Terme im Überblick

  • Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen.

  • Es gibt Terme mit und ohne Variablen.

  • Sind zwei Terme äquivalent, können diese mit einem Gleichheitszeichen zu einer Gleichung verbunden werden.

  • Um einen Term zu vereinfachen, kannst du Termumformungen anwenden.

Was ist ein Term: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Terme und Gleichungen einfach erklärt

Terme sind sinnvolle Rechenausdrücke, die sich aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern zusammensetzen. Je nachdem ob Variablen in einem Term vorkommen, unterscheiden wir zwischen Termen mit und ohne Variablen.

Terme ohne Variablen

Terme ohne Variablen bestehen aus

  • Zahlen,
  • Klammern,
  • Rechen- und Vorzeichen.

Du kannst sie mithilfe von Rechenregeln berechnen.

Einzelne Zahlausdrücke wie zum Beispiel 3 oder 75 sind Terme bestehend aus einer Zahl.
Verbindest du diese beiden Zahlen mit einem +, erhältst du den Term 3+75.
Ein Term mit Klammern wäre zum Beispiel 2 \cdot (3+75).

Terme mit Variablen

Terme mit Variablen enthalten neben Zahlen, Klammern und Rechenzeichen zusätzlich Variablen.
Ein Term mit Variable wäre zum Beispiel x +9.
Dieser Term besteht aus zwei Termen: der Variable x und dem Zahlterm 9, die durch das Rechenzeichen + zu einer Addition verknüpft sind.
Es können auch mehrere Variablen in einem Term vorkommen. Dann ist es häufig sinnvoll, den Term umzuformen, indem du gleichartige Terme zusammenfasst. Dabei können dir das Kommutativ- und das Assoziativgesetz helfen.

Äquivalente bzw. gleichwertige Terme

Terme heißen gleichwertig, wenn sie durch ein Gleichheitszeichen verbunden werden können. Du kannst auch sagen, die beiden Terme sind äquivalent. Das ist der Fall, wenn beide Terme für jeden möglichen Wert der Variablen den gleichen Termwert besitzen.

Betrachte die Gleichung 3 \cdot x =x+2 \cdot x.
Setzt du beispielhaft ein paar Werte für die Variable ein, erhältst du auf beiden Seiten
stets das gleiche Ergebnis.

\begin{array}{lll} 3 \cdot 2& =&2+2 \cdot 2\\ 6&=&2+4\\ 6&=&6 \end{array}

\begin{array}{lll} 3 \cdot 3& =&3+2 \cdot 3\\ 9&=&3+6\\ 9&=&9 \end{array}

\begin{array}{lll} 3 \cdot 5& =&5+2 \cdot 5\\ 15&=&5+10\\ 15&=&15 \end{array}

Auch Terme ohne Variablen können äquivalent sein. In diesem Fall vereinfachst und
berechnest du auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens und vergleichst anschließend, ob
die Werte der Terme übereinstimmen.
Beachte dabei wie im folgenden Beispiel die Rechenregel „Punkt vor Strich“.

\begin{array}{lll} 25+15&=&5 \cdot 4+20\\ 25+15&=&20+20\\ 40&=&40 \end{array}

Bedeutung von Termen in Mathe

Terme sind mehr als nur Rechnungen. Alltagsbeispiele können durch sie gelöst und berechnet werden. Das gilt sowohl für Terme mit als auch ohne Variablen.

Insbesondere bei Textaufgaben in Mathe ist es oft hilfreich, wenn du Terme aufstellen und vereinfachen kannst.
Ein Beispiel ist der zu zahlende Preis, wenn du dir ein Eis kaufen möchtest und eine Kugel 1{,}20 € kostet. Dann kannst du den Preis y berechnen, indem du den Preis pro Kugel Eis mal die Anzahl x der Kugeln nimmst. Der Preis y wird also beschrieben durch den Term 1{,}20 \cdot x, sodass du die Gleichung y=1{,}20 \cdot x erhältst.
Der Preis für 2 Kugeln Eis wäre entsprechend 1{,}20 \cdot 2=2{,}40 €.

Terme lösen – Regeln und Erklärung

Um Terme berechnen zu können, musst du diese so weit wie möglich vereinfachen.
Liegt dir ein Term ohne Variablen vor, kannst du dich an die folgenden Schritte halten.
1. Klammern berechnen
2. Punktrechnung (Multiplikation und Division)
3. Strichrechnung (Addition und Subtraktion)

Wir wenden diese Schritte auf beiden Seiten einer Gleichung an:

\begin{array}{lll} 7 \cdot 4+8&=&6 \cdot (3+3)\\ 7 \cdot 4+8&=&6 \cdot 6\\ 28+8&=&36\\ 36&=&36 \end{array}

So sehen wir, dass die Terme tatsächlich äquivalent sind.

Terme können auch Wurzeln und Potenzen enthalten. Möchtest du Terme mit Wurzeln und Potenzen vereinfachen, ist es wichtig, dass du dich an die entsprechenden Wurzel- und Potenzgesetze hältst. Potenzen berechnest du nach den Klammern und vor den Punktrechnungen. Das restliche Vorgehen entspricht der oben aufgeführten Schrittfolge.

Terme mit Variablen umformen und vereinfachen

Besitzt der Term, den du berechnen möchtest, nicht nur Zahlen, sondern auch Variablen, ist ein anderes Vorgehen nötig, da du für die Variablen keine konkreten Werte angegeben hast.

  1. Ausmultiplizieren der Klammern (Distributivgesetz)
  2. Umstellen (Kommutativgesetz)
  3. Zusammenfassen
Vorgehen beim Lösen von Termen mit mehreren Variablen

Betrachte das folgende Beispiel.

2 \cdot (5+x)+3 \cdot x

Wende zunächst das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen. Durch die Multiplikation kannst du die Terme anschließend vereinfachen.

2 \cdot 5 + 2\cdot x+3 \cdot x

Ein Umstellen mithilfe des Kommutativgesetzes ist in diesem Fall nicht nötig, da die gleichartigen Terme bereits nebeneinanderstehen und du diese so zusammenfassen kannst.

2 \cdot 5 + 5\cdot x

Anschließend berechnest du den Term so weit wie möglich unter Beachtung der Punkt-vor-Strich-Regel.

2 \cdot 5 + 5\cdot x = 10+ 5x

Terme vereinfachen Beispiel

Sieh dir die folgenden Beispiele an, um ein Gefühl für das Vorgehen beim Terme vereinfachen zu bekommen.

Beispiel 1:
Du hast den Term \frac{1}{2}\cdot(x-1)+30 gegeben. Vereinfache ihn so weit wie möglich.

Vereinfache den Term zunächst, indem du die Klammer mithilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizierst und anschließend Multiplikation und Addition berechnest.

\begin{array}{lll} \frac{1}{2} \cdot (x-1)+30&=& \frac{1}{2} \cdot x-\frac{1}{2} \cdot 1+30 \\ &=& \frac{1}{2} \cdot x-\frac{1}{2}+30\\ &=&0{,}5x+29{,}5\\ \end{array}

Eine weitere Vereinfachung ist nicht möglich, da nur gleichnamige Terme zusammengefasst werden können.

Beispiel 2:
Gestern warst du mit deinen Eltern im Zoo. Dort habt ihr viele Tiere gesehen. Unter anderem gab es ein Gehege, in dem 3 Elefanten, 5 Giraffen und 7 Strauße zusammen gehalten wurden. Gib einen Term für die Anzahl der Beine an, die alle Tiere im Gehege zusammen haben.

  • Die 3 Elefanten haben je 4 Beine: 3 \cdot 4.
  • Die 5 Giraffen haben ebenfalls je 4 Beine: 5 \cdot 4.
  • Jeder der 7 Strauße hat 2 Beine: 7 \cdot 2.

Insgesamt haben alle Tiere im Gehege demnach
3 \cdot 4 + 5 \cdot 4 + 7 \cdot 2 = 12 + 20 + 14 = 48 Beine.

Wir können nach diesem Prinzip auch allgemein einen Term für die Anzahl der Beine in einem Gehege mit e Elefanten, g Giraffen und s Straußen angeben:
e \cdot 4 + g \cdot 4 + s \cdot 2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Was ist ein Term?

Ein Term ist eine sinnvolle Zusammenstellung aus Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, wobei auch schon eine einzelne Zahl oder Variable als Term gilt.

Wie ein Term vereinfacht werden kann, hängt davon ab, ob dieser Variablen enthält oder nicht. Bei Termen mit Variablen brauchst du häufig das Distributiv- und Kommutativgesetz, da nur gleichnamige Terme zusammengefasst werden können.
Terme ohne Variablen kannst du in der Regel vereinfachen, indem du sie unter Beachtung der Rechengesetze berechnest.

Terme vereinfachen bezeichnet das Vorgehen, bei dem du einen Term mithilfe der Rechengesetze so weit umformst, dass du ihn so weit wie möglich lösen kannst.

Einen Term berechnest du, indem du dich an folgende Schritte hältst:

  1. Klammern berechnen
  2. Multiplikation und Division
  3. Addition und Subtraktion

Den Term (20-4) \cdot 5-5 \cdot 5 löst du also, indem du zunächst die Klammer berechnest, dann die Multiplikationen und anschließend die Subtraktion durchführst.

\begin{array}{rcl} (20-4) \cdot 5-5 \cdot 5 &=& 16 \cdot 5-5 \cdot 5 \\ &=& 80-25 \\ &=& 55 \end{array}

Terme kannst du mithilfe des Distributivgesetzes und des Kommutativgesetzes umformen und anschließend zusammenfassen.

Terme mit Klammern vereinfachst du, indem du diese mithilfe des Distributivgesetzes ausmultiplizierst.

Ein Term ist ein sinnvoller Rechenausdruck. Eine einzelne Zahl oder die Kombination dieser mit Rechenzeichen wie + und - wird als Term bezeichnet. 2+4 ist beispielsweise ein Term, aber auch die Zahl 5 ist ein einfacher Zahlterm.
Terme können neben Zahlen und Rechenzeichen auch Klammern und Variablen enthalten.

Eine Formel ist ein Term, da diese aus Variablen und Zahlen verknüpft durch Rechenzeichen besteht.

Einen Term kannst du bilden, indem du Zahlen und Variablen durch Rechenzeichen verknüpfst. Auch Klammern dürfen in Termen vorkommen.

Sachverhalte kannst du durch Terme ausdrücken, indem du diese mithilfe von Zahlen und Variablen ausdrückst und mit Rechenzeichen verbindest. So kann die Anzahl aller Beine der Tiere eines Bauernhofs mit 5 Hühnern, 3 Ziegen und einem Hund durch den Term 5 \cdot 2+3 \cdot 4+4=26 beschrieben werden.

Ja, ein Bruch ist ein Term, nämlich die Division zweier Zahlen. Den Bruch \frac{3}{4} kannst du auch schreiben als die Division 3:4.

Bei Termen wird nach verschiedenen Kriterien unterschieden, beispielsweise wie viele Glieder ein Term hat oder durch welche Rechenoperationen diese Glieder verknüpft sind.

  • Addition
  • Subtraktion
  • Multiplikation
  • Division (Bruchterm)

Wir können auch in Terme mit keiner, einer oder mehreren Variablen oder in Terme mit und ohne Klammern unterteilen.

Eine genaue Vorgabe, wie ein Term auszusehen hat, gibt es nicht. Wichtig ist, dass die Verknüpfung von Zahlen und Variablen mathematisch sinnvoll ist. Das bedeutet, dass die Berechnung mathematisch eindeutig ist. Nicht sinnvoll wäre beispielsweise ein Ausdruck, bei dem zwei Rechenzeichen aufeinanderfolgen: 3 + : 2 oder eine Klammer geschlossen wird, ohne zuvor eine Klammer zu öffnen: 3 + 5) \cdot 2.

Terme benötigst du, um komplexe Rechnungen zu vereinfachen. Terme mit Variablen helfen dir dabei, einen Zusammenhang mathematisch zu formulieren.