Die Scheitelpunktform bei Parabeln – Definition, Erklärung und Beispiele

Die Scheitelpunktform ist eine wichtige Schreibweise für quadratische Funktionen. Sie ermöglicht das direkte Ablesen des Scheitelpunkts einer Parabel. Erfahre, wie die Formeln ineinander umgewandelt werden können und welche Vorteile die Scheitelpunktform bietet. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Scheitelpunktform

Scheitelpunktform im Überblick

  • Die Scheitelpunktform ist eine besondere Schreibweise für die Funktionsgleichung quadratischer Funktionen.

  • Aus der Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt einer Parabel direkt abgelesen werden, daher kommt auch ihr Name.

  • Andere Darstellungsformen für quadratische Funktionen sind die allgemeine Form oder die faktorisierte Form.

Scheitelpunktform: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion einfach erklärt

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 2, das heißt, der höchste Exponent der Variable x, der in der Funktionsgleichung auftaucht, ist 2. In der allgemeinen Form hat eine quadratische Funktion die Form
f(x) = ax^2 + bx +c, a\neq0.
Wenn a=1 ist, wird auch von der Normalform gesprochen.

Die Scheitelpunktform ist eine andere Darstellungsform für die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, die durch Termumformungen aus der allgemeinen Form entstehen kann bzw. in die allgemeine Form umgewandelt werden kann. Sie lautet:
f(x) = a\cdot (x-d)^2+e

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion beschreibt eine Parabel. Der Scheitelpunkt einer nach oben (nach unten) geöffneten Parabel ist ihr tiefster (höchster) Punkt. Die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel lassen sich direkt aus der Scheitelpunktform bestimmen, daher kommt auch ihr Name:
f(x) = a\cdot (x-d)^2+e \quad \Rightarrow \quad \text{Scheitelpunkt: } S(d|e)

Andersherum lässt sich aus einem gegebenen Scheitelpunkt auch die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen, indem die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Formel der Scheitelpunktform eingesetzt werden. Der Streck- oder Stauchfaktor a muss zusätzlich bestimmt werden.

Der Scheitelpunkt ist nicht nur der höchste (tiefste) Punkt einer Parabel, durch ihn verläuft auch die Symmetrieachse.

Beispiele:

  • Die Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x^2 = (x - 0)^2 + 0 hat den Scheitelpunkt S(0|0).
  • Die Funktion f mit f(x) = (x + 1)^2 -2 = (x-(-1))^2-2 hat den Scheitelpunkt S(-1|-2).
Scheitelpunkt einer Parabel

Scheitelpunktform und allgemeine Form ineinander umwandeln

Mit Termumformungen lassen sich die verschiedenen Formen der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ineinander umformen.

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Bei der Umformung von der Scheitelform in die allgemeine Form muss die Klammer mithilfe der binomischen Formel aufgelöst und dann die Terme zusammengefasst werden.
Dies schauen wir uns am Beispiel der Funktion f(x) = (x+1)^2 -2 an:

\begin{array}{rcll} f(x) & = & (x+1)^2 - 2 & | \text{ binomische Formel} \\ & = & x^2+2x+1-2 & | \text{ zusammenfassen} \\ & = &x^2 + 2 x -1& \end{array}

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Für die Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform wird im Grunde rückwärts vorgegangen: Mithilfe der quadratischen Ergänzung wird der Term so umgeformt, dass eine binomische Formel angewendet werden kann.
Auch dies schauen wir uns an zwei Beispielen an, zunächst beginnen wir mit einer Funktion, die in Normalform vorliegt, und bringen diese in Scheitelpunktform.

\begin{array}{rcll} f(x) & = & x^2 + 2x - 1 & | \text{ mit }+1^2-1^2\text{ quadratisch ergänzen}\\ &=& x^2+2x + 1 - 1 - 1 & | \text{ binomische Formel anwenden}\\ &=&(x+1)^2 - 1 - 1 & | \text{ zusammenfassen}\\ & = & (x+1)^2 - 2 \end{array}

Im zweiten Beispiel möchten wir die Scheitelpunktform zu der Funktion f(x) = 3x^2-12x + 8 aufstellen. Hier ist der Koeffizient vor x^2 nicht 1 und wir müssen diesen deswegen zuerst ausklammern:

\begin{array}{rcll} f(x) & = & 3x^2-12x + 8 & | \text{ Faktor }3\text{ teilweise ausklammern}\\ & = & 3(x^2 -4x) + 8& | \text{ mit }+2^2-2^2\text{ in der Klammer quadratisch ergänzen}\\ &=& 3(x^2 -4x +4 - 4) + 8 & | \text{ binomische Formel anwenden}\\ &=& 3((x-2)^2 - 4) + 8& | \text{ ausmultiplizieren} \\ & = & 3(x-2)^2 - 3\cdot 4 + 8 & | \text{ zusammenfassen}\\ & = & 3(x-2)^2 - 4 \end{array}

Vorteile der Scheitelpunktform

Aus der Scheitelpunktform können nicht nur Koordinaten des Scheitelpunkts berechnet werden, es lassen sich auch anhand der Parameter a, d und e Eigenschaften des Verlaufs der Parabel erkennen.
In der Tabelle sind Eigenschaften der Funktion mit der Gleichung f(x) = a\dot (x-d)^2+e zusammengefasst. Bei den Beispielen ist der grüne Funktionsgraph jeweils der Graph der Normalparabel f(x) = x^2 mit Scheitelpunkt S(0|0).

Parameter Eigenschaften Beispiel
Streckfaktor a\neq 0
  • |a| >1: Parabel wird gestreckt.
  • |a| < 1: Parabel wird gestaucht.
  • a < 0: Parabel ist nach unten geöffnet.
 Die rote Parabel hat den Funktionsterm {f(x) = 0{,}5x^2}, d. h. a=0{,}5, und ist breiter als die grüne Normalparabel.

Stauchung der Normalparabel
d: Verschiebung in Richtung der x-Achse
  • d>0: Verschiebung nach rechts
  • d<0: Verschiebung nach links
  • d=0: Scheitelpunkt liegt auf der y-Achse.
 Die gelbe Parabel hat den Funktionsterm {f(x) = (x-2)^2}, d. h. d=2, und ist gegenüber der grünen Normalparabel um 2 Einheiten nach rechts verschoben. Der Scheitelpunkt ist S(2|0).

Verschiebung der Normalparabel entlang der x-Achse
e: Verschiebung in Richtung der y-Achse
  • e>0: Verschiebung nach oben
  • e<0: Verschiebung nach unten
  • e=0: Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
 Die blaue Parabel hat den Funktionsterm f{(x) = x^2-2}, d. h. e=-2, und ist gegenüber der grünen Normalparabel um 2 Einheiten nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt ist S(0|-2).

Verschiebung der Normalparabel entlang der y-Achse

Beispiel
Wir schauen uns nun noch ein Beispiel an, in dem die verschiedenen Eigenschaften kombiniert sind. Wir betrachten die quadratische Funktion f, die in Scheitelpunktform vorliegt: {f(x) (x-1)^2 + 2}
Da a=1, d=1 und e=2, ist der Graph gegenüber der Normalparabel um 1 Einheit nach rechts und um 2 Einheiten nach oben verschoben, es liegt keine Streckung oder Stauchung vor, die Öffnung ist genau wie bei der Normalparabel. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|2). Der Graph der Funktion f ist im folgenden Bild in Blau eingezeichnet, die Normalparabel in Grün.

Parabel Scheitelpunktform

Häufig gestellte Fragen zum Thema Scheitelpunktform

Der Scheitelpunkt ist der tiefste (höchste) Punkt einer nach oben (nach unten) geöffneten Parabel.

Liegt die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in der Scheitelpunktform vor oder lässt sich einfach in die Form umformen, kann der Scheitelpunkt der Kurve direkt daraus abgelesen werden. Da der Scheitelpunkt gleichzeitig der Extrempunkt der Parabel ist, kann man den Scheitelpunkt auch mithilfe der Extrempunktbestimmung berechnen.

Der Scheitelpunkt ist der tiefste (höchste) Punkt einer nach oben (nach unten) geöffneten Parabel.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion hat die Formel: f(x) = a\cdot (x-d)^2+e

Die Scheitelpunktform lässt sich aus der allgemeinen Form durch quadratische Ergänzung bestimmen.

Nein, der Scheitelpunkt ist ein besonderer Punkt einer Parabel. Schnittpunkte gibt es in vielen verschiedenen mathematischen Kontexten, beispielsweise lassen sich Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen bestimmen.

Liegt die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform vor, lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunkts daraus ablesen:
f(x) = a\cdot (x-d)^2+e \quad \Rightarrow \quad \text{Scheitelpunkt: } S(d|e)

Die Normalform einer quadratischen Funktion hat die Form f(x) = x^2 + bx + c, die Scheitelpunktform hat die Form f(x) = a\cdot (x-d)^2+e. Es sind unterschiedliche Darstellungen einer Funktionsgleichung, beschreiben aber dieselbe Funktion.

Es gibt keinen Unterschied, Scheitelform ist lediglich eine verkürzte Bezeichnung der Scheitelpunktform.

Die Scheitelpunktform ist eine bestimmte Darstellung der Funktionsgleichung einer quadratischen Gleichung, zum Beispiel ist die Funktionsgleichung f(x) = (x-5)^2 + 3 in Scheitelpunktform.

Die Scheitelpunktform oder kurz Scheitelform einer Parabel hat die Form f(x) = a\cdot (x-d)^2+e.

Je nachdem welche Informationen über die quadratische Funktion aus der Funktionsgleichung gewonnen werden sollen, kann die Scheitelpunktform oder die Normalform hilfreich sein. Sollen Nullstellen mithilfe der pq-Formel bestimmt werden, dann sollte die Funktionsgleichung in der Normalform vorliegen. Möchte man den Scheitelpunkt herausfinden oder Informationen über die Lage der Parabel im Koordinatensystem ablesen, ist die Scheitelpunktform von Vorteil.

Aus der Scheitelpunktform f(x) = a\cdot (x-d)^2+e lässt sich der Scheitelpunkt S(d|e) ablesen. Daraus lässt sich auch etwas über die Lage im Koordinatensystem erschließen. Außerdem sagt der Parameter a etwas darüber aus, ob die Parabel gestreckt, gestaucht ist und in welche Richtung sie geöffnet ist.

Für die Umformung der Scheitelpunktform in die allgemeine Form multipliziert man die Klammer aus und fasst alle Terme mit der gleichen Potenz von x zusammen.

Super! Das Thema: kannst du schon! Teile deine Learnings und Fragen mit der Community!

Alle Artikel aus dem Fach Mathematik