Prismen in der Mathematik – Merkmale und Berechnung

Ein Prisma ist ein dreidimensionaler geometrischer Körper, der durch die Parallelverschiebung einer Grundfläche entsteht. Gerade Prismen haben rechteckige Seitenflächen, während schräge Prismen parallelogrammartige Seiten haben. Erfahre mehr über Prismen und ihre Berechnungen! Dies und vieles mehr entdeckst du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Prismen

Prismen im Überblick

  • Ein Prisma in der Mathematik ist ein geometrischer Körper.

  • Prismen haben eine kongruente Grund- und Deckfläche, die parallel zueinander liegen.

  • Ein Prisma heißt gerade, wenn die Seitenflächen senkrecht zur Grundfläche stehen, andernfalls sprechen wir von einem schiefen Prisma.

  • Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke, die eines schiefen Prismas sind Parallelogramme.

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Prismen in der Mathematik – Definition und Eigenschaften

Ein Prisma in der Mathematik ist ein geometrischer Körper. Das bedeutet, ein Prisma ist dreidimensional. Du kannst es also nicht in dein Heft legen wie eine ebene Figur. Ein Prisma entsteht durch Parallelverschiebung einer ebenen Figur in eine Richtung außerhalb der Ebene. Diese ebene Figur heißt Grundfläche des Prisma. Die Grundfläche ist ein ebenes Vieleck, also z. B. ein Dreieck, Viereck oder Siebeneck.

Die Form eines Prismas unterscheidet sich von anderen geometrischen Figuren. Jeder Quader style=“font-weight: 400;“> ist auch ein Prisma, aber nicht jedes Prisma ist ein Quader. Denn bei einem Quader ist die Grundfläche ein Rechteck und auch alle anderen Kanten und Seiten stehen aufeinander senkrecht, bei einem Prisma muss das nicht so sein. Auch jeder Zylinder style=“font-weight: 400;“> über einem Vieleck als Grundfläche ist ein Prisma, aber nicht jedes Prisma ist ein Zylinder. Prismen unterscheiden sich von Pyramiden dadurch, dass sie keine Spitzen haben und alle Seitenflächen viereckig sind.

Wir unterscheiden verschiedene Arten von Prismen: Bei einem geraden Prisma verläuft die Parallelverschiebung senkrecht zur Grundfläche.

Gerades Prisma

Die Seitenflächen eines geraden Prismas sind Rechtecke. Diejenigen Kanten der Seitenflächen, die nicht in der Grund- oder Deckfläche liegen, stehen senkrecht zur Grund- und Deckfläche. 

Bei einem schiefen Prisma verlaufen die parallelen Kanten der Seitenflächen in einem spitzen oder stumpfen Winkel zur Grundfläche.

Schiefes Prisma

Prismen in der Geometrie – Definition

Spezielle gerade Prismen sind die regulären Prismen: Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck. Ein reguläres Prisma wird auch regelmäßiges Prisma genannt. Ein Prisma mit unregelmäßiger Grundfläche wird auch unregelmäßiges Prisma genannt.

Reguläres fünfseitiges Prisma

Hinweis: Meistens werden Prismen so dargestellt, dass die Grund- und die Deckfläche horizontal verlaufen und das Prisma auf der Grundfläche steht. Das ist aber nicht notwendig. Auch wenn ein Prisma schräg im Raum schwebt oder auf einer Seitenfläche steht, bleibt es ein Prisma.

Reguläres sechsseitiges Prisma

Eckpunkte, Kanten und Flächen eines Prismas

Die Grundfläche eines Prismas ist ein Vieleck. Jedes Prisma hat eine zur Grundfläche parallele, kongruente Deckfläche. Die Anzahl der Eckpunkte eines Prismas ist daher doppelt so groß wie die Anzahl der Eckpunkte seiner Grundfläche. Ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche hat beispielsweise sechs Eckpunkte. 

Zwischen den Eckpunkten der Grundfläche und denen der Deckfläche verlaufen Kanten. Alle diese Kanten sind parallel zueinander. Die Anzahl dieser Kanten ist genauso groß wie die Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche. Hinzu kommen die Kanten der Grundfläche und die der Deckfläche. Die Anzahl der Kanten der Grundfläche ist gleich der Anzahl ihrer Eckpunkte. Ein Prisma hat also insgesamt dreimal so viele Kanten wie die Grundfläche Eckpunkte hat. Daher hat ein Prisma mit viereckiger Grundfläche zwölf Kanten. 

Zwischen den parallelen Kanten, die Eckpunkte der Grund- und der Deckfläche verbinden, liegen die Seitenflächen des Prismas. Jedes Prisma hat genauso viele Seitenflächen, wie die Grundfläche Eckpunkte hat. Alle Flächen des Prismas zusammen bilden die Oberfläche des Prismas. Die Oberfläche umgibt das Prisma wie eine Hülle. Sie besteht aus den Seitenflächen sowie der Grund- und der Deckfläche. Die Anzahl dieser Flächen ist die Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche plus zwei für die Grund- und Deckfläche. Die Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche des Prismas. 

Da die Anzahl der Eckpunkte der Grundfläche gleich der Anzahl der Seitenflächen des Prismas ist, wird diese Anzahl auch verwendet, um das Prisma zu bezeichnen: Ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche wird auch dreiseitiges Prisma genannt, eines mit siebeneckiger Grundfläche heißt siebenseitiges Prisma.

Flächen eines Prismas

Bei einem schiefen Prisma sind alle Seitenflächen Parallelogramme. Bei einem geraden Prisma sind alle Seitenflächen Rechtecke. Bei einem regulären Prisma sind zusätzlich Grund- und Deckfläche regelmäßige Vielecke.

Körpernetz eines Prismas

Eine Übersicht über die Flächen eines Prismas erhältst du, indem du die Oberfläche des Prismas auseinanderfaltest, sodass sie eben wird. Auf diese Weise erhältst du ein Körpernetz des Prismas.

Körpernetz eines dreiseitigen geraden Prismas

Das Netz oder Körpernetz besteht aus den Seitenflächen des Prismas sowie der Grund- und der Deckfläche. Die einzelnen Flächen sind in dem Körpernetz durch Kanten miteinander verbunden. Du erhältst das Prisma aus dem Körpernetz, indem du das Netz wieder zu dem Prisma zusammenfaltest.

Bei einem schiefen Prisma verlaufen die parallelen Kanten der Seitenflächen in einem spitzen oder stumpfen Winkel zur Grundfläche.

Symmetrien von Prismen

Prismen entstehen durch die Parallelverschiebung einer Grundfläche. Je nach der Form der Grundfläche und dem Winkel der Parallelverschiebung zur Grundfläche haben die Prismen mehr oder weniger Symmetrien. Schiefe Prismen sind solche, bei denen die Parallelverschiebung in einem spitzen oder stumpfen Winkel zur Grundfläche erfolgt. Ein schiefes Prisma hat keine Symmetrien.

Symmetrien gerader Prismen

Jedes gerade Prisma ist symmetrisch bezüglich der Spiegelung an einer Ebene, die parallel zur Grund- und Deckfläche verläuft und zu beiden den gleichen Abstand hat.

Außerdem entspricht bei einem geraden Prisma jede Symmetrie der Grundfläche einer Symmetrie des Prismas. Ist die Grundfläche asymmetrisch, hat auch das Prisma keine weitere Symmetrie. Ist die Grundfläche symmetrisch bezüglich einer Geradenspiegelung, ist das Prisma spiegelsymmetrisch bezüglich der Ebene, steht senkrecht auf der Grundfläche und enthält diese Spiegelgerade. 

Hat die Grundfläche eine ebene Drehsymmetrie um einen Mittelpunkt, hat das Prisma eine räumliche Drehsymmetrie um die zur Grundfläche senkrechte Achse durch den Mittelpunkt der ebenen Drehsymmetrie.

Symmetrien regulärer Prismen

Bei einem regulären Prisma ist die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck. Solche Vielecke haben viele Dreh- und Spiegelsymmetrien. Jede dieser ebenen Symmetrien der Grundfläche entspricht einer räumlichen Symmetrie des Prismas. Beispielsweise ist ein reguläres fünfseitiges Prisma symmetrisch bezüglich Drehungen um 72^\circ um die Achse, die durch den Mittelpunkt der Grundfläche und senkrecht zu dieser Grundfläche verläuft. Denn die Grundfläche ist ein regelmäßiges Fünfeck und dieses ist symmetrisch bezüglich Drehungen um den Mittelpunkt um einen Winkel der Größe 360^\circ : 5 = 72^\circ.

Prismen berechnen – Oberfläche und Volumen

Die Oberfläche eines Prismas besteht aus der Grundfläche und der Deckfläche sowie allen Seitenflächen. Grundfläche und Deckfläche sind kongruent zueinander. Alle Seitenflächen bilden zusammen die Mantelfläche des Prismas. 

Das Volumen ist der Rauminhalt des Prismas.

Oberfläche eines geraden Prismas

Bei einem geraden Prisma sind alle Seitenflächen Rechtecke. Jede Seitenfläche hat eine Kante mit der Grundseite und eine Kante mit der Deckfläche gemeinsam. Die beiden anderen Kanten jeder Seitenfläche sind bei allen Seitenflächen gleich lang. Ihre Länge ist die Höhe des Prismas. Alle Seitenflächen zusammen bilden die Mantelfläche des Prismas. Der Flächeninhalt der Mantelfläche ist daher gleich der Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Diesen Flächeninhalt M der Mantelfläche berechnest du aus der Höhe h des Prismas und dem Umfang U_G der Grundfläche:
M = U_G \cdot h
Der Flächeninhalt O der Oberfläche ist die Summe aus den Flächeninhalten M der Mantelfläche und den Flächeninhalten von Grund- und Deckfläche. Da die Grundfläche und die Deckfläche kongruent zueinander sind, genügt es, den Flächeninhalt G der Grundfläche zu verdoppeln. So erhältst du die Formel für den Flächeninhalt O der Oberfläche eines geraden Prismas:
O = M+2G = U_G \cdot h + 2 \cdot G

Bei einem regulären Prisma kannst du zur Berechnung des Flächeninhalts G der Grundfläche die entsprechende Formel für den Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks benutzen.

Ist beispielsweise die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck der Kantenlänge a=5~\text{cm}, ist der Flächeninhalt G der Grundfläche:
G = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a^2 \approx 0,\!866~\cdot 25~\text{cm}^2 = 21,\!65~\text{cm}^2
Der Umfang der Grundfläche ist die Summe seiner Kantenlängen, also U_G =3\cdot a=15~\text{cm}. Beträgt die Höhe des Prismas h=7~\text{cm}, hat die Mantelfläche den Flächeninhalt:
M = U_G \cdot h = 15~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} = 105~\text{cm}^2
Ein reguläres dreiseitiges Prisma mit dieser Grundfläche G und Höhe h hat daher die Oberfläche:
O = M + 2 G = 105~\text{cm}^2+2\cdot 21,\!65~\text{cm}^2 = 148,\!3~\text{cm}^2

Volumen eines Prismas

Das Volumen oder der Rauminhalt eines Körpers ist ein Maß dafür, wie viel in den Körper hineinpasst. Wenn das Prisma ein Hohlkörper beispielsweise ein Aquarium ist, gibt das Volumen an, wie viel Wasser hineinpasst. Das Volumen wird in Volumeneinheiten gemessen, z. B. in Litern (\ell) oder in Kubikzentimetern (\text{cm}^3). Das Volumen V eines Prismas berechnest du aus dem Flächeninhalt G der Grundfläche und der räumlichen Höhe h des Prismas:
V = G \cdot h
Die Formel ist die Gleiche wie für das Volumen eines Quaders mit Grundfläche G und Höhe h. Denn jeder Quader ist ein gerades Prisma. Diese Formel gilt für alle Prismen, nicht nur für gerade Prismen.

Grundfläche und Höhe gerade und schiefer Prismen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Prismen

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der aus der Parallelverschiebung einer Grundfläche entsteht.

Wir unterscheiden gerade von schiefen Prismen. Bei einem geraden Prisma sind die Seitenflächen Rechtecke, bei einem schiefen Prisma Parallelogramme. Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist.

Jeder Würfel und jeder Quader ist ein Prisma. Kegel, Pyramiden, Zylinder und die Kugel sind keine Prismen. Von den fünf platonischen Körpern ist nur der Würfel ein Prisma.

Das Besondere an Prismen ist, dass sie zwei kongruente, parallele Flächen besitzen (Grund- und Deckfläche), die durch die Mantelfläche miteinander verbunden sind.

Du zeichnest zuerst ein Vieleck in einer Ebene in perspektivischer Ansicht. Dieses Vieleck ist die Grundfläche deines Prismas. Nun zeichnest du an einem der Eckpunkte des Vielecks eine Strecke ein, die nicht parallel zu einer Kante des Vielecks verläuft. Mittels Parallelverschiebung trägst du diese Strecke an jedem Eckpunkt des Vielecks ab. Du verbindest die Endpunkte dieser Strecken miteinander in der gleichen Weise, wie ihre Anfangspunkte durch Kanten der Grundfläche miteinander verbunden sind. Auf diese Weise erhältst du ein Prisma.

Ein Prisma erkennst du daran, dass es viele parallele Kanten hat, die zwei kongruente, parallele Vielecke miteinander verbinden. Ein Prisma in der Geometrie hat keine Spitze wie eine Pyramide oder ein Kegel.

Das Volumen eines Prismas ist das Produkt aus der Grundfläche G und der Höhe h des Prismas:
V = G \cdot h

Die Oberfläche eines Prismas berechnest du beispielsweise mithilfe eines Körpernetzes. Die Oberfläche besteht aus den Seitenflächen sowie der Grund- und der Deckfläche. Du berechnest die Flächeninhalte aller dieser Flächen und addierst sie. Auf diese Weise erhältst du den Oberflächeninhalt des Prismas.

Rechtwinklige Prismen nennt man auch gerade Prismen. Bei einem solchen Prisma verlaufen die parallelen Kanten senkrecht zur Grund- und Deckfläche. Bei einem schiefen Prisma verlaufen die parallelen Kanten in einem spitzen oder stumpfen Winkel zur Grund- und Deckfläche. Ein reguläres Prisma ist ein gerades Prisma, dessen Grund- und Deckfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Alle anderen Prismen können entsprechend als unregelmäßig bezeichnet werden.

Die Basisfläche eines Prismas wird auch Grundfläche genannt. Jedes Prisma hat eine Deckfläche, die kongruent zur Grundfläche ist und parallel zu ihr liegt. Von jedem Eckpunkt der Grundfläche verläuft eine Kante zu einem Eckpunkt der Deckfläche. Alle diese Kanten sind parallel zueinander. Meistens wird ein Prisma so gezeichnet, dass die Basis- und Deckfläche horizontal verlaufen und das Prisma auf der Basisfläche steht.

Die Höhe eines geraden Prismas ist die Länge einer der vielen zueinander parallelen Kanten. Bei einem schiefen Prisma kannst du die Höhe berechnen, wenn du die Kantenlängen der parallelen Kanten und die Kantenlängen der Grundfläche kennst. Du benutzt dann z. B. den Satz des Pythagoras für ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck. Eine allgemeine Formel, die für jedes schiefe Prisma gilt, gibt es nicht. Du kannst die Höhe h aber berechnen, wenn du das Volumen V des Prismas und den Flächeninhalt G der Grundfläche kennst. In diesem Fall ist h=\frac{V}{G}.

Prismen in der Geometrie sind dreidimensionale Körper. Um sie darzustellen, werden sie perspektivisch, das bedeutet als Schrägbilder, gezeichnet.

Ein Prisma entsteht durch die Parallelverschiebung einer Grundfläche. Ist die Verschiebungsrichtung nicht orthogonal zur Grundfläche, erhältst du ein schiefes Prisma. Ein gerades Prisma kannst du konstruieren, indem du von einer Grundfläche in der Ebene ausgehst und an jedem Eckpunkt der Grundfläche die gleiche Strecke senkrecht zur Grundfläche abträgst. Sie bilden die Kanten der Seitenflächen des Prismas. Die freien Enden dieser Strecken verbindest du zur Deckfläche des Prismas.

Ein Prisma hat im Allgemeinen keine Symmetrien. Ein gerades Prisma hat die gleichen Symmetrien wie seine Grundfläche: Drehsymmetrien der Grundfläche um den Mittelpunkt entsprechen Drehsymmetrien des Prismas um eine zur Grundfläche senkrechte Achse durch diesen Mittelpunkt. Spiegelsymmetrien der Grundfläche an einer Gerade entsprechen Ebenenspiegelungen an der Ebene durch diese Gerade und die Senkrechte zur Grundfläche. Jedes gerade Prisma ist außerdem symmetrisch zu einer Ebene, die mittig zwischen Grund- und Deckfläche verläuft.

Ein Prisma entsteht durch Parallelverschiebung einer Grundfläche. Ein Prisma hat daher eine zur Grundfläche kongruente Deckfläche und keine Spitze. Die Seitenflächen eines Prismas sind entweder Rechtecke oder Parallelogramme.

Pyramiden entstehen im Unterschied dazu aus einer Grundfläche und einer Spitze. Von jedem Eckpunkt der Grundfläche verläuft eine Kante zur Spitze. Die Seitenflächen einer Pyramide sind Dreiecke.

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