Brüche, Bruchrechnung und Brucharten – Erklärung und Definition

Brüche bestehen aus Zähler und Nenner, die durch einen Bruchstrich getrennt sind. Lerne, wie man mit Brüchen rechnet und welche verschiedenen Brucharten es gibt.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Brüche

Das Quiz zum Thema: Brüche

Was ist ein echter Bruch?

Frage 1 von 5

Wie viele Elemente besteht ein Bruch?

Frage 2 von 5

Was ist ein gemischter Bruch?

Frage 3 von 5

Was ist ein Stammbruch?

Frage 4 von 5

Wie vergleicht man unechte Brüche?

Frage 5 von 5

Brüche im Überblick

  • Ein Bruch hat einen Zähler und einen Nenner, die durch einen waagrechten Strich, den sogenannten Bruchstrich, getrennt sind.

  • Der Bruchstrich steht für das Geteiltzeichen (:).

  • Mit Brüchen können Anteile dargestellt werden.
  • Es gibt verschiedene Arten von Brüchen, zum Beispiel Stammbrüche, Scheinbrüche und gemischte Brüche.
Brüche: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Bedeutung eines Bruchs

Ein Bruch besteht aus drei Elementen: zwei Zahlen und einem Bruchstrich. Die Zahl, die oberhalb des Bruchstrichs steht, heißt Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich Nenner.

Erklärung – Zähler und Nenner

Ein Bruch besteht aus drei Elementen: zwei Zahlen und einem Bruchstrich. Die Zahl, die oberhalb des Bruchstrichs steht, heißt Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich Nenner.
Der Nenner eines Bruchs gibt dabei an, in wie viele Teile ein Ganzes unterteilt wird. Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile vorhanden sind.

Zähler und Nenner

In Mathe können Brüche einfach erklärt werden, indem wir sie grafisch darstellen.

Brüche darstellen

Hier siehst du ein Rechteck, das in 8 gleich große Quadrate unterteilt ist. 3 der Quadrate sind markiert. Diesen Anteil 3 von 8 können wir als Bruch schreiben:
\dfrac{3}{8}

Dabei steht im Nenner, in wie viele Teile die Figur unterteilt wurde, also 8, und im Zähler, wie viele dieser Teile markiert sind, hier 3

Wenn Brüche auf dem Zahlenstrahl markiert werden, wird der Bereich zwischen zwei ganzen Zahlen in gleich große Teile unterteilt. Die Anzahl der Teile muss dabei dem Nenner des Bruchs oder einem Vielfachen des Nenners entsprechen, damit Brüche exakt eingetragen werden können.

Betrachten wir ein Beispiel:

Brüche auf dem Zahlenstrahl

Auf dem Zahlenstrahl ist der Bereich zwischen den ganzen Zahlen 0 und 1 in fünf gleich große Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte hat daher die Breite \dfrac{1}{5}. Zur Beschriftung können wir abzählen: \dfrac{1}{5}, ~\dfrac{2}{5}, ~\dfrac{3}{5} ~\dots

Rechnen mit Brüchen

Beim Rechnen mit Brüchen gelten spezielle Regeln. Viele Gesetze aus der Mathematik, die du von ganzen Zahlen kennst, kannst du allerdings auch bei Brüchen anwenden, zum Beispiel das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

Regeln zum Bruchrechnen erklärt:

Rechenart Regel Beispiel
Addition Bei gleichem Nenner werden die Zähler addiert. \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}
Subtraktion Bei gleichem Nenner werden die Zähler subtrahiert. \frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{5-2}{7} = \frac{3}{7}
Multiplikation Es wird Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet. \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1\, \cdot \,3}{2\, \cdot \,4} = \frac{3}{8}
Division Es wird mit dem Kehrbruch des Divisors multipliziert. \frac{1}{5} : \frac{3}{2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15}

Außerdem können Brüche gekürzt und erweitert werden. Dabei verändern sich Zähler und Nenner des Bruchs, der Wert bleibt jedoch unverändert. So können Brüche zum Beispiel für die Addition und Subtraktion auf den gleichen Nenner gebracht werden. 

Brucharten

Wir können Brüche anhand bestimmter Merkmale verschiedenen Brucharten zuteilen.

  • Echter Bruch – Definition

Ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner, wird als echter Bruch bezeichnet. Sein Wert ist damit kleiner als eins.

  • Unechter Bruch – Definition

Im Gegensatz zum echten Bruch ist beim unechten Bruch der Zähler größer oder gleich dem Nenner. Sein Wert ist damit größer oder gleich eins.

  • Gemischter Bruch – Definition

Ein gemischter Bruch besteht aus einer ganzen Zahl und einem Bruch, die ohne Rechenzeichen hintereinanderstehen. Der Wert des gemischten Bruchs ist die Summer aus der ganzen Zahl und dem Bruch.
Unechte Brüche können wir in gemischte Brüche umwandeln. Einfach erklärt ist ein gemischter Bruch also ein unechter Bruch, der als ganze Zahl und echter Bruch geschrieben wird. 

  • Scheinbruch – Definition

Ein Scheinbruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist. Sein Wert entspricht einer ganzen Zahl, die nur durch die Schreibweise wie ein Bruch erscheint. 

  • Stammbruch – Definition

Brüche mit einer eins im Zähler werden Stammbruch genannt. Sie sind echte Brüche mit einem Wert kleiner als eins.

  • Doppelbruch – Definition

Als Doppelbruch wird ein Bruch bezeichnet, bei dem im Zähler oder Nenner ein Bruch steht. Es können auch Zähler und Nenner Brüche oder Doppelbrüche sein.

Doppelbrüche

Wir berechnen einen Doppelbruch, indem wir den Hauptbruchstrich als : interpretieren und dann die Brüche wie gewohnt dividieren:
\dfrac{\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{5} : \frac{1}{3} = \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{1} = \frac{6}{5}

Übersicht der Brucharten:

Bezeichnung Erklärung Beispiele
echter Bruch Zähler < Nenner \frac{2}{3}, ~\frac{1}{7}, ~\frac{15}{121}
unechter Bruch Zähler \geq Nenner \frac{5}{3}, ~\frac{7}{7}, ~\frac{100}{19}
gemischter Bruch Er besteht aus ganzer Zahl und Bruch. 1\frac{2}{3}, ~7\frac{3}{7}, ~15\frac{4}{19}
Scheinbruch Zähler ist Vielfaches des Nenners. \frac{6}{3}, ~\frac{7}{7}, ~\frac{484}{121}
Stammbruch Zähler ist 1. \frac{1}{3}, ~\frac{1}{17}, ~\frac{1}{2}
Doppelbruch Bruch im Zähler und/oder Nenner \dfrac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{3}}, \dfrac{3}{\frac{5}{9}}, \dfrac{\frac{3}{7}}{2}

Häufige gestellte Fragen zu Brüchen

Ein Bruch ist eine Zahl, die durch einen Zähler und einen Nenner dargestellt wird, die durch einen Bruchstrich voneinander getrennt sind.

Für das Rechnen mit Brüchen gibt es Regeln. Zum Beispiel können wir zwei Brüche mit gleichem Nenner addieren, indem wir die Zähler der Brüche addieren und den Nenner beibehalten.

Mit Bruchrechnen ist das Rechnen mit Brüchen gemeint. Wir können diese wie andere Zahlen zum Beispiel addieren oder multiplizieren.

Das Rechnen mit Brüchen wird meist in der 5. oder 6. Klasse behandelt.

Wir behandeln hier sechs Arten von Brüchen. Ein Bruch kann aber auch gleichzeitig zu mehreren Arten gehören. So ist zum Beispiel \dfrac{1}{3} ein echter Bruch und ein Stammbruch.

Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner, heißen echte Brüche.
Beispiele: \dfrac{3}{8}, ~\dfrac{1}{2}, ~\dfrac{9}{10}

Um einen Anteil als echten Bruch zu berechnen, wird der Anteil durch das Ganze geteilt. Wenn zum Beispiel von 15 Kugeln 4 rot sind, dann entspricht das dem Bruch \dfrac{4}{15}.

Bei einem unechten Bruch steht im Zähler eine Zahl, die größer oder gleich der Zahl im Nenner ist.
Beispiele: \dfrac{8}{3}, ~\dfrac{5}{2}, ~\dfrac{11}{10}

Bei einem gemischten Bruch stehen eine ganze Zahl und ein Bruch ohne Rechenzeichen hintereinander.
Beispiele: 1\dfrac{3}{8}, ~5\dfrac{1}{2}, ~10\dfrac{9}{10}

Einfach erklärt ist ein Scheinbruch in Mathe eine ganze Zahl, die als Bruch dargestellt wird. Der Wert eines Scheinbruchs wird berechnet durch Division von Zähler und Nenner.
Beispiel: \dfrac{9}{3} = 9 : 3 = 3

Einfach erklärt ist ein Stammbruch in Mathe ein Bruch, bei dem im Zähler die Zahl 1 steht. Ein Stammbruch berechnet also immer genau einen Bruchteil.

Einfach erklärt ist ein Doppelbruch in Mathe ein Bruch, der einen Bruch im Zähler oder Nenner enthält.
Beispiele: \dfrac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{3}}, ~\dfrac{1}{\frac{5}{7}}, ~\dfrac{\frac{3}{10}}{2}

Ein gemischter Bruch (auch gemischte Zahl) besteht aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch.

Ein Bruch ist unecht, wenn sein Wert größer oder gleich 1 ist. Dann ist auch sein Zähler größer oder gleich dem Nenner.

Brüche, die im Zähler und im Nenner einen gemeinsamen Faktor haben, können gekürzt werden, dies gilt auch für unechte Brüche. Auch nach dem Kürzen erhalten wir erneut einen unechten Bruch.
Beispiel: \dfrac{8}{6} = \dfrac{8 : 2}{6 : 2} = \dfrac{4}{3}

Wenn wir eine ganze Zahl als Bruch schreiben, dann erhalten wir immer einen unechten Bruch. In diesem speziellen Fall wird der unechte Bruch auch Scheinbruch genannt.

Unechte Brüche werden, wie alle Brüche, subtrahiert, indem bei gleichem Nenner die Zähler subtrahiert werden und der Nenner beibehalten wird.

Ein gemischter Bruch enthält stets eine ganze Zahl und einen Bruch. Daher hat er einen Wert größer als 1 und ist somit kein echter Bruch.
Wir können einen gemischten Bruch als unechten Bruch schreiben, indem wir die ganze Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner multiplizieren und diesen Wert zum Zähler addieren.
Beispiel: 2\dfrac{3}{7} = \dfrac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \dfrac{17}{7}

Ein echter Bruch hat einen Wert kleiner als 1, wir können ihn daher nicht als gemischte Zahl schreiben, da es keinen ganzzahligen Anteil gibt.
Eine Umwandlung ist nur zwischen unechten Brüchen und gemischten Zahlen möglich.

Bei einem echten Bruch ist der Zähler kleiner als der Nenner.
Bei einem unechten Bruch muss dagegen der Zähler mindestens so groß sein wie der Nenner.

Unechte Brüche können wie echte Brüche verglichen werden. Dazu bringen wir sie auf den gleichen Nenner und vergleichen die Zähler.
Es ist auch möglich, die Brüche als gemischte Brüche zu schreiben und dann zunächst die ganzen Zahlen und bei Gleichheit die echten Brüche zu vergleichen.

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