Mittlere Änderungsrate – Mathe

Erfahre, wie die mittlere Änderungsrate die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen in einem Intervall darstellt. Entdecke, wie man sie berechnet und den Unterschied zur momentanen Änderungsrate. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Mittlere Änderungsrate

Mittlere Änderungsrate im Überblick

  • Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Steigung eines Funktionsgraphen in einem Intervall an.

  • Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung einer Sekante, die den Funktionsgraphen an den Intervallgrenzen schneidet.
  • Die mittlere Änderungsrate m im Intervall [a; b] wird mit dem Differenzenquotienten berechnet:
    m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Mittlere Änderungsrate: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Mittlere Änderungsrate – Definition

Die Steigung einer Sekante, die den Funktionsgraphen in S_1(a \vert f(a)) und S_2(b \vert f(b)) schneidet, wird als mittlere Änderungsrate m der Funktion f im Intervall [a; b] bezeichnet.
Eine Sekante ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in zwei Punkten schneidet. Die Bezeichnung kommt vom lateinischen „secare“, was schneiden bedeutet.
Andere Begriffe für die mittlere Änderungsrate sind beispielsweise durchschnittliche Änderungsrate oder Steigung, Sekantensteigung und Durchschnittssteigung.
Die mittlere Änderungsrate gibt an, wie sich die Funktionswerte pro Einheit innerhalb eines festgelegten Intervalls durchschnittlich ändern.

Mittlere Änderungsrate berechnen

Berechnet wird die mittlere Änderungsrate m mit dem Differenzenquotienten. Dieser entspricht der Berechnung einer Geradensteigung über ein Steigungsdreieck. Sind die Punkte P(a \vert f(a)) und Q(b \vert f(b)) gegeben, dann lautet die Formel für die mittlere Änderungsrate m:

m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

Die mittlere Änderungsrate gibt die Steigung der Sekante im Intervall [a ; b] an

mittlere Änderungsrate

Quelle sofatutor.com

Momentane und mittlere ÄnderungsrateUnterschied

Die folgende Tabelle zeigt die Unterschiede zwischen der mittleren und der momentanen (lokalen) Änderungsrate auf.

Momentane Änderungsrate Mittlere Änderungsrate
Ziel lokale Steigung in einem Punkt mittlere Steigung in einem Intervall
Formel Differenzialquotient Differenzenquotient
grafische Bedeutung Steigung einer Tangente Steigung einer Sekante
Beispiel Geschwindigkeit eines Läufers 10~\text{min} nach dem Start Durchschnittsgeschwindigkeit eines Läufers im mittleren Streckenabschnitt

Mittlere Änderungsrate – Beispiel

Im Folgenden schauen wir uns an, wie wir die mittlere Änderungsrate anhand eines Beispiels bestimmen können.

Mittlere Änderungsrate – Aufgabe
Eine Bergtour hat mehrere Etappen. Die Distanz vom Start der Bergtour wird durch die x-Koordinate angegeben. Die Höhenmeter werden durch die y-Koordinate angegeben. Für die letzte Etappe vor dem Gipfel wollen wir nun die mittlere Änderungsrate berechnen.
Die Etappe startet bei der Distanz a = 13\,200~\text{m} und der Höhe f(a) = 2\,874~\text{m}. Sie endet bei b = 16\,200~\text{m} und der Höhe f(b) = 2\,962~\text{m}.

Mittlere Änderungsrate im Intervall berechnen
Um die mittlere Änderungsrate zu bestimmen, setzen wir diese vier Werte nun in den Differenzenquotienten ein und erhalten für m:

m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{2\,962~\text{m} - 2\,874~\text{m}}{16\,200~\text{m} - 13\,200~\text{m}} = \dfrac{88~\text{m}}{3\,000~\text{m}} \approx 0,\!03

Auf dieser Etappe legt man im Durchschnitt also circa 3 Höhenmeter auf einer Distanz von 100~\text{m} zurück.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittlere Änderungsrate

Die mittlere Änderungsrate m gibt die Steigung einer Sekante an. Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in zwei Punkten schneidet.

Die mittlere Änderungsrate berechnet sich mit dem Differenzenquotienten. Sind die Punkte A(a \vert f(a)) und B(b \vert f(b)) gegeben, dann lautet die Formel für die mittlere Änderungsrate m:
m = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}

Bei der momentanen Änderungsrate handelt es sich um die Ableitung. Sie wird als Grenzwert der mittleren Änderungsrate gebildet.

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