sich Wurzeln als Potenzen schreiben. Für die Quadratwurzel gilt demnach:

\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = x^{\frac{1}{2}}

Potenzen und Wurzeln können mit dieser Regel einfach ineinander umgewandelt werden.

Beispiele:
4^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4^2}
3^{-\frac{4}{7}} = \dfrac{1}{\sqrt[7]{3^4}}

Mit Potenzen rechnen

Beim Rechnen und Umformen von Potenzen müssen die Potenzgesetze beachtet werden. In der Tabelle sind die Gesetze zum Rechnen mit Potenzen kurz dargestellt, im eigenen Text zu den Potenzgesetzen werden sie ausführlicher erklärt.

Bedeutung Allgemeine Form Beispiel
Multiplikation zweier Potenzen mit der gleichen Basis a^n \cdot a^m = a^{n+m} 3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6
Division zweier Potenzen mit der gleichen Basis \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \dfrac{3^6}{3^2} = 3^{6-2} =3^4
Potenzen von Potenzen (a^n)^m = a^{n \cdot m} (3^2)^4 =3^{2 \cdot 4} = 3^8
Multiplikation zweier Potenzen mit dem gleichen Exponenten a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n 5^3 \cdot 4^3 = (5 \cdot 4)^3 = 20^3
Division zweier Potenzen mit dem gleichen Exponenten \dfrac{a^n}{b^n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^n \dfrac{12^3}{4^3} = \left(\dfrac{12}{4}\right)^3 = 3^3

Mithilfe der Potenzgesetze lassen sich mehrere Potenzen zusammenfassen.

Potenzen – Aufgaben

Löse die folgenden Aufgaben mithilfe des gerade erlernten Wissens.

Aufgaben

Aufgabe 1:
Berechne die Potenzwerte der folgenden Potenzen:
3^0
4^2
1^7
5^{-1}
6^3
0^4

Aufgabe 2:
Fasse die folgenden Potenzen mithilfe der Potenzgesetze zusammen:
3^5 \cdot 4^5
\dfrac{6^5}{6^3}
3^4 \cdot 3^5
\dfrac{8^3}{2^3}
x^3 \cdot x^5
\dfrac{x^3}{y^3}

Aufgabe 3:
Ein Kaiser beauftragt einen Baumeister für den Bau eines neuen Brunnens. Am ersten Tag zahlt er ihm 2 Goldstücke aus. Er verdoppelt den Lohn jeden Tag. Wie viel Lohn muss er am 5. Tag zahlen?

Lösungen

Lösungen Aufgabe 1:

3^0 = 1
4^2 = 4 \cdot 4 = 16
1^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1
5^{-1} = \dfrac{1}{5}
6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216
0^4 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0

Lösungen Aufgabe 2:

3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5
\dfrac{6^5}{6^3} = 6^{5-3} = 6^2
3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9
\dfrac{8^3}{2^3} = \left(\dfrac{8}{2}\right)^3 = 4^3
x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8
\dfrac{x^3}{y^3} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^3

Lösung Aufgabe 3:
Die Basis ist 2, da das der Betrag ist, mit dem wir beginnen. Da wir wissen wollen, wie viel der Kaiser am 5. Tag zahlen muss, bildet die 5 den Exponenten. Wir rechnen also:

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

Antwortsatz: Am 5. Tag muss der Kaiser dem Baumeister 32 Goldstücke zahlen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzen

Potenzen sind die verkürzte Schreibweise des mehrmaligen Multiplizierens einer Zahl.

Als Potenz wird das Ergebnis des Potenzierens bezeichnet. Es ist die verkürzte Schreibweise des mehrmaligen Multiplizierens der gleichen Zahl.

Die Bedeutung des Potenzierens ist das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst.

Wird eine Potenz berechnet, erhalten wir den Potenzwert. Er ist also das Ergebnis der berechneten Potenz.

Um eine Potenz als Produkt zu schreiben, wird die Basis als Faktor verwendet. Die Anzahl der Faktoren wird durch den Exponenten bestimmt.

Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Um eine Potenz zu berechnen, wird also die Basis entsprechend oft mit sich selbst multipliziert. Bei kleineren Potenzen ist das auch einfach im Kopf möglich. Dabei kann einfach schrittweise vorgegangen und mit Zwischenergebnissen gerechnet werden.

Für Potenzen mit negativen Exponenten gilt:

x^{-k} = \frac{1}{x^k}

Sie können also berechnet werden, indem man sie zunächst als Bruch schreibt. Im Anschluss kann die Potenz im Nenner berechnet werden.

Als negative Potenzen werden Potenzen mit negativen Exponenten bezeichnet. Für diese Potenzen gilt:

x^{-k} = \frac{1}{x^k}

Beim Berechnen des Produkts zweier Potenzen können uns die Potenzgesetze helfen. Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit der gleichen Basis gilt:

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit dem gleichen Exponenten gilt:

a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

Zwei Potenzen, die wir miteinander multiplizieren, können zusammengefasst werden, wenn sie die gleiche Basis oder den gleichen Exponenten besitzen. Für Potenzen mit der gleichen Basis gilt:

a^n \cdot a^m = a^{n+m}

Für Potenzen mit dem gleichen Exponenten gilt:

a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

Jede beliebige Zahl hoch 0 ergibt immer 1. Der Exponent 0 besagt, dass die Zahl 1 keinmal mit der Basis multipliziert wird. Daraus ergibt sich das Ergebnis 1.

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