Baumdiagramm – Wahrscheinlichkeiten, Pfadregeln und Anwendungen

Baumdiagramme sind grafische Darstellungen für mehrstufige Zufallsversuche. Sie helfen, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und verschiedene Ausgänge zu analysieren. Entdecke, wie man Baumdiagramme erstellt, die Pfadregeln nutzt und typische Anwendungen in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Baumdiagramm

Wozu werden Baumdiagramme hauptsächlich verwendet?

Frage 1 von 5

Wie sind die Knoten in einem Baumdiagramm angeordnet?

Frage 2 von 5

Was beschriftet man an den Ästen eines Wahrscheinlichkeitsbaums?

Frage 3 von 5

Welche Regel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Pfads zu berechnen?

Frage 4 von 5

Wie ändern sich die Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment ohne Zurücklegen?

Frage 5 von 5

Baumdiagramme im Überblick

  • Baumdiagramme dienen dazu, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen oder die Anzahl der möglichen Ausgänge bei einem Zufallsversuch zu ermitteln.

  • Ein Baumdiagramm wird erstellt, indem die möglichen Verzweigungen in jeder Stufe des Experiments ergänzt werden.

  • Über die Pfadregeln lassen sich aus einem beschrifteten Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen.

  • Baumdiagramme eignen sich besonders zur Darstellung von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen.

  • Ein Baumdiagramm kann je nach Fragestellung umgekehrt oder verkürzt werden.

Baumdiagramm: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Baumdiagramm – Definition

In der Mathematik werden Baumdiagramme im Bereich der Stochastik verwendet. Sie werden genutzt, um mehrstufige Zufallsversuche zu veranschaulichen.  

Ein Baumdiagramm ist eine grafische Darstellung, die aus einem Startpunkt (Wurzel), Ästen und Knoten besteht. Die Knoten sind dabei in mehreren Stufen angeordnet, die den Stufen des Zufallsversuchs entsprechen. Die Äste verbinden die Knoten der Stufen miteinander. Die Knoten in der letzten Stufe des Baums sind dabei die Endpunkte der Pfade, auf denen der Baum durchlaufen werden kann.

Baumdiagramm erstellen

Um ein Baumdiagramm zu zeichnen, muss zunächst geklärt werden, welche Stufen der Baum hat. Wenn wir beispielsweise eine Münze zweimal werfen, dann hat das Baumdiagramm zu diesem zweistufigen Zufallsversuch die folgenden zwei Stufen: 

  • Ergebnis des ersten Wurfs
  • Ergebnis des zweiten Wurfs

Ausgehend vom Startpunkt haben wir für den ersten Wurf zwei Möglichkeiten: Kopf oder Zahl. Beim zweiten Wurf haben wir in beiden Fällen wieder beide Möglichkeiten, es erfolgt also in der zweiten Stufe jeweils eine weitere Verzweigung mit je zwei Ästen.

Beispiel Münzwurf

Nach diesem Prinzip kannst du das Baumdiagramm zu jedem mehrstufigen Zufallsversuch Stufe für Stufe aufbauen: Überlege stets, welche Möglichkeiten es im nächsten Schritt des Versuchs gibt.

Baumdiagramme in der Kombinatorik

Die Kombinatorik beschäftigt sich damit, wie viele Möglichkeiten es gibt, verschiedene Dinge zu kombinieren. Dabei kann ein Baumdiagramm zur besseren Vorstellung helfen, da jeder Pfad einem möglichen zusammengesetzten Ergebnis entspricht. Die Anzahl der Möglichkeiten entspricht somit der Anzahl der Pfade, die du in der letzten Stufe des Baumdiagramms abzählen kannst.

Baumdiagramme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wenn ein Baumdiagramm zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten genutzt wird, ist es hilfreich, die Äste im Baumdiagramm zu beschriften. Dabei wird an jedem Ast die Wahrscheinlichkeit notiert, mit der das Ereignis der nächsten Stufe eintritt. Wir sprechen dann auch von einem Wahrscheinlichkeitsbaum.
Bei dem Baumdiagramm zum zweifachen Münzwurf oben können wir beispielsweise jeden Ast mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{2} beschriften.

Baumdiagramme – Pfadregeln

Es gibt zwei Pfadregeln, über die aus einem beschrifteten Baumdiagramm verschiedene Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können:

  • Produktregel (auch Pfadregel oder 1. Pfadregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads (Elementarereignis) entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads.
Zum Beispiel ergibt sich beim zweifachen Münzwurf:
P(\text{zweimal Zahl}) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}

  • Summenregel (auch Additionsregel oder 2. Pfadregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines (zusammengesetzten) Ereignisses entspricht der Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.
Zum Beispiel ergibt sich beim zweifachen Münzwurf:
\begin{array}{rccccl} P(\text{zweimal gleiches Ergebnis}) = & P(\text{zweimal Zahl}) & + P(\text{zweimal Kopf}) & = & \\ & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} & + & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} & = & \\ & \dfrac{1}{4} & + & \dfrac{1}{4} & = & \dfrac{1}{2} \end{array}

Baumdiagramm – typische Beispiele und Fragestellungen

Baumdiagramme sind ein praktisches Hilfsmittel bei der Betrachtung von mehrstufigen Zufallsexperimenten und ihren Wahrscheinlichkeiten. Wir betrachten nun noch ein paar typische Beispiele und Fragestellungen zu Baumdiagrammen.

Baumdiagramme mit Zurücklegen

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment mit Zurücklegen bleibt die Ausgangssituation in jeder Stufe unverändert. Daher ändern sich die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Äste nicht.

Baumdiagramm Würfel

Beim mehrfachen Würfeln entspricht jede Stufe im Baumdiagramm einem Wurf mit den möglichen Ergebnissen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6}. Wird mit mehreren Würfeln gewürfelt, entsprechen die Stufen den Ergebnissen der verschiedenen Würfel, das Baumdiagramm ist identisch. So können beispielsweise mit einem zweistufigen Baumdiagramm alle Wahrscheinlichkeiten für zwei Würfel berechnet werden.

Baumdiagramm Münzwurf

Beim Münzwurf verhält es sich ähnlich wie beim Würfeln. Hier gibt es jedoch auf jeder Stufe nur zwei Möglichkeiten, deren Wahrscheinlichkeit jeweils \frac{1}{2} beträgt.

Baumdiagramm Glücksrad

Auch das Drehen an einem Glücksrad entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen, da sich die Aufteilung des Glücksrads in Sektoren über die Drehungen hinweg nicht verändert. Die Anzahl der Verzweigungen und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten hängen von der Ausgestaltung des Rads ab. Die Wahrscheinlichkeit eines Sektors kann über seinen Mittelpunktswinkel \varphi mit der Formel \frac{\varphi}{360^\circ} ermittelt werden.

Baumdiagramme ohne Zurücklegen

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ohne Zurücklegen ist die Ausgangssituation in jeder Stufe davon abhängig, was bereits gezogen wurde. Da sich die Zusammensetzung stetig ändert, variieren auch die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen des Baumdiagramms.

Baumdiagramm Urne

Das Ziehen aus einer Urne kann mit oder ohne Zurücklegen erfolgen. Werden die gezogenen Objekte nicht wieder zurückgelegt, ändert dies die Zusammensetzung für den nächsten Zug. Hier siehst du ein Beispiel für das Ziehen von Teebeuteln, bei dem sich zu Beginn zwei Beutel Mangotee und drei Beutel Kräutertee in einer Urne befinden. Dies entspricht in der Wahrscheinlichkeitsrechnung einem Baumdiagramm zum Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen.

Hier kannst du mithilfe der Pfadregeln beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass du jede Teesorte einmal gezogen hast:
\dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{5}

Baumdiagramm und Vierfeldertafel

Die Informationen einer Vierfeldertafel können wir auch in einem Baumdiagramm darstellen. Dabei bezieht sich jede Stufe des Baums auf eines der in der Vierfeldertafel betrachteten Ereignisse A und B. In der ersten Stufe des Baumdiagramms wird zwischen A und \bar{A} unterschieden. In der zweiten Stufe erfolgt dann jeweils eine Verzweigung zu B und \bar{B}. Die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen zur zweiten Stufe sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten von B und \bar{B} jeweils unter der Bedingung A und \bar{A}. Sie können aus den Schnittwahrscheinlichkeiten und den Wahrscheinlichkeiten von A und \bar{A}, die der Vierfeldertafel entnommen werden können, berechnet werden. Es entsteht ein zweistufiges Baumdiagramm mit insgesamt vier Pfaden. Dabei tauchen die vier Schnittwahrscheinlichkeiten aus der Vierfeldertafel am Ende der vier Pfade des Baumdiagramms als Pfadwahrscheinlichkeiten auf.

Verkürztes Baumdiagramm

Je nach Fragestellung kann ein Baumdiagramm verkürzt werden. Dazu können nicht relevante Teile ganz weggelassen oder mehrere Ereignisse zusammengefasst werden. Beispielsweise kann es ausreichend sein, beim Würfeln nur die Ergebnisse gerade und ungerade oder 6 und nicht 6 anstelle von 1, 2, 3, 4, 5 und 6 zu unterscheiden.

Baumdiagramm umkehren

Für manche Fragestellungen ist es nötig, ein Baumdiagramm umzukehren. Darunter wird das Vertauschen der ersten und zweiten Stufe eines zweistufigen Baumdiagramms verstanden.

Die Wahrscheinlichkeiten am Ende der Pfade bleiben dabei unverändert. Um die Wahrscheinlichkeiten entlang der Äste zu bestimmen, werden die Pfadregeln benötigt. Damit können zunächst aus dem alten Baum die Wahrscheinlichkeiten für die erste Stufe des umgekehrten Diagramms berechnet werden. Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Stufe ergeben sich dann durch ein Umstellen der Formel der Pfadwahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Baumdiagramme und Pfadregeln

Baumdiagramm einfach erklärt: Ein Baumdiagramm ist eine grafische Veranschaulichung eines mehrstufigen Zufallsversuchs.

In einem Baumdiagramm kann in jeder Stufe zwischen den möglichen Ereignissen unterschieden werden. Dabei entspricht ein Pfad, entlang dessen der Baum durchlaufen wird, einem konkreten Ergebnis.

Bei einem Baumdiagramm gehen vom Startpunkt (Wurzel) mehrere Äste aus, am Ende jedes Asts liegt ein Knoten, der für ein Ereignis steht. Von jedem Knoten können erneut mehrere Äste ausgehen, an deren Enden wiederum Knoten sitzen.

Du kannst ein Baumdiagramm Stufe für Stufe zeichnen. Dazu überlegst du dir jeweils, welche Ereignisse auf der Stufe vorkommen können, und fügst alle diese Möglichkeiten als Knoten der nächsten Stufe hinzu.

Ein Baumdiagramm besteht aus Ästen, die die Knoten der einzelnen Stufen miteinander verbinden. Dabei sitzt am Ende jedes Asts genau ein Knoten. Von jedem Knoten können beliebig viele neue Äste zu Knoten der nächsten Stufe ausgehen.

Ein Pfad in einem Baumdiagramm beginnt im Startpunkt (Wurzel) und durchläuft von dort entlang der Äste alle Stufen des Baums.

Mithilfe eines Baumdiagramms können wir sowohl die Anzahl an Möglichkeiten als auch die Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsversuch berechnen. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten nutzen wir die Pfadregeln.

Baumdiagramme eignen sich zur Veranschaulichung von mehrstufigen Zufallsexperimenten mit und ohne Zurücklegen. Auch bei Aufgaben zu bedingten Wahrscheinlichkeiten kann ein Baumdiagramm hilfreich sein.
Baumdiagramme werden meistens in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet, eine Erklärung findest du unter Baumdiagramme in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

In einem Baumdiagramm gelten für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen die Produktregel (auch Pfadregel oder 1. Pfadregel) und die Summenregel (auch Additionsregel oder 2. Pfadregel).

Um die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad zu berechnen, werden alle Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads multipliziert (Pfadregel).

Der Name Baumdiagramm kommt daher, dass die Struktur des Diagramms mit den sich weiter verzweigenden Ästen einer Baumkrone ähnlich ist.

Ein Baumdiagramm hat in der Regel zumindest zwei Stufen. Nach oben ist die Anzahl der Stufen unbegrenzt, sie entspricht der Anzahl der Durchführungen des dargestellten Zufallsversuchs.

Der Zusammenhang aus einer Vierfeldertafel kann stets auch in einem zweistufigen Baumdiagramm dargestellt werden. Dabei enthält die Vierfeldertafel die Schnittwahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse, die am Ende der Pfade stehen.

Die zwei Pfadregeln sind Rechenvorschriften, über die aus einem beschrifteten Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnet werden können.

Die Summenregel (auch Additionsregel oder 2. Pfadregel) besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade entspricht, die zu dem Ereignis gehören.

Die 2. Pfadregel (auch Summenregel) wird genutzt, um die Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse zu bestimmen. Sie besagt, dass die Pfade, die zu einem Ergebnis gehören, addiert werden können.

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