Dividieren – einfach erklärt

Lerne alles über Division: Eine Grundrechenart, bei der Zahlen geteilt werden. Verstehe Begriffe wie Dividend, Divisor und Quotient. Lerne schrittweise schriftliches Dividieren mit Beispielen und Regeln. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Dividieren

Das Quiz zum Thema: Dividieren

Was ist der Divisor in einer Divisionsaufgabe?

Frage 1 von 5

Was passiert, wenn man Null durch eine Zahl dividiert?

Frage 2 von 5

Was beschreibt das schriftliche Dividieren?

Frage 3 von 5

Wie wird das Ergebnis einer Division genannt?

Frage 4 von 5

Was ist eine halb schriftliche Division?

Frage 5 von 5

Dividieren im Überblick

  • Die Division ist eine der vier Grundrechenarten.
  • Bei der Division teilt man eine Zahl durch eine zweite Zahl. Man fragt sich: Wie oft passt die zweite Zahl in die erste Zahl?
  • Die Zahl, die geteilt wird, heißt Dividend. Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor.
  • Das Ergebnis der Division heißt Quotient.
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Quelle sofatutor.com

Division und Geteiltrechnen – Mathe

Division – Definition: Division ist das Gleiche wie die Geteiltrechnung. Die Division gehört zu den vier Grundrechenarten. Dabei wird eine Zahl durch eine andere Zahlen geteilt. Du schaust dafür, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl passt. Das Gegenteil der Division ist die Multiplikation (Malrechnen).

Beispiel
10 : 2 = 5

Wie oft passt die 2 in die 10? Antwort: 5-mal.

Division – Begriffe

Die einzelnen Teile der Grundrechenarten haben alle eine eigene Bezeichnung. Das Zeichen für das Dividieren ist der Doppelpunkt (:). Dieser wird als Geteiltzeichen bezeichnet.

12 : 4 = 3

Das Geteiltzeichen steht zwischen den beiden Zahlen, die durcheinander geteilt werden. Hinter der zweiten Zahl steht das Gleichheitszeichen. Rechts vom Gleichheitszeichen schreibst du das Ergebnis.
Die erste Zahl heißt Dividend. Der Dividend steht vor dem Geteiltzeichen. In diesem Beispiel ist die 12 der Dividend.
Die zweite Zahl heißt Divisor. Der Divisor steht hinter dem Geteiltzeichen. In diesem Beispiel ist die 4 der Divisor.
Das Ergebnis der Division heißt Quotient oder Wert des Quotienten. In diesem Beispiel ist 3 der Wert des Quotienten.

\text{Dividend} : \text{Divisor} = \text{Quotient}

Der Quotient beantwortet bei der Division also die Frage, wie oft der Divisor in den Dividenden passt.

Dividieren mit Rest

Kommt bei Divisionsaufgaben ein Ergebnis ohne Rest heraus, dann ist der Divisor ein Teiler des Dividenden.

Beispiel: Die Teiler von 6 sind 6, 3, 2 und 1.

6 : 6 = 1
6: 3 = 2
6 : 2 = 3
6 : 1 = 6

Manchmal bleibt bei der Division ein Rest übrig. Das passiert, wenn der Divisor kein Teiler des Dividenden ist.

Beispiel: 6 : 4 = 1 ~ \text{Rest} ~ 2

Die 4 passt einmal in die 6. Dabei bleiben 2 übrig. Die 2 wird Rest genannt.

Division – Rechengesetze

Die folgenden Regeln müssen bei der Division beachtet werden:

Die Null
Teilst du die Null durch eine andere Zahl, ist das Ergebnis immer null.
Beispiel: 0 : 4 = 0

Du darfst nicht durch null teilen. Das Ergebnis ist dann nicht definiert.
Beispiel: 4 : 0 = \text{n. d.}

Vertauschen
Dividend und Divisor dürfen nicht vertauscht werden. Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division.
Beispiel: 15 : 3 \neq 3 : 15

Klammern
Die Klammern bei einer Divisionsaufgabe dürfen nicht vertauscht werden. Das Assoziativgesetz gilt nicht für die Division.
Beispiel: (32 : 4) : 2 \neq 32 : (4 : 2)

Probe
Du kannst bei Divisionsaufgaben immer eine Probe machen. Dafür nutzt du die Umkehrrechnung. Multiplizierst du den Wert des Quotienten mit dem Divisor, dann muss der Dividend herauskommen. Ist das der Fall, dann hast du richtig gerechnet.
Bei der Division mit Rest multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Dazu addierst du den Rest.
Beispiel: 12:4 = 3 ~ \Leftrightarrow ~ 3 \cdot 4 = 12

Dividieren – Aufgaben

Beispiel 1: 20 : 4
Wie oft passt die 4 in die 20?
20 : 4 = 5
Probe: 5 \cdot 4 = 20

Beispiel 2: 60 : 6
Wie oft passt die 6 in die 60?
60 : 6 = 10
Probe: 10 \cdot 6 = 60

Beispiel 3: 25 : 4
Wie oft passt die 4 in die 25?
25: 4 = 6 Rest 1
Die 4 passt 6-mal in die 25. Dabei bleibt ein Rest von 1 übrig.
Probe: 6 \cdot 4 + 1 = 24 + 1 = 25

Halb schriftliches Dividieren

Bei der Division mit größeren Zahlen kann es einfacher sein, die Aufgabe mithilfe von Teilaufgaben zu lösen. Bei der halb schriftlichen Division kannst du den Dividenden aufteilen und einzeln durch den Divisor teilen. Die Teilergebnisse addierst du im Anschluss.

Beispiel
225 : 5

Du kannst die 225 in ihre Hunderter, Zehner und Einer aufteilen. Dann teilst du alle einzeln durch die 5.

halbschriftliches dividieren

Quelle sofatutor.com

Die Ergebnisse der drei Teilaufgaben addierst du im Anschluss:

40 + 4 + 1 = 45

\Rightarrow 225 : 5 = 45

Kommt bei einer der Teilaufgaben ein Rest heraus, dann wird dieser an das Endergebnis angehängt.

Schriftliches Dividieren – einfach erklärt

Die schriftliche Division hilft dir bei der Division von großen Zahlen. Die Vorgehensweise wird im Folgenden anhand von Beispielen erklärt.

Schriftliches Dividieren mit Einerzahlen

Betrachte zunächst die folgende Aufgabe. Der Divisor ist dabei eine Einerzahl.

704 : 4

Im ersten Schritt teilst du die erste Ziffer des Dividenden durch den Divisor. Das Ergebnis dieser Division schreibst du ohne Rest hinter das Gleichheitszeichen. In diesem Beispiel schaust du also, wie oft die 4 in die 7 passt. Das Ergebnis 1 schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.

Im zweiten Schritt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreibst du unter die erste Stelle des Dividenden und ziehst darunter einen Strich. In diesem Beispiel multiplizierst du 1 \cdot 4 = 4 und schreibst die 4 unter die 7 des Dividenden.

Im dritten Schritt subtrahierst du das Produkt von der ersten Stelle des Dividenden. Die Differenz schreibst du unter den Strich. Du ziehst in diesem Beispiel also die 4 von der 7 ab. Die Differenz 3 schreibst du unter den Strich.

Im vierten Schritt ziehst du die nächste Stelle des Dividenden nach unten. Du schreibst sie neben die Differenz aus dem vorherigen Schritt. In diesem Beispiel ziehst du die 0 herunter und schreibst sie rechts neben die 3.

schriftlich dividieren

Dann beginnst du wieder mit dem ersten Schritt. Überlege, wie oft die 4 in die 30 passt. Die 4 passt 7-mal in die 30. Die 7 schreibst du hinter die 1 im Ergebnis.
Dann multiplizierst du 7 und 4. Das Ergebnis, 28, schreibst du unter die 30. Nun subtrahierst du 28 von 30. Das Ergebnis 2 schreibst du unter die Einerstelle der 28. Im letzten Schritt ziehst du die nächste Zahl des Divisors nach unten neben die 2. Du erhältst die Zahl 24.
Dann beginnst du wieder von vorne. Du schaust, wie oft die 4 in die 24 passt. 24: 4 = 6. Die 6 schreibst du hinter die 17 im Ergebnis. Dann multiplizierst du 6 mit 4 und erhältst 24. Die schreibst du unter die andere 24. Die Differenz ist 0. Es bleibt also kein Rest übrig.

schriftliche division

Das Ergebnis dieser Divisionsaufgabe ist also 176.

Schriftliches Dividieren durch mehrstellige Zahlen

Doch was passiert, wenn der Divisor ebenfalls mehrere Stellen besitzt? Betrachte dafür das folgende Beispiel:

4860 : 30

Da du durch eine zweistellige Zahl teilst, betrachtest du gleich die ersten beiden Stellen des Dividenden.

Im ersten Schritt teilst du also die ersten beiden Ziffern des Dividenden durch den Divisor. Das Ergebnis schreibst du ohne Rest hinter das Gleichheitszeichen. In diesem Beispiel schaust du, wie oft die 30 in die 48 passt. Das Ergebnis 1 schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&1\\ \end{array}

Im zweiten Schritt multiplizierst du das Ergebnis mit dem Divisor. Das Produkt schreibst du unter die ersten beiden Stellen des Dividenden und ziehst darunter einen Strich. In diesem Beispiel multiplizierst du 1 \cdot 30 = 30 und schreibst die 30 unter die 48 des Dividenden.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&1\\ &3&0&&&&&&\\ \end{array}

Im dritten Schritt subtrahierst du die beiden untereinander stehenden Zahlen voneinander. Die Differenz schreibst du unter den Strich. Du ziehst in diesem Beispiel also die 30 von der 48 ab. Die Differenz 18 schreibst du unter den Strich.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&1\\ -&3&0&&&&&&\\ \cline{2-3} &1&8&&&&&&\\ \end{array}

Im vierten Schritt ziehst du die nächste Stelle des Dividenden herunter. Du schreibst sie neben die Differenz aus dem vorherigen Schritt. In diesem Beispiel ziehst du die 6 herunter und schreibst sie rechts neben die 18.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&1\\ -&3&0&&&&&&\\ \cline{2-3} &1&8&6&&&&&\\ \end{array}

Dann beginnst du wieder von vorne. Du fragst dich, wie oft die 30 in die 186 passt. Die Antwort 6 schreibst du neben die 1 ins Ergebnis. Nun multiplizierst du die 6 mit der 30 und schreibst das Ergebnis 180 unter die 186. Dann bildest du die Differenz.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&16\\ -&3&0&&&&&&\\ \cline{2-3} &1&8&6&&&&&\\ -&1&8&0&&&&&\\ \cline{2-4} &&&6&&&&&\\ \end{array}

Im Anschluss ziehst du die nächste Ziffer herunter. Du erhältst die Zahl 60. 60 : 30 = 2. Die 2 schreibst du rechts neben die 16 ins Ergebnis.
Dann multiplizierst du die 2 mit 30 und erhältst 60. Du schreibst die 60 unter die andere 60. Ziehst du das voneinander ab, erhältst du 0. Es bleibt also kein Rest übrig.

\begin{array}{ccccccccc} &4&8&6&0&:&30&=&162\\ -&3&0&&&&&&\\ \cline{2-3} &1&8&6&&&&&\\ -&1&8&0&&&&&\\ \cline{2-4} &&&6&0&&&&\\ &&-&6&0&&&&\\ \cline{4-5} &&&&0&&&&\\ \end{array}

\Rightarrow 4860 : 30 = 162

Schriftliches Dividieren mit Rest

Die folgende Aufgabe soll schriftlich gelöst werden:
432 : 5

Im ersten Schritt fällt auf, dass sich die erste Ziffer des Dividenden nicht durch 5 teilen lässt. Ist das der Fall, dann nimmst du die zweite Ziffer hinzu. Du teilst also 43 durch 5. Im Anschluss gehst du wie bei der normalen schriftlichen Division vor:

\begin{array}{cccccccc} &4&3&2&:&5&=&86~\text{Rest}~2\\ -&4&0&&&&&\\ \cline{2-3} &&3&2&&&& \\ &-&3&0&&&&\\ \cline{3-4} &&&2&&&&\\ \end{array}

Am Ende bleibt die 2 unten stehen. Es lässt sich keine weitere Zahl herunterziehen. Ist das der Fall, dann handelt es sich um eine Division mit Rest. Der Rest wird einfach hinter das Ergebnis geschrieben:
432 : 5 = 86~\text{Rest}~2

Schriftliches Dividieren – Überschlag

Bei großen Zahlen kann es helfen, einen Überschlag vor dem schriftlichen Dividieren zu machen. Dabei schätzt du das Ergebnis ab. So bekommst du eine ungefähre Vorstellung, wie groß das Ergebnis ist. Dafür rundest du den Divisor oder den Dividenden.

Beispiel: 416 : 4

416 \approx 400

Den Überschlag berechnest du dann mit dem gerundeten Wert:
400 : 4 = 100

Das Ergebnis beträgt rund 100. Berechnest du die Aufgabe nun schriftlich, dann erhältst du:
416 : 4 = 104

Schriftliches Dividieren – Aufgaben

Löse die folgenden Aufgaben mit der schriftlichen Division:

  1. 1\,645 : 7
  2. 137 : 4

Lösung Aufgabe 1

\begin{array}{ccccccccc} &1&6&4&5&:&7&=&235\\ -&1&4&&&&&&\\ \cline{2-3} &&2&4&&&&& \\ &-&2&1&&&&&\\ \cline{3-4} &&&3&5&&&&\\ &&-&3&5&&&&\\ \cline{4-5} &&&&0&&&&\\ \end{array}

Lösung Aufgabe 2

\begin{array}{cccccccc} &1&3&7&:&4&=&34~\text{Rest}~1\\ -&1&2&&&&&\\ \cline{2-3} &&1&7&&&& \\ &-&1&6&&&&\\ \cline{3-4} &&&1&&&&\\ \end{array}

Schriftliches Dividieren mit Komma

Auch Kommazahlen (Dezimalzahlen) kannst du schriftlich dividieren. Du musst beachten, dass du das Komma im Ergebnis an die richtige Stelle setzt. Die Vorgehensweise wird am folgenden Beispiel erklärt:

12,\!10 : 11

Du beginnst bei diesem Beispiel wie bei der normalen schriftlichen Division. Du fragst dich: Wie oft passt die 11 in die 12? Die Antwort 1 schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.
Dann multiplizierst du die 1 mit der 11 und schreibst das Ergebnis unter die 12. Darunter ziehst du einen Strich und subtrahierst die 11 von der 12. Die Differenz 1 schreibst du unter den Strich.

Ziehst du nun die nächste Zahl herunter, dann überschreitest du das Komma. An dieser Stelle musst du das Komma im Ergebnis setzen. Du schreibst im Ergebnis rechts neben die 1 das Komma. Im Anschluss ziehst du die erste Nachkommastelle des Dividenden nach unten.

schriftliche division von dezimalzahlen

Du rechnest 11: 11 = 1 und schreibst die 1 im Ergebnis rechts neben das Komma. Nun gehst du wie bei der normalen schriftlichen Division vor. Das Ergebnis der Beispielaufgabe ist:

12,\!10 : 11 = 1,\!10

Beispielaufgabe:
12,\!1 : 110

In dieser Aufgabe ist keine Division vor dem Komma möglich. Du schreibst also eine 0 vor dem Komma im Ergebnis. Dann gehst du wie oben erklärt schrittweise vor.

Schriftliche Division von Kommazahlen

Die 110 lässt sich durch 110 teilen. Du ergänzt also eine weitere 1 im Ergebnis.

\Rightarrow 12,\!1 : 110 = 0,\!11

Ist der Divisor eine Kommazahl, musst du vor der schriftlichen Division Dividend und Divisor so oft mit 10 multiplizieren, bis der Divisor keine Nachkommastellen hat. Dann kannst du wie gewohnt schriftlich dividieren.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dividieren

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Bei der Division teilt man eine Zahl durch eine andere Zahl.

Beim Dividieren schaust du, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl hineinpasst.

Die Division wird auch Geteiltrechnen genannt.

Die Zahl vor dem Geteiltzeichen (:) heißt Dividend. Die Zahl hinter dem Geteiltzeichen heißt Divisor. Das Ergebnis der Division ist der Quotient.

Das Ergebnis einer Division heißt Quotient.

Bei der halb schriftlichen Division zerlegst du die Aufgabe in Teilaufgaben, die sich leichter berechnen lassen. Dann berechnest du die Ergebnisse der Teilaufgaben. Am Ende addierst du die Ergebnisse der Teilaufgaben und erhältst das Endergebnis.

Bei der schriftlichen Division gehst du schrittweise vor. Du betrachtest zunächst die erste oder die ersten Ziffern des Dividenden und teilst diese durch den Divisor. Schrittweise ziehst du dann immer weitere Ziffern hinzu.

Bei der schriftlichen Division teilst du den Dividenden stellenweise von vorne nach hinten durch den Divisor.

Zunächst gehst du wie bei der normalen schriftlichen Division vor. Bleibt am Ende eine Zahl übrig, die sich nicht mehr durch den Divisor teilen lässt, dann wird diese als Rest hinter das Ergebnis geschrieben.

Wird die Null durch eine ganze Zahl geteilt, ist das Ergebnis immer null. Es darf jedoch nicht durch null geteilt werden. Auch dürfen Dividend und Divisor nicht getauscht werden. Bei einer Division mit Klammern, müssen diese zudem unverändert bleiben.

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