Sinussatz und Cosinussatz – Erklärung

Erfahre alles über den Sinussatz und Cosinussatz, wichtige Trigonometrie-Sätze zur Berechnung von Dreiecken. Verstehe, wie Seiten und Winkel in beliebigen Dreiecken berechnet werden können. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Sinussatz und Cosinussatz

Das Quiz zum Thema: Sinussatz und Cosinussatz

Was gibt der Sinussatz an?

Frage 1 von 5

Wofür wird der Cosinussatz verwendet?

Frage 2 von 5

Was passiert, wenn der Sinuswert des zu berechnenden Winkels größer als 1 ist?

Frage 3 von 5

Was ist der Unterschied zwischen Sinussatz und Cosinussatz?

Frage 4 von 5

Wann verwenden wir den Sinussatz und wann den Cosinussatz?

Frage 5 von 5

Sinussatz und Cosinussatz im Überblick

  • Der Sinussatz und der Cosinussatz gehören zu den wichtigsten Sätzen der Trigonometrie.

  • Mit ihnen lassen sich die Seiten und Winkel von Dreiecken berechnen.

  • Beide Sätze gelten für beliebige Dreiecke.

  • Der Sinussatz gibt das Verhältnis zwischen den Seiten und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln an.

  • Der Cosinussatz gibt die Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel des Dreiecks an.

Anwendung von Sinussatz und Cosinussatz: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Sinussatz und Cosinussatz – Einführung

Der Sinussatz und der Cosinussatz sind wichtige Sätze der Trigonometrie, mit denen die Seiten und Winkel von Dreiecken berechnet werden können. Für die Formeln wird immer die folgende Beschriftung von Dreiecken als Grundlage verwendet:

Dreieck Beschriftung

Dabei sind a, b und c die drei Seiten des Dreiecks. Gegenüber von a liegt der Winkel \alpha, gegenüber von b liegt der Winkel \beta und gegenüber von c liegt der Winkel \gamma.
Zudem gilt in Dreiecken der Innenwinkelsatz. Dieser besagt, dass die Summe der drei Innenwinkel immer 180^\circ beträgt.

Achtung: Der Sinussatz und der Cosinussatz dürfen nicht mit dem Sinus und dem Cosinus verwechselt werden. Bei dem Sinus und dem Cosinus handelt es sich um Funktionen, die sogenannten trigonometrischen Funktionen. Sinus und Cosinus kommen aber in den Sätzen vor und sind namensgebend dafür.

Sinussatz – Definition

Der Sinussatz beschreibt das Verhältnis zwischen der Seite eines beliebigen Dreiecks und dem gegenüberliegenden Winkel. Die Formel des Sinussatzes lautet:

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Sind von zwei Winkeln und den gegenüberliegenden Seiten drei Größen bekannt, kann die vierte Größe mit dem Sinussatz berechnet werden.
Der Sinussatz gilt für alle beliebigen Dreiecke, also sowohl für rechtwinklige als auch für nicht rechtwinklige Dreiecke. Sogar für stumpfwinklige Dreiecke ist der Sinussatz gültig.

Sinussatz – Beispiel

Mit dem Sinussatz können sowohl Seiten als auch Winkel berechnet werden. Dafür muss die Ausgangsformel entsprechend umgeformt werden. Schauen wir uns das an zwei Beispielen genauer an.

Beispiel 1: Seite mit dem Sinussatz berechnen

Gegeben ist das folgende Dreieck:

Sinussatz

Es soll die Seite a berechnet werden.
Da für den Winkel \gamma die gegenüberliegende Seite c gegeben ist, nutzen wir die Formel:

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Um die gesuchte Seite a zu berechnen, müssen wir den Sinussatz so umformen, dass a allein steht:

a = \dfrac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)}

Nun können wir die gegebenen Größen einsetzen und erhalten für die Seite a die Länge:

a = \dfrac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{15 \cdot \sin(48^\circ)}{\sin(92^\circ)} \approx 11,15

Beispiel 2: Winkel mit dem Sinussatz berechnen

Gegeben ist das folgende Dreieck:

Sinussatz Winkel berechnen

Es soll der Winkel \beta berechnet werden.
Da sowohl die Seite a als auch der Winkel \alpha nicht bekannt sind, wählen wir die Formel:

\dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Zunächst stellen wir diese Formel nach der gesuchten Größe, also dem Winkel \beta, um:

\sin(\beta) = \dfrac{b \cdot \sin(\gamma)}{c}

Um nicht nur den Sinus des Winkels, sondern den Winkel zu berechnen, wenden wir die Umkehrfunktion des Sinus an, arcsin, die auf dem Taschenrechner mit \sin^{-1} abgekürzt wird:

\beta = \sin^{-1}\Big(\dfrac{b \cdot \sin(\gamma)}{c}\Big)

Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein, erhalten wir für \beta:

\beta = \sin^{-1}\Big(\dfrac{b \cdot \sin(\gamma)}{c}\Big) = \sin^{-1}\Big(\dfrac{10,5 \cdot \sin(87^\circ)}{15}\Big) = 44,35^\circ

Sinussatz – Anwendung

Löse die folgenden Aufgaben mit dem Sinussatz.

Aufgabe 1: Sinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind die folgenden Größen gegeben:
c = 5~\text{cm}
\gamma = 25^\circ
\beta = 95^\circ

Bestimme den fehlenden Winkel \alpha.
Berechne die fehlenden Seiten a und b.

Lösung Aufgabe 1a

Durch den Innenwinkelsatz wissen wir, dass \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ gilt. Somit berechnet sich \alpha als:

\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 95^\circ - 25^\circ = 60^\circ

Lösung Aufgabe 1b
Nach dem Sinussatz gilt:

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Daraus ergibt sich für die Seite a:

a = \dfrac{c \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{5~\text{cm} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(25^\circ)} = 10,2~\text{cm}

Und für die Seite b:

b = \dfrac{c \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \dfrac{5~\text{cm} \cdot \sin(95^\circ)}{\sin(25^\circ)} = 11,8~\text{cm}

Aufgabe 2: Sinussatz beim rechtwinkligen Dreieck

Für ein rechtwinkliges Dreieck sind die folgenden drei Größen gegeben:
a = 15~\text{cm}
b = 10~\text{cm}
\alpha = 90^\circ

Berechne die fehlenden Winkel \beta und \gamma.
Berechne die fehlende Seite c.

Lösung Aufgabe 2a

Nach dem Sinussatz gilt:

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Daraus folgt für den Winkel \beta:

\beta = \sin^{-1}\Big(\dfrac{b \cdot \sin(\alpha)}{a}\Big)

Da \alpha ein rechter Winkel ist, gilt \sin(\alpha) = 1. Daraus folgt für \beta:

\beta = \sin^{-1}\Big(\dfrac{b}{a}\Big) = \sin^{-1}(\dfrac{10~\text{cm}}{15~\text{cm}}) = 41,8^\circ

Den Winkel \gamma können wir über den Innenwinkelsatz berechnen.

\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 90^\circ - 41,8^\circ = 48,2^\circ

Lösung Aufgabe 2b

Nach dem Sinussatz gilt:

\dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Daraus ergibt sich für die Seite c:

c = \dfrac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\alpha)} = \dfrac{15~\text{cm} \cdot \sin(48,2^\circ)}{\sin(90)} = 15~\text{cm} \cdot \sin(48,2^\circ) = 11,2~\text{cm}

Sinussatz Sonderfall – zwei Lösungen

Es kann vorkommen, dass es beim Sinussatz keine eindeutige Lösung gibt. Das ist dann der Fall, wenn zwei Seiten und der Winkel, der der kürzeren Seite gegenüberliegt, gegeben sind. In diesem Fall gibt es drei Möglichkeiten:

  1. keine Lösung: Der Sinuswert des zu berechnenden Winkels ist größer als 1.
  2. genau eine Lösung: Der Sinuswert des zu berechnenden Winkels ist genau 1, das bedeutet, der Winkel ist 90^\circ.
  3. zwei Lösungen: Ein Wert wird vom Taschenrechner berechnet, der andere ergibt sich, wenn der berechnete Wert von 180^\circ abgezogen wird.

Beispiel

a = 5~\text{cm}
b = 3~\text{cm}
\beta = 49^\circ

\sin(\alpha) = \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{b} =\dfrac{5~\text{cm} \cdot \sin(49^\circ)}{3~\text{cm}} = 1,26

Der Sinuswert von \alpha ist größer als 1, weshalb diese Aufgabe keine Lösung besitzt.

Cosinussatz – Definition

Der Cosinussatz (auch Kosinussatz) beschreibt das Verhältnis zwischen den drei Seiten eines beliebigen Dreiecks und einem Winkel. Auch der Cosinussatz gilt für alle Dreiecke.
Die Formeln für den Cosinussatz lauten:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)

Beachte: Die dritte Seite eines Dreiecks können wir nur dann mit dem Cosinussatz berechnen, wenn die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel einschließen.

Cosinussatz im rechtwinkligen Dreieck
Ein besonderer Fall des Cosinussatzes ist der Satz des Pythagoras. Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke und lautet:

c^2 = a^2 + b^2

Dabei muss c die Hypothenuse (also die längste Seite) des Dreiecks sein. Der letzte Term der entsprechenden Formel des Cosinussatzes fällt weg, da \gamma = 90^\circ ist und somit gilt:
\cos(90^\circ) = 0

Cosinussatz – Beispiel

Mit dem Cosinussatz können sowohl Seiten als auch Winkel berechnet werden. Schauen wir uns das an zwei Beispielen genauer an.

Beispiel 1: Seite eines allgemeinen Dreiecks mit dem Cosinussatz berechnen

Von einem allgemeinen Dreieck sind die folgenden drei Größen gegeben:

a = 3~\text{cm}
c = 4~\text{cm}
\beta = 70^\circ

Gesucht ist die Seite b. Nach dem Cosinussatz gilt für b:

b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)}

Setzen wir die Werte ein, erhalten wir für b:

b=\sqrt{\left(3~\text{cm}\right)^2 + \left(4~\text{cm}\right)^2 - 2 \cdot 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot \cos(70^\circ)} = 4,1~\text{cm}

Beispiel 2: Winkel mit dem Cosinussatz berechnen – Cosinussatz umstellen

Sind alle drei Seiten gegeben, können mithilfe des Cosinussatzes auch Winkel berechnet werden. Dafür muss die Formel entsprechend umgestellt werden.

Gegeben sind die drei Seiten:
a=5~\text{cm}
b=4~\text{cm}
c=6~\text{cm}

Gesucht ist der Winkel \alpha. Um diesen zu berechnen, muss der Cosinussatz nach \alpha umgestellt werden:

\begin{array}{rcll} a^2 & = & b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) & \vert -(b^2 + c^2) \\ a^2 - (b^2 + c^2) & = & -2bc \cdot \cos(\alpha) & \vert : -2bc \\ \dfrac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} & = & - \cos(\alpha) & \vert \cos^{-1}\\ \cos^{-1} \Big(\dfrac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc}\Big)& = & \alpha & \\ \end{array}

Nun können wir die gegebenen Werte in die Formel einsetzen und erhalten für \alpha:

\alpha = \cos^{-1} \Big(\dfrac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc}\Big) = \cos^{-1} \Big(\dfrac{\left(5~\text{cm}\right)^2 - \left(4~\text{cm}\right)^2 + 6^2)}{-2 \cdot 4~\text{cm} \cdot 6~\text{cm}}\Big) = 55,8^\circ

Cosinussatz – Anwendung

Die folgenden Größen eines allgemeinen Dreiecks sind gegeben:

a=5~\text{cm}
b=7~\text{cm}
\gamma = 30^\circ

Aufgabe:

Berechne die fehlende Seite c mithilfe des Cosinussatzes.
Berechne die Winkel \alpha und \beta.

Lösung Aufgabe 1a

Nach dem Cosinussatz gilt:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)

Daraus folgt für die Seite c:

c =\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)} = \sqrt{\left(5~\text{cm}\right)^2 + \left(7~\text{cm}\right)^2 - 2\cdot 4~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} \cdot \cos(30^\circ)} = 3,7~\text{cm}

Lösung Aufgabe 1b

Nach dem Cosinussatz gilt:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)

Daraus folgt für \alpha:

\alpha = \cos^{-1} \Big(\dfrac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc}\Big) = \cos^{-1} \Big(\dfrac{\left(5~\text{cm}\right)^2 - (\left(7~\text{cm}\right)^2 + \left(3,7~\text{cm}\right)^2)}{-2 \cdot 7~\text{cm} \cdot 3,7~\text{cm}}\Big) = 43,3^\circ

Den Winkel \beta können wir nun über den Innenwinkelsatz berechnen:

\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 43,3^\circ - 30^\circ = 106,7^\circ

Häufig gestellte Fragen zum Thema Sinussatz und Cosinussatz

Der Sinussatz ist einer der wichtigsten Sätze der Trigonometrie.

Der Sinussatz gibt das Verhältnis zwischen den Seiten und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln eines Dreiecks an.

Der Sinussatz gilt für alle Arten von Dreiecken.

Mit dem Sinussatz können sowohl Seiten als auch Winkel eines Dreiecks berechnet werden.

Zum Rechnen mit dem Sinussatz müssen von zwei Seiten und ihren gegenüberliegenden Winkeln drei Größen gegeben sein. Die Formel kann dann entsprechend nach der gesuchten Größe umgestellt werden. Dabei werden immer nur zwei Verhältnisse gleichgesetzt, also beispielsweise \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{b}{\sin(\beta)} oder \dfrac{a}{\sin(\alpha)} = \dfrac{c}{\sin(\gamma)}.

Der Sinussatz wird zur Berechnung von Seiten und Winkeln in Dreiecken genutzt. Dabei muss mindestens ein Paar aus einer Seite und dem ihr gegenüberliegenden Winkel sowie eine weitere Seite oder ein weiterer Winkel gegeben sein.

Sind Seiten oder Winkel in einem Dreieck gesucht, dann kann der Sinussatz bei der Berechnung verwendet werden.

Sind zwei Seiten eines Dreiecks und der Winkel, der der kürzeren Seite gegenüberliegt, gegeben, hat der Sinussatz entweder keine, eine oder zwei Lösungen.

Der Satz des Pythagoras kann nur bei rechtwinkligen Dreiecken angewandt werden. Zudem gibt er nur das Verhältnis der drei Seiten zueinander an. Der Sinussatz hingegen kann bei allen Dreiecksarten angewandt werden und gibt das Verhältnis zwischen den Seiten und den ihnen gegenüberliegenden Winkeln an. Er kann also auch zur Winkelberechnung genutzt werden.

Der Cosinussatz ist einer der wichtigsten Sätze der Trigonometrie.

Der Cosinussatz gibt das Verhältnis zwischen den drei Seiten und einem Winkel eines Dreiecks an.

Für den Cosinussatz existieren drei Formeln, diese lauten:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta)
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)

Der Cosinussatz gilt für alle Dreiecke.

Ist eine Seite gesucht, kann der Cosinussatz nur angewandt werden, wenn die beiden anderen Seiten und der zwischen ihnen liegende Winkel bekannt sind. Sind alle drei Seiten bekannt, können alle Winkel berechnet werden.

Der Cosinussatz wird zum Berechnen von Seiten und Winkeln eines Dreiecks verwendet. Bei der Berechnung einer Seite ist es wichtig, dass die gegebenen Seiten den gegebenen Winkel einschließen. Ansonsten kann der Cosinussatz nicht verwendet werden.

Der Sinussatz beschreibt in einem Dreieck die Beziehungen zwischen den Seiten und ihren gegenüberliegenden Winkeln, wohingegen der Cosinussatz das Verhältnis aller drei Seiten eines Dreiecks zu einem Winkel beschreibt.

Den Cosinussatz verwenden wir, wenn alle drei Seiten des Dreiecks und keine Winkel gegeben sind. Auch wenn zwei Seiten und der zwischen ihnen liegende Winkel gegeben ist, kann der Cosinussatz verwendet werden. Sind zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel gegeben, dann verwenden wir den Sinussatz. Haben wir eine Seite und zwei Winkel gegeben, dann können wir ebenfalls den Sinussatz verwenden.

Super! Das Thema: Sinussatz und Cosinussatz kannst du schon! Teile deine Learnings und Fragen mit der Community!