Oberfläche und Volumen einer Kugel – Formeln und Beispiele

Erfahre, wie man das Volumen und die Oberfläche einer Kugel berechnet. Eine Kugel hat keine Kanten, nur eine Fläche – die Oberfläche. Lerne, wie man den Radius und Durchmesser nutzt, um beide zu bestimmen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Oberfläche und Volumen einer Kugel 

Oberfläche und Volumen einer Kugel im Überblick

  • Eine Kugel ist ein Körper, der durch einen festen Abstand r (Radius) zu einem Punkt M (Mittelpunkt) definiert ist.
  • Zur Berechnung der Oberfläche O und des Volumens V einer Kugel wird deren Radius r oder Durchmesser d benötigt.
  • Die Oberfläche lässt sich mithilfe folgender Formeln berechnen:
    {O = 4 \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2}

  • Die Formel für das Kugelvolumen lautet:
    {V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3}

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Kugel – Definition

Eine Kugel hat keine Kanten oder Ecken, sie ist ein runder geometrischer Körper und besitzt nur eine Fläche, die Oberfläche. Eine Murmel oder ein Ball sind Beispiele für Kugeln im Alltag. Stell dir vor, eine Kreisscheibe wird um den Durchmesser rotiert. Es entsteht ein dreidimensionaler Körper, eine Kugel mit einem Volumen V und einer Oberfläche O, wie hier in dem Bild als Schrägbild dargestellt.

Eine Kugel

Quelle sofatutor.com

Der Punkt ganz in der Mitte der Kugel wird Mittelpunkt M genannt. Von diesem Mittelpunkt aus haben alle Punkte auf der Oberfläche der Kugel den gleichen Abstand, der als Radius r bezeichnet wird. Wie auch beim Kreis ist der Durchmesser d einer Kugel die Länge einer Diagonale, die zwei Punkte auf der Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Der Durchmesser ist genau doppelt so lang wie der Radius:
d=2r

Kugel mit Durchmesser und Radius

Im Folgenden schauen wir uns einige Kugelberechnungen an.

Volumenberechnung einer Kugel

Da die Kugel ein Körper ist und somit drei Dimensionen hat, hat sie auch ein Volumen, das von der Oberfläche eingeschlossen wird. Diesen Kugelinhalt kannst du berechnen. Die Formel für das Kugelvolumen lautet:
V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3
Die Kreiszahl \pi = 3{,}14\dots ist eine Konstante mit unendlich vielen Nachkommastellen.
Da der Zusammenhang von Radius und Durchmesser bekannt ist (d=2r), kann das Volumen der Kugel auch mithilfe des Durchmessers berechnet werden. Dazu halbierst du zunächst den Durchmesser, um den Radius zu erhalten, und setzt diesen dann in obige Formel ein:
V = \frac{4}{3} \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^3

Beispiele – Berechnungen zum Kugelvolumen

Wir wollen nun einige Beispiele zur Anwendung der Formel für das Kugelvolumen betrachten.

Volumen einer Kugel bei gegebenem Durchmesser:
Wir berechnen das Volumen einer Kugel mit Durchmesser d = 10~ \text{cm}, indem wir den Durchmesser in die Formel für das Kugelvolumen einsetzen. Es ergibt sich ein Volumen von:
V= \frac{4}{3}\pi \cdot (10~\text{cm})^3 = \frac{4\,000 \pi}{3}~\text{cm}^3 \approx 4\,188{,}79 \text{cm}^3

Volumen einer Einheitskugel:
Eine Einheitskugel hat den Radius r = 1. Setzen wir diesen in die Formel für das Kugelvolumen ein, erhalten wir:
V= \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4 \pi}{3} \approx 4{,}19

Vom Volumen zum Radius und Durchmesser:
Ist bei bekanntem Kugelvolumen der Radius r oder der Durchmesser d gesucht, muss die Formel nach der gesuchten Größe umgestellt werden.
\begin{array}{rcll} V &=& \dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3 & \vert : \dfrac{4 \pi}{3}\\ \\ \dfrac{3V}{4\pi} &=& r^3 & \vert \sqrt[3]{\,} \\ \\ \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} &=& r \end{array}

\Rightarrow ~ r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}} und d = \sqrt[3]{\dfrac{6V}{\pi}}

Betrachten wir ein Beispiel:
Gegeben sei das Kugelvolumen 1 ~\text{m}^3. Berechne sowohl den Radius als auch den Durchmesser der Kugel.
Dazu nehmen wir die Formel, die wir soeben hergeleitet haben, und setzen das Volumen ein:

r = \sqrt[3]{\dfrac{3\cdot 1~ \text{m}^3}{4\pi}} \approx 0{,}62 ~\text{cm}

d = \sqrt[3]{\dfrac{6 \cdot 1 ~\text{cm}^3}{\pi}} \approx 1{,}24~\text{cm} = 2\cdot r

Oberflächenberechnung einer Kugel

Die Oberfläche O einer Kugel ist die Fläche, die als Begrenzung der Kugel berührt werden kann. Alle Punkte auf der Oberfläche haben den gleichen Abstand r vom Mittelpunkt.
Mithilfe des Radius r oder des Durchmessers d der Kugel kann die Oberfläche über folgende Formel berechnet werden:
O = 4 \pi \cdot r^2 = \pi \cdot d^2

Beispiele – Berechnungen zur Kugeloberfläche

Wir wollen nun einige Beispiele zur Anwendung der Formel für die Kugeloberfläche betrachten.

Oberfläche einer Kugel mit gegebenem Durchmesser:
Wir berechnen die Oberfläche einer Kugel mit Durchmesser d = 4 ~\text{cm}. Dazu nutzen wir den Zusammenhang: d =2r. Wir teilen also den Durchmesser durch 2, um den Radius zu erhalten:
r= \frac{d}{2} = \frac{4 ~\text{cm}}{2} = 2 ~\text{cm}

Den Radius setzen wir in die Formel für die Oberfläche ein:
O = 4 \pi \cdot r^2 = 4 \pi \cdot (2 ~\text{cm})^2 = 16 \pi~\text{cm}^2 \approx 50{,}27 ~ \text{cm}^2

Oberfläche einer Einheitskugel:
Gegeben ist der Radius r=1. Einsetzen in die Oberflächenformel liefert:
O = 4 \pi \cdot 1^2 \approx 12{,}57

Von der Oberfläche zum Radius und Durchmesser:
Du kannst auch von der Oberfläche O einer Kugel auf deren Radius r und Durchmesser d schließen. Dazu musst du die Oberflächenformel nach r oder d umstellen:
\begin{array}{rcll} O &=& 4 \pi \cdot r^2 & \vert : 4\pi\\ \\ \dfrac{O}{4\pi} &=& r^2 & \vert\\ \\ \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} &=& r \end{array}

\Rightarrow ~ r = \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} und d = \sqrt{\dfrac{O}{\pi}}

Betrachten wir ein Beispiel:
Gegeben ist die Kugeloberfläche O = 100~\text{cm}^2. Berechne den Radius der Kugel.
Einsetzen des Werts für die Oberfläche in die eben hergeleitete Formel ergibt:
r = \sqrt{\dfrac{100~\text{cm}^2}{4\pi}} \approx 2{,}82 ~ \text{cm}

Umfang einer Kugel

Die Erde ist annähernd eine Kugel. Umrundest du die Erde einmal entlang des Äquators, entspricht das genau dem Umfang der Kugel. Diesen Kugelumfang berechnest du mithilfe der Formel:
U = 2\pi\cdot r = \pi \cdot d

Hinweis: Wenn du eine Kugel durch den Mittelpunkt in zwei Hälften teilst, ist die Schnittfläche ein Kreis, der in Radius und Durchmesser mit der Kugel übereinstimmt. Der Kugelumfang entspricht genau dem Umfang des Schnittkreises.

Beispiel:
Gegeben ist der Radius r = 2~\text{cm}. Wir erhalten als Umfang der Kugel:
U = 2\pi\cdot r = 2\pi\cdot 2 ~\text{cm} \approx 12{,}57 ~\text{cm}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberfläche und Volumen einer Kugel 

Mit dem Radius r nutzt du folgende Formel, um das Kugelvolumen zu berechnen:
V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3

Je nachdem ob du den Radius r oder den Durchmesser d gegeben hast, nutzt du eine der folgenden Formeln:
O = 4 \pi \cdot r^2
O = \pi \cdot d^2

Die Kugel hat als geometrischer Körper eine Oberfläche, die das Kugelvolumen einschließt. Diese Oberfläche kannst du von außen anfassen.

Für das Kugelvolumen gilt:
V = \frac{4}{3} \pi \cdot r^3
Wird der Radius halbiert zu r_h = \frac{r}{2}, erhalten wir:
V_h = \frac{4}{3} \pi \cdot (\frac{r}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{r^3}{8} = \frac{1}{8} \cdot \left(\frac{4}{3} \pi \cdot r^3\right) = \frac{1}{8} V
Das Volumen einer Kugel mit halbiertem Radius entspricht also einem Achtel des Volumens der vorherigen Kugel.

Die Oberfläche einer Halbkugel besteht aus der Hälfte der vollen Kugeloberfläche und der kreisförmigen Schnittfläche. Die Formel für die volle Kugeloberfläche ist O = 4 \cdot \pi \cdot r^2. Die Hälfte davon ist also 2 \cdot \pi \cdot r^2. Hinzu kommt die Schnittfläche, die ein Kreis mit Radius r ist:
A_k = \pi \cdot r^2

Beides addiert ergibt die Oberfläche einer Halbkugel:
O_h = 2 \pi r^2 + \pi r^2 = 3 \pi r^2

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