Potenzgesetze – Übersicht, Erklärung und Beispiele
Die Potenzgesetze sind Rechenregeln für Potenzen. Erfahre, wie man mit gleicher Basis oder gleichem Exponenten rechnet und sogar Brüche und Wurzeln umschreibt. Interessiert? Dies und vieles mehr finden Sie im folgenden Text!
Inhaltsverzeichnis zum Thema Potenzgesetze
Potenzgesetze im Überblick
Quelle sofatutor.com
Potenzen – Wiederholung
Eine Potenz 
ist eine kurze Schreibweise für eine mehrfache Multiplikation der gleichen Zahl. Sie besteht aus einer Basis 
, die angibt, welche Zahl multipliziert wird, und aus einem Exponenten 
, der festlegt, wie oft die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Durch Ausführung der Multiplikation kann der Potenzwert berechnet werden.
Wenn Potenzen Variablen enthalten oder in einer Rechnung mehrere Potenzen vorkommen, möchten wir mit den Potenzen umformen und rechnen können. Dazu gibt es in Mathe Regeln für die Potenzrechnung, die wir beachten müssen: die Potenzgesetze, die im Folgenden einfach erklärt werden.
Potenzen – Sonderfälle
Wir wollen hier kurz betrachten, wie sich der Potenzwert verhält, wenn in der Basis oder im Exponenten die Zahlen 
und 
vorkommen.
| Regel | Beispiel | |
|---|---|---|
| als Exponent |
 |
 |
| als Basis |
 |
 |
| als Exponent |
 |
 |
| als Basis |
 für   |
 |
Potenzgesetze – Potenzen mit gleicher Basis
Die ersten beiden Potenzgesetze geben an, wie wir mit Potenzen mit gleicher Basis rechnen.
Potenzgesetz für die Multiplikation bei gleicher Basis
Werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, dann gilt:
Das erste Potenzgesetz besagt also, dass eine Addition im Exponenten einem Produkt von Potenzen mit gleicher Basis entspricht. Der neue Exponent ist die Summe der Exponenten der Faktoren.
Beispiel: 
Potenzgesetz für die Division bei gleicher Basis
Werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert, dann gilt:
Das zweite Potenzgesetz besagt also, dass eine Subtraktion im Exponenten einer Division von Potenzen mit gleicher Basis entspricht. Der neue Exponent ist die Differenz aus den Exponenten von Dividend und Divisor.
Beispiel: 
Potenzen von Potenzen
Wird eine Potenz erneut mit einem Exponenten potenziert, dann entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Potenz mit sich selbst. Wir können hier also nach dem ersten Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis im Exponenten aufsummieren. Zum Beispiel wäre 
. Da das Summieren mit der gleichen Zahl einem Produkt entspricht, können wir auch kürzer schreiben: 
. Dies ist das dritte Potenzgesetz zur Potenzierung von Potenzen.
Allgemein gilt:
Potenzgesetze – Potenzen mit gleichem Exponenten
Wir betrachten noch zwei weitere Potenzgesetze, die das Rechnen mit Potenzen mit unterschiedlicher Basis und gleichem Exponenten ermöglichen.
Potenzgesetz für die Multiplikation bei unterschiedlicher Basis
Werden Potenzen mit den Basen und 
mit gleichem Exponenten multipliziert, dann gilt:
Das vierte Potenzgesetz besagt also, dass das Produkt aus zwei Basen mit gleichem Exponenten in einer Klammer mit dem gemeinsamen Exponenten zusammengefasst werden kann.
Beispiel: 
Potenzgesetz für die Division bei unterschiedlicher Basis
Werden Potenzen mit unterschiedlichen Basen und und gleichem Exponenten dividiert, dann gilt:
Das fünfte Potenzgesetz besagt also, dass der Quotient aus zwei Basen mit gleichem Exponenten in einer Klammer mit dem gemeinsamen Exponenten zusammengefasst werden kann.
Beispiel: 
Potenzgesetze – Brüche und Wurzeln
Besitzt eine Potenz einen negativen Exponenten oder steht im Exponent ein Bruch, dann können wir die Potenzgesetze anwenden, um diese als Bruch oder Wurzel zu schreiben. Es gilt:
- Negativer Exponent:
- Rationaler Exponent:
![a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}](https://easy-schule.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-66ead7433f7b5ec9a2b5d44ae60faa91_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wir wollen nun mit den ersten beiden Potenzgesetzen den Beweis für die Regel mit negativen Exponenten an einem Beispiel zeigen:
Wir betrachten den Bruch 
. Diesen können wir nach dem zweiten Potenzgesetz durch Subtrahieren der Exponenten vereinfachen:
Wir erhalten den negativen Exponenten 
.
Den Bruch können wir auch mit 
kürzen, wenn wir zuvor das erste Potenzgesetz im Nenner anwenden:
Damit gilt:
Potenzgesetze – Aufgaben
Wir wollen nun die Potenzgesetze nutzen, um Terme mit Potenzen zu vereinfachen.
Beispiel 1:
Beispiel 2:
![\sqrt[3]{x^{10}} = x^{\frac{10}{3}} = x^{3 + \frac{1}{3}} = x^3 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^3 \cdot \sqrt[3]{x}](https://easy-schule.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-205b42224bdb1e8a9c56d83123589817_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Potenzgesetze – Zusammenfassung
Die folgende Tabelle enthält eine Übersicht über alle Potenzgesetze.
| Potenzregel | Beispiel | |
|---|---|---|
| erstes Potenzgesetz | |
 |
| zweites Potenzgesetz |  |
 |
| drittes Potenzgesetz | |
 |
| viertes Potenzgesetz | |
 |
| fünftes Potenzgesetz | |
 |
Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzgesetze
Es gibt fünf Potenzgesetze.
Betrachten wir 
. Nach dem ersten Potenzgesetz gilt:
Der Termwert ist also 
. Wir setzen diesen ein und lösen nach 
auf:
Potenzen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in Basis und Exponent übereinstimmen. Ansonsten kann eine Summe aus Potenzen in der Regel nicht weiter vereinfacht werden.
Beispiel:
Nur die beiden Terme, die die identische Potenz 
enthalten, können zusammengefasst werden.
In einem Term können Potenzen addiert oder multipliziert werden. Die Potenzgesetze erlauben es Potenzen, die multipliziert werden, zusammenzufassen, wenn diese die gleiche Basis oder den gleichen Exponenten haben.
Der Wert einer Potenz ist nur dann , wenn die Basis ist: für 
Steht eine im Exponenten einer Potenz, dann ist der Potenzwert , allgemein:
Potenzen können durch Anwendung der Potenzgesetze umgeschrieben werden. Dabei gelten die Regeln der Potenzgesetze in beide Richtungen. Wir können also nach dem ersten Potenzgesetz anstelle von 
zum Beispiel 
oder 
schreiben, weil 
und 
jeweils 
ergeben.
Potenzen können häufig durch geschicktes Umschreiben und Zusammenfassen nach den Potenzgesetzen vereinfacht werden.