Extremwertaufgaben – Definition, Erklärung und Beispiele

Lerne, wie Extremwertaufgaben die Suche nach maximalen oder minimalen Werten einer Größe darstellen. Haupt- und Nebenbedingungen sowie das Vorgehen zur Bestimmung von Extrempunkten werden erklärt. Interessiert? Weitere Beispiele und Anwendungen findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Extremwertaufgaben

Extremwertaufgaben im Überblick

  • Bei Extremwertaufgaben geht es darum, die Werte von Variablen zu bestimmen, für die eine bestimmte Größe einen möglichst großen oder kleinen Wert annimmt.

  • Zusätzliche Bedingungen, die im Rahmen eines Extremwertproblems gelten, werden Nebenbedingungen genannt. 

  • Die Nullstellen der Ableitung der Zielfunktion liefern mögliche Extrempunkte.

  • Der gesuchte maximale oder minimale Wert bei einer Extremwertaufgabe kann auch am Rand des Definitionsbereichs liegen.

Extremwertaufgaben Lernvideo

Quelle sofatutor.com

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Extremwertaufgaben einfach erklärt

Extremwertaufgaben sind in Mathe Aufgaben, bei denen eine Größe maximal oder minimal werden soll. Das heißt, es wird nach einem oder mehreren Werten gesucht, für die sich ein möglichst großer oder ein möglichst kleiner Wert ergibt. Um solche Extremwertprobleme zu lösen, müssen wir die gegebenen Zusammenhänge und Bedingungen als mathematische Gleichungen formulieren. Da die Extremwerte von Funktionen mithilfe der Ableitung bestimmt werden können, werden Extremwertaufgaben auch in der Analysis (Funktionenlehre) behandelt. 

Extremwertaufgaben lösen

Das Lösen einer Extremwertaufgabe erfolgt im Allgemeinen in folgenden Schritten:

  • Formulieren der Hauptbedingung und des Definitionsbereichs

Die Hauptbedingung ist ein Term, der die zu maximierende oder zu minimierende Größe berechnet. Er hängt von einer oder mehreren Variablen ab. Für diese Variablen muss ein im Kontext der Aufgabe sinnvoller Definitionsbereich festgelegt werden.

  • Formulieren der Nebenbedingungen

Nebenbedingungen sind Gleichungen, die sich aus zusätzlichen Informationen in der Aufgabenstellung ergeben. Sie setzen die Variablen, von denen die Hauptbedingung abhängt, in Zusammenhang.

  • Zielfunktion aufstellen

Die Zielfunktion beschreibt die zu maximierende oder zu minimierende Größe in Abhängigkeit von nur einer Variable. Wenn die Hauptbedingung mehrere Variablen enthält, dann müssen diese durch Terme ersetzt werden, die von nur einer Variablen abhängen. Diese ergeben sich aus den Nebenbedingungen. Der anfänglich festgelegte Definitionsbereich wird auch auf die Zielfunktion übertragen.

  • Extremwerte der Zielfunktion bestimmen

Die Nullstellen der Ableitung der Zielfunktion liefern mögliche Extremstellen. Mithilfe der zweiten Ableitung werden lokale Maxima und Minima identifiziert. Es kommen nur Extremwerte infrage, die im Definitionsbereich der Zielfunktion liegen.

  • Randwerte überprüfen

Da es sich bei den Nullstellen der Ableitung stets um lokale Extrempunkte handelt, müssen die Randwerte bei Extremwertaufgaben überprüft werden. Dabei wird untersucht, ob an den Rändern des Definitionsbereichs noch größere oder kleinere Funktionswerte auftreten als an den lokalen Extremstellen. 

Der Punkt, der den größten oder kleinsten Funktionswert innerhalb des Definitionsbereichs hat, ist die Lösung des Extremwertproblems. Dabei entspricht der Funktionswert dem maximalen oder minimalen Wert, den die betrachtete Größe annehmen kann. Zusätzlich können die Werte aller Parameter aus der Aufgabenstellung bestimmt werden, für die sich dieser Extremwert ergibt. 

Wir wollen dieses Vorgehen im Folgenden an einigen Beispielen von Extremwertaufgaben mit Lösung betrachten. 

Extremwertaufgaben – Anwendung

Extremwertaufgaben sind häufig Anwendungsaufgaben. Typische Fragestellungen beziehen sich bei Extremwertaufgaben beispielsweise auf den maximalen oder minimalen Umfang eines Rechtecks, für das bestimmte Voraussetzungen wie ein fester Flächeninhalt oder ein Verhältnis der Seitenlängen gegeben sind. Auch der maximale oder minimale Flächeninhalt oder ein Volumen können bei Extremwertaufgaben gefragt sein. Bei Extremwertaufgaben mit Funktionen ergeben sich die Hauptbedingung und die Nebenbedingung oft aus der Lage eines bestimmten Punkts auf einem Funktionsgraphen.


Wir wollen im Folgenden Beispiele für verschiedene Arten von Extremwertaufgaben exemplarisch betrachten. 

Extremwertaufgaben im Koordinatensystem

Den Einstieg liefern einfache Extremwertaufgaben zu quadratischen Funktionen.

In diesem Beispiel sehen wir den Graphen der Parabel p(x) = x^2 und der Gerade g(x) = x + 0,75. Wir suchen den maximalen vertikalen Abstand der Funktionsgraphen im Intervall \left[-0,5; 1,5\right].

Hinweis: Die Funktionsgleichungen können auch in anderer Form gegeben sein, zum Beispiel p: x \to x^2 für die Parabel oder y = x + 0,75 für die Gerade.

Extremwertaufgaben im Koordinatensystem Parabeln

Lösung:

Bei gleichem x-Wert entspricht der vertikale Abstand d der Graphen der Differenz der Funktionswerte: d = g(x) - p(x).
Das entspricht der Strecke, die wir erhalten, wenn wir zwei Punkte mit gleichem x-Wert auf den beiden Graphen verbinden.
Durch Einsetzen der Terme erhalten wir die Hauptbedingung:

d(x) = x + 0,75 - x^2

Der Definitionsbereich entspricht dem gegebenen Intervall \left[-0,5; 1,5\right].
Da die Hauptbedingung nur von einer Variablen abhängt, werden hier keine Nebenbedingungen benötigt.
Die Zielfunktion ist in diesem Fall gleich der Hauptbedingung:

d(x) = -x^2 + x + 0,75

Die Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, die ihren maximalen Funktionswert im Scheitelpunkt erreicht. Die x-Koordinate des Scheitels kann auf verschiedene Arten bestimmt werden. Wir nutzen die Formel: x_S = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2 \cdot (-1)} = 0,5.
An den Rändern des Intervalls schneiden sich die Funktionsgraphen, der vertikale Abstand ist dort also 0.
Daraus ergibt sich:

Die beiden Funktionsgraphen haben bei x = 0,5 den maximalen vertikalen Abstand d(0,5) = -0,5^2 + 0,5 + 0,75 = 1.

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Als Beispiel für eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen betrachten wir eine Schachtel, die aus einem Karton gefaltet werden soll. 

Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

Gegeben sind die Maße des Kartons: l_K = 90~\text{cm} und b_K = 48~\text{cm}. Gesucht ist das maximale Volumen einer Schachtel, die durch das Ausschneiden von Quadraten mit der Seitenlänge x und Falten entsteht.

Lösung:
Wir formulieren die Hauptbedingung für das Volumen V der Schachtel, das wir aus Länge l_S, Breite b_S und Höhe h_S berechnen:
V = l_S \cdot b_S \cdot h_S
Für die Kantenlänge der herausgeschnittenen Quadrate x können wir als untere Grenze 0~\text{cm}, als obere Grenze b_K : 2 = 24~\text{cm} festlegen. Der Definitionsbereich für x ist hier also das Intervall \left]0; 24\right[.
Die Nebenbedingungen ergeben sich hier aus den geometrischen Zusammenhängen. Die Höhe der Schachtel entspricht der Länge x, die Länge und Breite der Schachtel sind im Vergleich zu den entsprechenden Maßen des Kartons um je 2x verkürzt. Wir erhalten:

h_S = x
l_S = 90 - 2x
b_S = 48 - 2x

Diese Nebenbedingungen können wir direkt in die Hauptbedingung einsetzen und erhalten die Zielfunktion für das Volumen, die nur noch von x abhängt:

V(x) = (90 - 2x) \cdot (48 - 2x) \cdot x

Ausmultipliziert ergibt das:

V(x) = 4x^3 - 276x^2 + 4\,320x

Mögliche Extremstellen finden wir als Nullstellen der ersten Ableitung:

V^\prime(x) = 12x^2 - 552x + 4\,320

Die Nullstellen x_1 = 10 und x_2 = 36 ergeben sich mithilfe der Mitternachtsformel.

Da x_2 = 36 außerhalb des Definitionsbereichs liegt, betrachten wir im Folgenden nur x_1 = 10.
Die zweite Ableitung V^{\prime \prime}(x) = 24x - 552 hat bei x_1 = 10 einen negativen Wert (V^{\prime \prime}(10) = -312). Daraus folgern wir, dass V(x) an dieser Stelle ein lokales Maximum besitzt. Das Volumen der Schachtel in \text{cm}^3 beträgt hier V(10) = 19\,600~\text{cm}^3.
An den Rändern des Definitionsbereichs hätte die Schachtel ein Volumen von 0. Damit hat die Schachtel für x_{max} = 10 ein maximales Volumen von rund 20~\text{dm}^3. Die Schachtel hat dann die Maße: l_S = 70~\text{cm}, b_S = 28~\text{cm} und h_S = 10~\text{cm}.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Extremwertaufgaben

Als Extremwertaufgaben werden Aufgaben bezeichnet, bei denen eine Größe einen maximalen oder einen minimalen Wert annehmen soll. 

Um eine Extremwertaufgabe zu lösen, müssen die Angaben der Aufgabe als Gleichungen formuliert werden, dabei gibt es eine Hauptbedingung und mehrere Nebenbedingungen. Daraus wird die Zielfunktion aufgestellt, die die zu optimierende Größe in Abhängigkeit von nur einer Variablen beschreibt. Der gesuchte maximale oder minimale Wert ist dann ein Extremum der Zielfunktion oder ein Randwert.

Bei der Berechnung von Extremwertproblemen werden die Bedingungen mathematisch formuliert. Dann kann ein maximaler oder minimaler Wert als Extrempunkt bestimmt werden.

Bei Extremwertaufgaben gibt es häufig Nebenbedingungen. Diese können aus dem Aufgabentext entnommen werden und stellen einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Variablen her, die zur Berechnung der zu optimierenden Größe nötig sind. Mit ihrer Hilfe wird aus der Hauptbedingung eine Zielfunktion, die von nur einer Variablen abhängt, formuliert.

Die Hauptbedingung bei einer Extremwertaufgabe ist ein Term, mit dem die zu optimierende Größe berechnet werden kann. Dieser kann eine oder mehrere Variablen enthalten.

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