Vektorrechnung im Überblick

  • Die Vektorrechnung befasst sich mit den Rechenvorschriften zum Rechnen mit Vektoren.
  • Vektoren können komponentenweise addiert und subtrahiert werden.
  • Mit Vektoren kann die Lage von Geraden und Ebenen im Raum beschrieben werden.

Grundlagen der Vektorrechnung

Ein Vektor beschreibt einen Pfeil mit festgelegter Richtung und Länge. Zur Notation werden die Komponenten des Vektors untereinander geschrieben:
\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix}
Jede Komponente beschreibt die Ausdehnung in der entsprechenden Richtung im dreidimensionalen Koordinatensystem. Das bedeutet, die erste Komponente v_1 beschreibt die Bewegung in x_1-Richtung, die zweite Komponente v_2 die in x_2-Richtung und die dritte Komponente v_3 steht für die x_3-Richtung.
Wir wollen im Folgenden eine Einführung in das Rechnen mit Vektoren, die sogenannte Vektorrechnung, in Mathe geben. Dabei werden die wichtigsten Rechenoperationen und Formeln der Vektorrechnung einfach erklärt.

Vektorrechnung: Addition

Vektoren werden komponentenweise addiert.
\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\ a_2 + b_2\\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}
Anschaulich entspricht die Addition von Vektoren einem Aneinanderhängen der Vektorpfeile:

Vektorrechnung Addition

Beispiel:
\vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 5\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}
\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\ -1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 5\\ 2 + (-1)\\ 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

Hinweis: Die Differenz von Vektoren kann nach demselben Prinzip komponentenweise bestimmt werden, sie entspricht der Addition eines negativen Vektors.

Vektorrechnung: Multiplikation

Es gibt drei Arten der Multiplikation bei Vektoren:

  • Skalarmultiplikation in der Vektorrechnung
    Ein Vektor wird mit einer Zahl (einem sogenannten Skalar) multipliziert. Dabei wird jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert:
    k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot v_1 \\ k \cdot v_2 \\ k \cdot v_3 \end{pmatrix}
  • Skalarprodukt in der Vektorrechnung
    Zwei Vektoren werden komponentenweise multipliziert und das Ergebnis zu einer Zahl summiert:
    \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
  • Vektorprodukt oder Kreuzprodukt in der Vektorrechnung
    Das Ergebnis ist ein Vektor, dessen Komponenten nach folgender Formel berechnet werden:
    \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2\\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3\\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}

Vektorrechnung: Regeln

Für die Addition und die Skalarmultiplikation von Vektoren gelten das Assoziativ-, das Kommutativ- und das Distributivgesetz.
Das Skalarprodukt von Vektoren ist ebenfalls kommutativ.
Beim Vektorprodukt gilt: \vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}

Vektorrechnung: lineare Abhängigkeit

Vektoren werden als linear abhängig bezeichnet, wenn einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren gebildet werden kann. Ob Vektoren linear unabhängig sind, lässt sich folgendermaßen überprüfen:

  • Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} sind linear abhängig, wenn ein k \in \mathbb{R} existiert, das die Gleichung \vec{a} = k \cdot \vec{b} erfüllt. Kann kein Wert für k gefunden werden, dann sind die Vektoren unabhängig.
  • Drei Vektoren \vec{a}, \vec{b} und \vec sind linear abhängig, wenn einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren geschrieben werden kann. Das bedeutet, es gibt Werte für k_1, k_2 \in \mathbb{R}, die etwa die Gleichung \vec{a} = k_1 \cdot \vec{b} + k_2 \cdot \vec erfüllen. Kann keiner der drei Vektoren aus Vielfachen der anderen beiden Vektoren gebildet werden, so sind die drei Vektoren linear unabhängig.
  • Vier oder mehr Vektoren sind im dreidimensionalen Raum stets linear abhängig.

Vektorrechnung: Winkel und Länge

Die Länge eines Vektors wird durch Betragsstriche symbolisiert: \vert \vec{a} \vert.
Zur Berechnung wird die Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst gezogen:
|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Der Winkel \phi zwischen zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} kann mit folgender Formel bestimmt werden:
\cos(\varphi) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Aus der Formel ergibt sich auch die Bedingung für senkrechte Vektoren: Zwei Vektoren \vec{a} und \vec{b} stehen senkrecht zueinander, wenn gilt: \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Vektorrechnung: Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt M der Strecke zwischen zwei Punkten A und B kann mit den Ortsvektoren \overrightarrow{A} und \overrightarrow{B} nach der folgenden Formel bestimmt werden:
\overrightarrow{M} = \frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}

Vektorrechnung: Geraden und Ebenen

Die Gleichungen von Geraden und Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem lassen sich mithilfe der Vektorrechnung angeben.

Vektorrechnung: Geradengleichungen

Die Gleichung einer Geraden im Raum wird durch den Ortsvektor eines beliebigen Punktes P auf der Geraden und einen Richtungsvektor \vec{v}, der die Richtung der Geraden vorgibt, angegeben.
g: \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{v}

Vektorrechnung: Ebenengleichungen

In der Vektorrechnung können Ebenengleichung in der Normalenform oder in der Parameterform angegeben werden:

  • Parameterform:
    E: \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \overrightarrow{v} + \sigma \cdot \overrightarrow{w}
    Dabei ist P ein beliebiger Punkt in der Ebene und \vec{v} und \vec{w} sind zwei linear unabhängige Richtungsvektoren, die in der Ebene verlaufen.
  • Normalenform:
    \left[\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} \right] \cdot \overrightarrow{n} = 0
    Dabei ist P ein beliebiger Punkt in der Ebene und \vec{n} ein Normalenvektor, der senkrecht zur Ebene verläuft.
    Die ausmultiplizierte Gleichung der Normalenform wird auch Koordinatenform der Ebene genannt:
    n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d mit d = p_1 \cdot n_1 + p_2 \cdot n_2 + p_3 \cdot n_3Hinweis: Eine Umrechnung der Parameterform in die Koordinatenform erfolgt in der Vektorrechnung durch Bestimmen des Normalenvektors als Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: \vec{n} = \vec{v} \time \vec{w}. Dann werden \overrightarrow{P} und \vec{n} in die Gleichung der Normalenform eingesetzt und die Koordinatenform berechnet.

Anwendung der Vektorrechnung: Beispiele

Wir wollen nun zwei Beispiele für die Anwendung der Vektorrechnung betrachten.

Vektorrechnung: Parallelogramm Koordinaten eines Eckpunktes bestimmen

Sind die drei Eckpunkte A(0 \vert 1 \vert 0), B(1 \vert 1 \vert 1) und D(0 \vert 4 \vert 5) eines Parallelogramms gegeben, dann können die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts C berechnet werden.
Da in einem Parallelogramm gegenüberliegende Seiten stets parallel und gleich lang sind, gilt: \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}.
Wir berechnen \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 0\\ 4\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 5 \end{pmatrix}
Dann addieren wir \overrightarrow{AD} zu \overrightarrow{B}:
\overrightarrow = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 3\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 6 \end{pmatrix}
Wir erhalten den fehlenden Eckpunkt C(1 \vert 4 \vert 6).

Vektorrechnung: gegenseitige Lage zweier Ebenen

Wir wollen die gegenseitige Lage der Ebenen E: \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \sigma \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} und F: x_3 = 5 überprüfen.

  • Wir prüfen, ob die Ebenen parallel zueinander verlaufen. Dazu bestimmen wir das Skalarprodukt der Richtungsvektoren von E mit dem Normalenvektor \vec{n} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} von F:
    \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0
    \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0
  • Da beide Richtungsvektoren senkrecht zu \vec{n} verlaufen, sind die Ebenen parallel.
  • Ob die Ebenen echt parallel oder identisch zueinander sind, kann in der Vektorrechnung durch eine Punktprobe überprüft werden. Dazu setzen wir einen Punkt der Ebene E in die Koordinatengleichung der Ebene F ein.
    (1 \vert 0 \vert 1) in F: 1 = 5
    Aus der falschen Aussage folgern wir, dass die Ebenen echt parallel zueinander sind.

Hinweis: Für Ebenen, die nicht parallel sind, wird in der Vektorrechnung die Schnittgerade zweier Ebenen durch Einsetzen der ersten Ebenengleichung in Parameterform in die zweite Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmt.

Vektorrechnung Zusammenfassung

Wir wollen zum Abschluss die wichtigsten Vorschriften in einer kleinen Formelsammlung zur Vektorrechnung zusammenfassen.

Bezeichnung Formel
Vektoraddition \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1\\ a_2 + b_2\\ a_3 + b_3 \end{pmatrix}
Skalarmultiplikation k \cdot \vec{v} = k \cdot \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \cdot v_1\\ k \cdot v_2\\ k \cdot v_3 \end{pmatrix}
Skalarprodukt \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3
Vektorprodukt (Kreuzprodukt) \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2\\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3\\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}
Länge eines Vektors \vert \vec{a} \vert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}
Winkel zwischen Vektoren \cos(\varphi) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vert\vec{a}\vert \cdot \vert\vec{b}\vert}
rechter Winkel für \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
Geradengleichung g: \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \vec{v}
Ebenengleichung E: \overrightarrow{X} = \overrightarrow{P} + \lambda \cdot \vec{v} + \sigma \cdot \vec{w}
Normalenform \left[\overrightarrow{X} - \overrightarrow{P} \right] \cdot \vec{n} = 0
Koordinatenform n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 = d

Häufig gestellte Fragen zum Thema Vektorrechnung

Das Rechnen mit Vektoren wird als Vektorrechnung bezeichnet.
Beim Rechnen mit Vektoren gelten viele Regeln, die auch beim Rechnen mit Zahlen angewendet werden. Wir können Vektoren komponentenweise addieren oder multiplizieren, es gibt aber beispielsweise noch andere Arten von Produkten, wie das Skalarprodukt, dessen Ergebnis eine Zahl und kein Vektor ist.
Mithilfe der Vektorrechnung können Punkte, Geraden und Ebenen im Raum mathematisch beschrieben werden. Dadurch können wir zum Beispiel auch Eigenschaften von Körpern und Figuren nachweisen oder deren Lage zueinander bestimmen.
Die Vektorrechnung umfasst das Rechnen mit Vektoren und seine Anwendung, wie zum Beispiel das Berechnen von Winkeln oder die Beschreibung von Geraden und Ebenen sowie deren Lage im Raum.