Magisches Quadrat – Mathematik

Magische Quadrate sind Quadrate mit Zahlen, bei denen jede Zeile, Spalte und Diagonale die gleiche Summe haben. Erfahre, wie man magische Zahlen berechnet, Quadrate ausfüllt und ihre historische Bedeutung erforscht. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Magisches Quadrat

Das Quiz zum Thema: Magisches Quadrat

Was versteht man unter einem magischen Quadrat?

Frage 1 von 5

Wie wird die magische Zahl eines magischen Quadrats berechnet?

Frage 2 von 5

Was ist die Eigenschaft eines Magischen Quadrats?

Frage 3 von 5

Welche ist die richtige Vorgehensweise beim Ausfüllen eines magischen Quadrats?

Frage 4 von 5

Wer wird als Urheber des ältesten bekannten Magischen Quadrats genannt?

Frage 5 von 5

Magisches Quadrat im Überblick

  • Magische Quadrate sind Quadrate mit einer Seitenlänge n, die in n^2 Kästen unterteilt sind.

  • In den Kästchen stehen Zahlen, die so angeordnet sind, dass jede Zeile, jede Spalte und jede Diagonale die gleiche Summe hat.

  • Der Wert dieser Summe wird als magische Zahl oder Zauberzahl bezeichnet.

  • Bei teilweise ausgefüllten magischen Quadraten muss zunächst die magische Zahl ermittelt werden. Im Anschluss können Zeilen, Spalten und Diagonalen, in denen nur eine Zahl fehlt, vervollständigt werden. 

magisches Quadrat Video

Quelle sofatutor.com

Magisches Quadrat – Erklärung

Ein magisches Quadrat ist ein Quadrat mit der Seitenlänge n. Die Felder des Quadrats sind so mit Zahlen ausgefüllt, dass die Summe jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale genau den gleichen Wert hat. Dieser Wert wird als magische Zahl oder Zauberzahl bezeichnet.

In den meisten Fällen werden die Zahlen 1 bis n^2 so eingesetzt, dass sie jeweils einmal vorkommen. Das ist aber nicht bei jedem magischen Quadrat so.
Jede Spalte, jede Zeile und jede Diagonale besitzt genau n Felder. Die Gesamtzahl der Felder ist n \cdot n = n^2.

Magisches Quadrat 3 \times 3

Ein 3 \times 3 magisches Quadrat besitzt insgesamt 9 Felder. Die Zahlen 1 bis 9 müssen so in das Quadrat eingesetzt werden, dass die Summe jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale genau gleich ist. In einem 3 \times 3 magischen Quadrat mit den Zahlen 1 bis 9 ist die magische Zahl immer 15.

Beschreibung magisches Quadrat 3x3

Um zu überprüfen, ob das oben stehende Quadrat ein richtig ausgefülltes magisches Quadrat ist, berechnen wir die einzelnen Summen der Spalten, Zeilen und Diagonalen. Beginnend mit den Zeilen:

Zeile: 8 + 1 + 6 = 15
Zeile: 3 + 5 + 7 = 15
Zeile: 4 + 9 + 2 = 15

Nun berechnen wir die Summen der Spalten:

Spalte: 8 + 3 + 4 = 15
Spalte: 1 + 5 + 9 = 15
Spalte: 6 + 7 + 2 = 15

Zuletzt überprüfen wir noch die Summen der Diagonalen:

Diagonale: 8 + 5 + 2 = 15
Diagonale: 6 + 5 + 4 = 15

Jede Zeile, jede Spalte und jede Diagonale hat die Summe 15. Es handelt sich demnach um ein korrekt ausgefülltes 3 \times 3 magisches Quadrat mit magischer Zahl 15.

Auch das erste bekannte magische Quadrat war ein 3 \times 3 magisches Quadrat mit der magischen Zahl 15. Es geht auf den chinesischen Kaiser Yu zurück, der rund 2200 v. u. Z. lebte.

Magische Zahl berechnen

Die magische Zahl lässt sich auch berechnen, wenn die Lösung des magischen Quadrats nicht bekannt ist. Dafür können wir n, also die Anzahl der Zeilen oder Spalten, in die folgende Formel einsetzen:

\text{magische Zahl} = \dfrac{1}{2} \cdot n \cdot (n^2 + 1)

Setzen wir zum Beispiel die 3 für das 3 \times 3 magische Quadrat ein, erhalten wir als magische Zahl:

\text{magische Zahl} = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3^2 + 1) = 1,\!5 \cdot 10 = 15

Beachte: Diese Formel gilt nur, wenn die Zahlen 1 bis n^2 in das magische Quadrat eingesetzt werden.

Magisches Quadrat ausfüllen

Häufig ist ein magisches Quadrat schon teilweise ausgefüllt. Dabei kann es auch vorkommen, dass nicht die Zahlen 1 bis n^2 eingetragen werden, sondern beliebige andere Zahlen, die auch mehrfach vorkommen können. In solchen Fällen sind die magische Zahl und manchmal auch die Zahlen, die eingetragen werden sollen, vorgegeben.

Magisches Quadrat vervollständigen – Rechenweg

unvollständiges magisches Quadrat

Eine Diagonale ist komplett ausgefüllt. Es ergibt sich daraus 9 + 10 + 11 = 30 als magische Zahl.
In der linken Spalte, der untersten Zeile und der zweiten Diagonale fehlt nur je eine Zahl. Diese Zahlen können ermittelt werden, indem die Summe der anderen beiden in dieser Reihe eingetragenen Zahlen von der magischen Zahl abgezogen wird. Betrachten wir zunächst die linke Spalte. Dort stehen die Zahlen 9 und 13. Ziehen wir die Summe der beiden von der 30 ab, erhalten wir für die dritte Zahl:

30 - (9 + 13) = 30 - 22 = 8

Die 8 tragen wir nun in das mittlere Kästchen der linken Spalte ein. Genauso gehen wir nun mit der unteren Zeile vor:

30 - (13 + 11) = 30 - 24 = 6

Wir erhalten für das mittlere Kästchen der unteren Zeile die Zahl 6.
Über die beiden Zahlen der Diagonalen erhalten wir für das Kästchen rechts oben die Zahl:

30 - (10 + 13) = 30 - 23 = 7

Für das Kästchen in der Mitte der ersten Zeile ergibt sich die Zahl 14 und für das Kästchen in der Mitte der rechten Spalte die Zahl 12. Das fertig ausgefüllte magische Quadrat sieht dann so aus:

magisches Quadrat vollständig gelöst

Beim Lösen eines unvollständig ausgefüllten magischen Quadrats gehst du folgendermaßen vor:

  • Magische Zahl bestimmen (wenn keine vorgegeben ist)
  • Zeilen und Spalten suchen, in denen nur eine Zahl fehlt
  • Alle anderen Zahlen dieser Reihe addieren und Summe von der magischen Zahl abziehen
  • Differenz in das leere Kästchen eintragen
  • Nächste Zeile oder Spalte mit nur einer fehlenden Zahl suchen
  • Solange fehlende Kästchen berechnen, bis das komplette magische Quadrat ausgefüllt ist

Leeres magisches Quadrat – Lösung

Zum Abschluss schauen wir uns an, wie wir selbst ein magisches Quadrat erstellen können.
Je nach Aufbau des magischen Quadrats wird diese Aufgabe auf eine bestimmte Weise gelöst. Mit den folgenden Erklärungen kannst du die Strategien zum Lösen magischer Quadrate lernen. Mit diesen Methoden kannst du das magische Quadrat dann so schnell lösen, dass es einem Zaubertrick gleicht.

Lösung für ungerades n
Ist die Anzahl der Spalten und Zeilen ungerade, dann kannst du die folgende Methode anwenden, um das magische Quadrat auszufüllen. Wir betrachten die Methode wieder am Beispiel des 3 \times 3 magischen Quadrats.

Schritt 1: Wir beginnen mit der kleinsten Zahl, in diesem Fall der 1 und schreiben sie in das mittlere Feld der ersten Zeile.

Schritt 2: Die anderen Zahlen werden in aufsteigender Reihenfolge nach dem folgenden Schema eingesetzt: Vom gerade ausgefüllten Feld gehst du ein Kästchen nach rechts und ein Kasten nach oben und trägst dort die nächste Zahl ein.

Achtung: Landest du dadurch oberhalb der ersten Zeile, dann trägst du die Zahl in die unterste Zeile der gleichen Spalte ein. Landest du außerhalb der rechten Spalte, dann trägst du die Zahl in die ganz linke Spalte in der gleichen Zeile ein. Ist das Kästchen bereits belegt, dann schreibst du die Zahl direkt unterhalb der vorher eingetragenen Zahl.

Lösung für gerades n
Die nächste Methode gilt für magische Quadrate, bei denen n durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist. Das ist zum Beispiel bei einem 6 \times 6 magischen Quadrat der Fall.

Schritt 1: Unterteile das Quadrat in vier gleich große Teilquadrate. Diese haben dann jeweils die Seitenlänge \frac{n}{2} und \frac{n^2}{4} Kästchen.

  • Bei einem 6 \times 6 magischen Quadrat haben die Teilquadrate eine Seitenlänge von 3 und besitzen jeweils 9 Kästchen.

Schritt 2: Für jedes Teilquadrat gehst du dann so vor wie bei Quadraten mit einem ungeraden n. Dabei wählst du folgende Zahlen:

  • Quadrat oben links: die ersten \frac{n^2}{4} Zahlen (Beispiel: 1-9)
  • Quadrat unten rechts: die nächsten \frac{n^2}{4} Zahlen (Beispiel: 10-18)
  • Quadrat oben rechts: die folgenden \frac{n^2}{4} Zahlen (Beispiel: 19-27)
  • Quadrat unten links: die letzten \frac{n^2}{4} Zahlen (Beispiel: 28-36)

Beachte: Die Teilquadrate müssen separat betrachtet werden. Landest du außerhalb des Teilquadrats und in einem anderen Teilquadrat, dann gehst du wie bei den oben erklärten Sonderfällen bei Quadraten mit einem ungeraden n vor.

Schritt 3: Beim Überprüfen der Zeilen und Spalten fällt auf, dass nicht alle die magische Zahl ergeben. Für die endgültige Lösung müssen noch einige Zahlen getauscht werden. Beim Beispiel eines 6 \times 6 magischen Quadrats sind das die Zahlen:

  • 8 und 35
  • 5 und 32
  • 4 und 31

Lösung für gerades, durch 4 teilbares n
Ist das n zusätzlich auch durch 4 teilbar, dann wird ein anderer Lösungsweg gewählt. Diesen betrachten wir am Beispiel eines 8 \times 8 magischen Quadrats.

Schritt 1: Zunächst müssen 5 kleine Quadrate im magischen Quadrat markiert werden. In den Ecken werden jeweils kleine Quadrate mit den Seitenlängen \frac{n}{4} markiert.

  • Bei einem 8 \times 8 magischen Quadrat entstehen so vier kleine Quadrate mit einer Seitenlänge von 2.

Zudem wird in der Mitte des magischen Quadrats ein Quadrat mit der Seitenlänge \frac{n}{2} markiert.

  • Bei einem 8 \times 8 magischen Quadrat entsteht so ein Quadrat mit der Seitenlänge 4.

Schritt 2: Nun zählst du alle Zahlen von 1 bis n^2 (Beispiel: 1 - 64) der Reihenfolge nach von oben links beginnend Zeile für Zeile in das magische Quadrat ab. Dabei trägst du die Zahl immer dann in das Kästchen, wenn es im ersten Schritt markiert wurde. Die nicht markierten Kästchen werden zunächst frei gelassen.

  • Bei einem 8 \times 8 magischen Quadrat stehen beispielsweise in der ersten Zeile dann ganz links die Zahlen 1 und 2 und ganz rechts die Zahlen 7 und 8.

Schritt 3: Die nicht eingetragenen Zahlen trägst du nun Zeile für Zeile von links nach rechts in die frei gelassenen Kästchen ein. Allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

  • Die größte nicht eingetragene Zahl bei einem 8 \times 8 magischen Quadrat ist die 62. Diese tragen wir in das dritte Kästchen der ersten Zeile ein.

Schritt 4: Überprüfe jetzt, ob jede Zeile, Spalte und Diagonale die magische Zahl als Summe hat.

  • Bei einem 8 \times 8 magischen Quadrat ist die magische Zahl 260.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat ist ein Quadrat mit einer Seitenlänge n, das n^2 Kästchen besitzt. Die Kästchen werden so mit Zahlen ausgefüllt, dass die Summe jeder Spalte, jeder Zeile und jeder Diagonale gleich ist. Der Wert dieser Summe wird magische Zahl genannt.

Wie ein magisches Quadrat ausgefüllt wird, hängt davon ab, ob n gerade oder ungerade ist. Mit den jeweiligen Strategien lässt sich das Quadrat dann schnell ausfüllen.

Ist in einem zum Teil ausgefüllten magischen Quadrat keine magische Zahl gegeben, muss diese berechnet werden. Dafür wird sich eine Spalte, Zeile oder Diagonale gesucht, in der alle Zahlen gegeben sind. Die Summe dieser Zahlen ist die magische Zahl. In den Zeilen, Spalten und Diagonalen, in denen nur eine Zahl fehlt, kann diese als Differenz zwischen der magischen Zahl und den bereits gegebenen Zahlen berechnet werden.

Der Trick bei einem magischen Quadrat ist, dass die Summe der Zahlen, die in einer Zeile, Spalte oder Diagonale des Quadrats stehen, immer den gleichen Wert, die sogenannte magische Zahl, liefert. 

Es gibt unendlich viele magische Quadrate, da n beliebig groß sein können. Zudem gibt es für jedes magische Quadrat mehrere Lösungen.

Das älteste bekannte magische Quadrat geht auf den chinesischen Kaiser Yu zurück. Dieser lebte rund 2200 v. u. Z. Das erste magische Quadrat bestand aus neun Feldern und hatte die magische Zahl 15.

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