Dividieren – einfach erklärt

Division – Definition: Division ist das Gleiche wie die Geteiltrechnung. Die Division gehört zu den vier Grundrechenarten. Dabei wird eine Zahl durch eine andere Zahlen geteilt. Du schaust dafür, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl passt. Das Gegenteil der Division ist die Multiplikation (Malrechnen).

Beispiel

Wie oft passt die in die ? Antwort: -mal.

Die einzelnen Teile der Grundrechenarten haben alle eine eigene Bezeichnung. Das Zeichen für das Dividieren ist der Doppelpunkt (). Dieser wird als Geteiltzeichen bezeichnet.

Das Geteiltzeichen steht zwischen den beiden Zahlen, die durcheinander geteilt werden. Hinter der zweiten Zahl steht das Gleichheitszeichen. Rechts vom Gleichheitszeichen schreibst du das Ergebnis.
Die erste Zahl heißt Dividend. Der Dividend steht vor dem Geteiltzeichen. In diesem Beispiel ist die der Dividend.
Die zweite Zahl heißt Divisor. Der Divisor steht hinter dem Geteiltzeichen. In diesem Beispiel ist die der Divisor.
Das Ergebnis der Division heißt Quotient oder Wert des Quotienten. In diesem Beispiel ist der Wert des Quotienten.

Der Quotient beantwortet bei der Division also die Frage, wie oft der Divisor in den Dividenden passt.

Kommt bei Divisionsaufgaben ein Ergebnis ohne Rest heraus, dann ist der Divisor ein Teiler des Dividenden.

Beispiel: Die Teiler von sind und .

Manchmal bleibt bei der Division ein Rest übrig. Das passiert, wenn der Divisor kein Teiler des Dividenden ist.

Beispiel:

Die passt einmal in die . Dabei bleiben übrig. Die wird Rest genannt.

Die folgenden Regeln müssen bei der Division beachtet werden:

Die Null
Teilst du die Null durch eine andere Zahl, ist das Ergebnis immer null.
Beispiel:

Du darfst nicht durch null teilen. Das Ergebnis ist dann nicht definiert.
Beispiel:

Vertauschen
Dividend und Divisor dürfen nicht vertauscht werden. Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division.
Beispiel:

Klammern
Die Klammern bei einer Divisionsaufgabe dürfen nicht vertauscht werden. Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Division.
Beispiel:

Probe
Du kannst bei Divisionsaufgaben immer eine Probe machen. Dafür nutzt du die Umkehrrechnung. Multiplizierst du den Wert des Quotienten mit dem Divisor, dann muss der Dividend herauskommen. Ist das der Fall, dann hast du richtig gerechnet.
Bei der Division mit Rest multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Dazu addierst du den Rest.
Beispiel:

Beispiel 1:
Wie oft passt die in die ?

Probe:

Beispiel 2:
Wie oft passt die in die ?

Probe:

Beispiel 3:
Wie oft passt die in die ?
Rest
Die passt -mal in die . Dabei bleibt ein Rest von übrig.
Probe:

Bei der Division mit größeren Zahlen kann es einfacher sein, die Aufgabe mithilfe von Teilaufgaben zu lösen. Bei der halb schriftlichen Division kannst du den Dividenden aufteilen und einzeln durch den Divisor teilen. Die Teilergebnisse addierst du im Anschluss.

Beispiel

Du kannst die in ihre Hunderter, Zehner und Einer aufteilen. Dann teilst du alle einzeln durch die .

Quelle sofatutor.com

Die Ergebnisse der drei Teilaufgaben addierst du im Anschluss:

Kommt bei einer der Teilaufgaben ein Rest heraus, dann wird dieser an das Endergebnis angehängt.

Die schriftliche Division hilft dir bei der Division von großen Zahlen. Die Vorgehensweise wird im Folgenden anhand von Beispielen erklärt.

Betrachte zunächst die folgende Aufgabe. Der Divisor ist dabei eine Einerzahl.

Im ersten Schritt teilst du die erste Ziffer des Dividenden durch den Divisor. Das Ergebnis dieser Division schreibst du ohne Rest hinter das Gleichheitszeichen. In diesem Beispiel schaust du also, wie oft die in die passt. Das Ergebnis schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.

Im zweiten Schritt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreibst du unter die erste Stelle des Dividenden und ziehst darunter einen Strich. In diesem Beispiel multiplizierst du und schreibst die unter die des Dividenden.

Im dritten Schritt subtrahierst du das Produkt von der ersten Stelle des Dividenden. Die Differenz schreibst du unter den Strich. Du ziehst in diesem Beispiel also die von der ab. Die Differenz schreibst du unter den Strich.

Im vierten Schritt ziehst du die nächste Stelle des Dividenden nach unten. Du schreibst sie neben die Differenz aus dem vorherigen Schritt. In diesem Beispiel ziehst du die herunter und schreibst sie rechts neben die .

Dann beginnst du wieder mit dem ersten Schritt. Überlege, wie oft die in die passt. Die passt -mal in die . Die schreibst du hinter die im Ergebnis.
Dann multiplizierst du und . Das Ergebnis, , schreibst du unter die . Nun subtrahierst du von . Das Ergebnis schreibst du unter die Einerstelle der . Im letzten Schritt ziehst du die nächste Zahl des Divisors nach unten neben die . Du erhältst die Zahl .
Dann beginnst du wieder von vorne. Du schaust, wie oft die in die passt. . Die schreibst du hinter die im Ergebnis. Dann multiplizierst du mit und erhältst . Die schreibst du unter die andere . Die Differenz ist . Es bleibt also kein Rest übrig.

Das Ergebnis dieser Divisionsaufgabe ist also .

Doch was passiert, wenn der Divisor ebenfalls mehrere Stellen besitzt? Betrachte dafür das folgende Beispiel:

Da du durch eine zweistellige Zahl teilst, betrachtest du gleich die ersten beiden Stellen des Dividenden.

Im ersten Schritt teilst du also die ersten beiden Ziffern des Dividenden durch den Divisor. Das Ergebnis schreibst du ohne Rest hinter das Gleichheitszeichen. In diesem Beispiel schaust du, wie oft die in die passt. Das Ergebnis schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.

Im zweiten Schritt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreibst du unter die ersten beiden Stellen des Dividenden und ziehst darunter einen Strich. In diesem Beispiel multiplizierst du und schreibst die unter die des Dividenden.

Im dritten Schritt subtrahierst du die beiden untereinander stehenden Zahlen voneinander. Die Differenz schreibst du unter den Strich. Du ziehst in diesem Beispiel also die von der ab. Die Differenz schreibst du unter den Strich.

Im vierten Schritt ziehst du die nächste Stelle des Dividenden herunter. Du schreibst sie neben die Differenz aus dem vorherigen Schritt. In diesem Beispiel ziehst du die herunter und schreibst sie rechts neben die .

Dann beginnst du wieder von vorne. Du fragst dich, wie oft die in die passt. Die Antwort schreibst du neben die ins Ergebnis. Nun multiplizierst du die mit der und schreibst das Ergebnis unter die . Dann bildest du die Differenz.

Im Anschluss ziehst du die nächste Ziffer herunter. Du erhältst die Zahl . . Die schreibst du rechts neben die ins Ergebnis.
Dann multiplizierst du die mit und erhältst . Du schreibst die unter die andere . Ziehst du das voneinander ab, erhältst du . Es bleibt also kein Rest übrig.

Die folgende Aufgabe soll schriftlich gelöst werden:

Im ersten Schritt fällt auf, dass sich die erste Ziffer des Dividenden nicht durch teilen lässt. Ist das der Fall, dann nimmst du die zweite Ziffer hinzu. Du teilst also durch . Im Anschluss gehst du wie bei der normalen schriftlichen Division vor:

Am Ende bleibt die unten stehen. Es lässt sich keine weitere Zahl herunterziehen. Ist das der Fall, dann handelt es sich um eine Division mit Rest. Der Rest wird einfach hinter das Ergebnis geschrieben:

Bei großen Zahlen kann es helfen, einen Überschlag vor dem schriftlichen Dividieren zu machen. Dabei schätzt du das Ergebnis ab. So bekommst du eine ungefähre Vorstellung, wie groß das Ergebnis ist. Dafür rundest du den Divisor oder den Dividenden.

Beispiel:

Den Überschlag berechnest du dann mit dem gerundeten Wert:

Das Ergebnis beträgt rund . Berechnest du die Aufgabe nun schriftlich, dann erhältst du:

Löse die folgenden Aufgaben mit der schriftlichen Division:

Lösung Aufgabe 1

Lösung Aufgabe 2

Auch Kommazahlen (Dezimalzahlen) kannst du schriftlich dividieren. Du musst beachten, dass du das Komma im Ergebnis an die richtige Stelle setzt. Die Vorgehensweise wird am folgenden Beispiel erklärt:

Du beginnst bei diesem Beispiel wie bei der normalen schriftlichen Division. Du fragst dich: Wie oft passt die in die ? Die Antwort schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.
Dann multiplizierst du die mit der und schreibst das Ergebnis unter die . Darunter ziehst du einen Strich und subtrahierst die von der . Die Differenz schreibst du unter den Strich.

Ziehst du nun die nächste Zahl herunter, dann überschreitest du das Komma. An dieser Stelle musst du das Komma im Ergebnis setzen. Du schreibst im Ergebnis rechts neben die das Komma. Im Anschluss ziehst du die erste Nachkommastelle des Dividenden nach unten.

Du rechnest und schreibst die im Ergebnis rechts neben das Komma. Nun gehst du wie bei der normalen schriftlichen Division vor. Das Ergebnis der Beispielaufgabe ist:

Beispielaufgabe:

In dieser Aufgabe ist keine Division vor dem Komma möglich. Du schreibst also eine vor dem Komma im Ergebnis. Dann gehst du wie oben erklärt schrittweise vor.

Die lässt sich durch teilen. Du ergänzt also eine weitere im Ergebnis.

Ist der Divisor eine Kommazahl, musst du vor der schriftlichen Division Dividend und Divisor so oft mit multiplizieren, bis der Divisor keine Nachkommastellen hat. Dann kannst du wie gewohnt schriftlich dividieren.