Potenzgesetze – Übersicht, Erklärung und Beispiele

Die Potenzgesetze sind Rechenregeln für Potenzen. Erfahre, wie man mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten rechnet und sogar Brüche und Wurzeln umschreibt. Interessiert? Dies und vieles mehr finden Sie im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Potenzgesetze

Potenzgesetze im Überblick
Potenzen – Wiederholung
Potenzen – Sonderfälle
Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis
Potenzgesetz für die Multiplikation bei gleicher Basis
Potenzgesetz für die Division bei gleicher Basis
Potenzen von Potenzen
Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten
Potenzgesetz für die Multiplikation bei unterschiedlicher Basis
Potenzgesetz für die Division bei unterschiedlicher Basis
Potenzgesetze – Brüche und Wurzeln
Potenzgesetze – Aufgaben
Potenzgesetze – Zusammenfassung
Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzgesetze

Potenzgesetze im Überblick

Die Potenzgesetze sind Rechenregeln für Potenzen.
Es gibt Potenzregeln für Potenzen mit gleicher Basis und für Potenzen mit gleichem Exponenten.

Quelle sofatutor.com

Bildergalerie zum Thema Potenzgesetze

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Potenzgesetze Multiplikation und Division

Multiplikation und Division bei gleicher Basis

Multiplikation und Division bei gleichen Exponenten

Potenzen – Wiederholung

Eine Potenz $a^n$ ist eine kurze Schreibweise für eine mehrfache Multiplikation der gleichen Zahl. Sie besteht aus einer Basis $a$ , die angibt, welche Zahl multipliziert wird, und aus einem Exponenten $n$ , der festlegt, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Durch Ausführung der Multiplikation kann der Potenzwert berechnet werden.

Wenn Potenzen Variablen enthalten oder in einer Rechnung mehrere Potenzen vorkommen, möchten wir mit den Potenzen umformen und rechnen können. Dazu gibt es in Mathe Regeln für die Potenzrechnung, die wir beachten müssen: die Potenzgesetze, die im Folgenden einfach erklärt werden.

Potenzen – Sonderfälle

Wir wollen hier kurz betrachten, wie sich der Potenzwert verhält, wenn in der Basis oder im Exponenten die Zahlen $0$ und $1$ vorkommen.

	Regel	Beispiel
$1$ als Exponent	$a^1 = a$	$5^1 = 5$
$1$ als Basis	$1^n = 1$	$1^3 = 1$
$0$ als Exponent	$a^0 = 1$	$7^0 = 1$
$0$ als Basis	$0^n = 0$ für $n \neq 0$ $0^0 = 1$	$0^7 = 0$

Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis

Die ersten beiden Potenzgesetze geben an, wie wir mit Potenzen mit gleicher Basis rechnen.

Potenzgesetz für die Multiplikation bei gleicher Basis

Werden Potenzen mit gleicher Basis $a$ multipliziert, dann gilt:

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

Das erste Potenzgesetz besagt also, dass eine Addition im Exponenten einem Produkt von Potenzen mit gleicher Basis entspricht. Der neue Exponent ist die Summe der Exponenten der Faktoren.

Beispiel: $3^2 \cdot 3^5 = (3\cdot 3)\cdot(3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3)= 3^{2+5} = 3^7$

Potenzgesetz für die Division bei gleicher Basis

Werden Potenzen mit gleicher Basis $a$ dividiert, dann gilt:

$a^n : a^m = \dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

Das zweite Potenzgesetz besagt also, dass eine Subtraktion im Exponenten einer Division von Potenzen mit gleicher Basis entspricht. Der neue Exponent ist die Differenz aus den Exponenten von Dividend und Divisor.

Beispiel: $5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$

Potenzen von Potenzen

Wird eine Potenz erneut mit einem Exponenten potenziert, dann entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Potenz mit sich selbst. Wir können hier also nach dem ersten Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis im Exponenten aufsummieren. Zum Beispiel wäre $(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2 = x^{2+2+2} = x^6$ . Da das Summieren mit der gleichen Zahl einem Produkt entspricht, können wir auch kürzer schreiben: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ . Dies ist das dritte Potenzgesetz zur Potenzierung von Potenzen.

Allgemein gilt:
$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten

Wir betrachten noch zwei weitere Potenzgesetze, die das Rechnen mit Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten ermöglichen.

Potenzgesetz für die Multiplikation bei unterschiedlicher Basis

Werden Potenzen mit den Basen $a$ und $b$ mit gleichem Exponenten $n$ multipliziert, dann gilt:

$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Das vierte Potenzgesetz besagt also, dass das Produkt aus zwei Basen mit gleichem Exponenten in einer Klammer mit dem gemeinsamen Exponenten zusammengefasst werden kann.

Beispiel: $3^5 \cdot 2^5 = (3 \cdot 2)^5 = 6^5$

Potenzgesetz für die Division bei unterschiedlicher Basis

Werden Potenzen mit unterschiedlichen Basen $a$ und $b$ und gleichem Exponenten $n$ dividiert, dann gilt:

$a^n : b^n = (a : b)^n$

Das fünfte Potenzgesetz besagt also, dass der Quotient aus zwei Basen mit gleichem Exponenten in einer Klammer mit dem gemeinsamen Exponenten zusammengefasst werden kann.

Beispiel: $10^3 : 2^3 = (10 : 2)^3 = 5^3$

Potenzgesetze – Brüche und Wurzeln

Besitzt eine Potenz einen negativen Exponenten oder steht im Exponent ein Bruch, dann können wir die Potenzgesetze anwenden, um diese als Bruch oder Wurzel zu schreiben. Es gilt:

Negativer Exponent: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Rationaler Exponent: $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

Wir wollen nun mit den ersten beiden Potenzgesetzen den Beweis für die Regel mit negativen Exponenten an einem Beispiel zeigen:
Wir betrachten den Bruch $\dfrac{a^3}{a^5}$ . Diesen können wir nach dem zweiten Potenzgesetz durch Subtrahieren der Exponenten vereinfachen:

$\dfrac{a^3}{a^5} = a^3 : a^5 = a^{3-5} = a^{-2}$

Wir erhalten den negativen Exponenten $-2$ .

Den Bruch können wir auch mit $a^3$ kürzen, wenn wir zuvor das erste Potenzgesetz im Nenner anwenden:

$\dfrac{a^3}{a^5} = \dfrac{a^3}{a^{3+2}} = \drac{a^3}{a^3 \cdot a^2} = \dfrac{1}{a^2}$

Damit gilt:

$a^{-2} = \dfrac{a^3}{a^5} = \dfrac{1}{a^2}$

Potenzgesetze – Aufgaben

Wir wollen nun die Potenzgesetze nutzen, um Terme mit Potenzen zu vereinfachen.
Beispiel 1:

$\dfrac{27x^3}{8y^3} = \dfrac{3^3 \cdot x^3}{2^3 \cdot y^3} = \dfrac{(3x)^3}{(2y)^3} = \left(\dfrac{3x}{2y}\right)^3$

Beispiel 2:

$\sqrt[3]{x^{10}} = x^{\frac{10}{3}} = x^{3 + \frac{1}{3}} = x^3 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^3 \cdot \sqrt[3]{x}$

Potenzgesetze – Zusammenfassung

Die folgende Tabelle enthält eine Übersicht über alle Potenzgesetze.

	Potenzregel	Beispiel
erstes Potenzgesetz	$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$	$x^5 \cdot x^3 = x^8$
zweites Potenzgesetz	$a^n : a^m = a^{n-m}$	$x^5 : x^3 = x^2$
drittes Potenzgesetz	$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$	$(x^5)^3 = x^{15}$
viertes Potenzgesetz	$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$	$x^3 \cdot y^3 = (xy)^3$
fünftes Potenzgesetz	$a^n : b^n = (a : b)^n$	$x^3 : y^3 = (x : y)^3$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzgesetze

Wie viele Potenzgesetze gibt es?

Es gibt fünf Potenzgesetze.

Wie lauten die fünf Potenzgesetze (Potenzregeln)?

Die fünf Potenzgesetze im Überblick:

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
$a^n : a^m = a^{n-m}$
$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$
$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$
$a^n : b^n = (a : b)^n$

Warum ist 8 hoch 0 gleich 1?

Betrachten wir $8^2 \cdot 8^0$ . Nach dem ersten Potenzgesetz gilt:

$8^2 \cdot 8^0 = 8^{2+0} = 8^2 = 64$

Der Termwert ist also $64$ . Wir setzen diesen ein und lösen nach $8^0$ auf:

$\begin{array}{ccrcll} 8^2 & \cdot & 8^0 & = & 64 & \\ 64 & \cdot & 8^0 & = & 64 & \vert : 64 \\ & & 8^0 & = & 64 : 64 & \\ & & 8^0 & = & 1 & \end{array}$

Wie addiert und subtrahiert man Potenzen?

Potenzen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Ansonsten kann eine Summe aus Potenzen in der Regel nicht weiter vereinfacht werden.

Beispiel:
$2x^2 + x - y^2 - 5x^2 = x - 3x^2 - y^2$

Nur die beiden Terme, die die identische Potenz $x^2$ enthalten, können zusammengefasst werden.

Werden Potenzen addiert oder multipliziert?

In einem Term können Potenzen addiert oder multipliziert werden. Die Potenzgesetze erlauben es Potenzen, die multipliziert werden, zusammenzufassen, wenn diese die gleiche Basis oder den gleichen Exponenten haben.

Was ist, wenn die Potenz 0 ist?

Der Wert einer Potenz ist nur dann $0$ , wenn die Basis $0$ ist: $0^n = 0$ für $n \el \mathbb{N}$
Steht eine $0$ im Exponenten einer Potenz, dann ist der Potenzwert $1$ , allgemein: $a^0 = 1$

Wie kann man Potenzen umschreiben?

Potenzen können durch Anwendung der Potenzgesetze umgeschrieben werden. Dabei gelten die Regeln der Potenzgesetze in beide Richtungen. Wir können also nach dem ersten Potenzgesetz anstelle von $x^5$ zum Beispiel $x^2 \cdot x^3$ oder $x^1 \cdot x^4$ schreiben, weil $2+3$ und $1+4$ jeweils $5$ ergeben.