Mittlere Änderungsrate – Mathe

Erfahre, wie die mittlere Änderungsrate die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen in einem Intervall darstellt. Entdecke, wie man sie berechnet und den Unterschied zur momentanen Änderungsrate. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Mittlere Änderungsrate

Mittlere Änderungsrate im Überblick
Mittlere Änderungsrate – Definition
Mittlere Änderungsrate berechnen
Momentane und mittlere Änderungsrate – Unterschied
Mittlere Änderungsrate – Beispiel
Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittlere Änderungsrate

Mittlere Änderungsrate im Überblick

Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen in einem Intervall an.
Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante, die den Funktionsgraphen an den Intervallgrenzen schneidet.
Die mittlere Änderungsrate $m$ im Intervall $[a; b]$ wird mit dem Differenzenquotienten berechnet:
$m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Quelle: sofatutor.com

Mittlere Änderungsrate – Definition

Die Steigung einer Sekante, die den Funktionsgraphen in $S_1(a \vert f(a))$ und $S_2(b \vert f(b))$ schneidet, wird als mittlere Änderungsrate $m$ der Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ bezeichnet.
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet. Die Bezeichnung kommt vom lateinischen „secare“, was schneiden bedeutet.
Andere Begriffe für die mittlere Änderungsrate sind beispielsweise durchschnittliche Änderungsrate oder Steigung, Sekantensteigung und Durchschnittssteigung.
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie sich die Funktionswerte pro Einheit innerhalb eines festgelegten Intervalls durchschnittlich ändern.

Mittlere Änderungsrate berechnen

Berechnet wird die mittlere Änderungsrate $m$ mit dem Differenzenquotienten. Dieser entspricht der Berechnung einer Geradensteigung über ein Steigungsdreieck. Sind die Punkte $P(a \vert f(a))$ und $Q(b \vert f(b))$ gegeben, dann lautet die Formel für die mittlere Änderungsrate $m$ :

$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Die mittlere Änderungsrate gibt die Steigung der Sekante im Intervall $[a ; b]$ an

Quelle sofatutor.com

Momentane und mittlere Änderungsrate – Unterschied

Die folgende Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen der mittleren und der momentanen (lokalen) Änderungsrate auf.

	Momentane Änderungsrate	Mittlere Änderungsrate
Ziel	lokale Steigung in einem Punkt	mittlere Steigung in einem Intervall
Formel	Differenzialquotient	Differenzenquotient
grafische Bedeutung	Steigung einer Tangente	Steigung einer Sekante
Beispiel	Geschwindigkeit eines Läufers $10~\text{min}$ nach dem Start	Durchschnittsgeschwindigkeit eines Läufers im mittleren Streckenabschnitt

Mittlere Änderungsrate – Beispiel

Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir die mittlere Änderungsrate anhand eines Beispiels bestimmen können.

Mittlere Änderungsrate – Aufgabe
Eine Bergtour hat mehrere Etappen. Die Distanz vom Start der Bergtour wird durch die $x$ -Koordinate angegeben. Die Höhenmeter werden durch die $y$ -Koordinate angegeben. Für die letzte Etappe vor dem Gipfel wollen wir nun die mittlere Änderungsrate berechnen.
Die Etappe startet bei der Distanz $a = 13\,200~\text{m}$ und der Höhe $f(a) = 2\,874~\text{m}$ . Sie endet bei $b = 16\,200~\text{m}$ und der Höhe $f(b) = 2\,962~\text{m}$ .

Mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen
Um die mittlere Änderungsrate zu bestimmen, setzen wir diese vier Werte nun in den Differenzenquotienten ein und erhalten für $m$ :

$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{2\,962~\text{m} - 2\,874~\text{m}}{16\,200~\text{m} - 13\,200~\text{m}} = \dfrac{88~\text{m}}{3\,000~\text{m}} \approx 0,\!03$

Auf dieser Etappe legt man im Durchschnitt also circa $3$ Höhenmeter auf einer Distanz von $100~\text{m}$ zurück.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittlere Änderungsrate

Was gibt die mittlere Änderungsrate an?

Die mittlere Änderungsrate $m$ gibt die Steigung einer Sekante an. Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet.

Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate?

Die mittlere Änderungsrate berechnet sich mit dem Differenzenquotienten. Sind die Punkte $A(a \vert f(a))$ und $B(b \vert f(b))$ gegeben, dann lautet die Formel für die mittlere Änderungsrate $m$ :
$m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$