Extremwertaufgaben – Definition, Erklärung und Beispiele

Extremwertaufgaben sind in Mathe Aufgaben, bei denen eine Größe maximal oder minimal werden soll. Das heißt, es wird nach einem oder mehreren Werten gesucht, für die sich ein möglichst großer oder ein möglichst kleiner Wert ergibt. Um solche Extremwertprobleme zu lösen, müssen wir die gegebenen Zusammenhänge und Bedingungen als mathematische Gleichungen formulieren. Da die Extremwerte von Funktionen mithilfe der Ableitung bestimmt werden können, werden Extremwertaufgaben auch in der Analysis (Funktionenlehre) behandelt. 

Das Lösen einer Extremwertaufgabe erfolgt im Allgemeinen in folgenden Schritten:

• Formulieren der Hauptbedingung und des Definitionsbereichs

Die Hauptbedingung ist ein Term, der die zu maximierende oder zu minimierende Größe berechnet. Er hängt von einer oder mehreren Variablen ab. Für diese Variablen muss ein im Kontext der Aufgabe sinnvoller Definitionsbereich festgelegt werden.

• Formulieren der Nebenbedingungen

Nebenbedingungen sind Gleichungen, die sich aus zusätzlichen Informationen in der Aufgabenstellung ergeben. Sie setzen die Variablen, von denen die Hauptbedingung abhängt, in Zusammenhang.

• Zielfunktion aufstellen

Die Zielfunktion beschreibt die zu maximierende oder zu minimierende Größe in Abhängigkeit von nur einer Variable. Wenn die Hauptbedingung mehrere Variablen enthält, dann müssen diese durch Terme ersetzt werden, die von nur einer Variablen abhängen. Diese ergeben sich aus den Nebenbedingungen. Der anfänglich festgelegte Definitionsbereich wird auch auf die Zielfunktion übertragen.

• Extremwerte der Zielfunktion bestimmen
  

Die Nullstellen der Ableitung der Zielfunktion liefern mögliche Extremstellen. Mithilfe der zweiten Ableitung werden lokale Maxima und Minima identifiziert. Es kommen nur Extremwerte infrage, die im Definitionsbereich der Zielfunktion liegen.

• Randwerte überprüfen
  

Da es sich bei den Nullstellen der Ableitung stets um lokale Extrempunkte handelt, müssen die Randwerte bei Extremwertaufgaben überprüft werden. Dabei wird untersucht, ob an den Rändern des Definitionsbereichs noch größere oder kleinere Funktionswerte auftreten als an den lokalen Extremstellen. 

Der Punkt, der den größten oder kleinsten Funktionswert innerhalb des Definitionsbereichs hat, ist die Lösung des Extremwertproblems. Dabei entspricht der Funktionswert dem maximalen oder minimalen Wert, den die betrachtete Größe annehmen kann. Zusätzlich können die Werte aller Parameter aus der Aufgabenstellung bestimmt werden, für die sich dieser Extremwert ergibt. 

Wir wollen dieses Vorgehen im Folgenden an einigen Beispielen von Extremwertaufgaben mit Lösung betrachten. 

Extremwertaufgaben sind häufig Anwendungsaufgaben. Typische Fragestellungen beziehen sich bei Extremwertaufgaben beispielsweise auf den maximalen oder minimalen Umfang eines Rechtecks, für das bestimmte Voraussetzungen wie ein fester Flächeninhalt oder ein Verhältnis der Seitenlängen gegeben sind. Auch der maximale oder minimale Flächeninhalt oder ein Volumen können bei Extremwertaufgaben gefragt sein. Bei Extremwertaufgaben mit Funktionen ergeben sich die Hauptbedingung und die Nebenbedingung oft aus der Lage eines bestimmten Punkts auf einem Funktionsgraphen.

Wir wollen im Folgenden Beispiele für verschiedene Arten von Extremwertaufgaben exemplarisch betrachten. 

Den Einstieg liefern einfache Extremwertaufgaben zu quadratischen Funktionen.

In diesem Beispiel sehen wir den Graphen der Parabel und der Gerade . Wir suchen den maximalen vertikalen Abstand der Funktionsgraphen im Intervall .

Hinweis: Die Funktionsgleichungen können auch in anderer Form gegeben sein, zum Beispiel für die Parabel oder für die Gerade.

Lösung:

Bei gleichem -Wert entspricht der vertikale Abstand der Graphen der Differenz der Funktionswerte: .
Das entspricht der Strecke, die wir erhalten, wenn wir zwei Punkte mit gleichem -Wert auf den beiden Graphen verbinden.
Durch Einsetzen der Terme erhalten wir die Hauptbedingung:

Der Definitionsbereich entspricht dem gegebenen Intervall .
Da die Hauptbedingung nur von einer Variablen abhängt, werden hier keine Nebenbedingungen benötigt.
Die Zielfunktion ist in diesem Fall gleich der Hauptbedingung:

Die Zielfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel, die ihren maximalen Funktionswert im Scheitelpunkt erreicht. Die -Koordinate des Scheitels kann auf verschiedene Arten bestimmt werden. Wir nutzen die Formel: .
An den Rändern des Intervalls schneiden sich die Funktionsgraphen, der vertikale Abstand ist dort also .
Daraus ergibt sich:

Die beiden Funktionsgraphen haben bei den maximalen vertikalen Abstand .

Als Beispiel für eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen betrachten wir eine Schachtel, die aus einem Karton gefaltet werden soll. 

Gegeben sind die Maße des Kartons: und . Gesucht ist das maximale Volumen einer Schachtel, die durch das Ausschneiden von Quadraten mit der Seitenlänge und Falten entsteht.

Lösung:
Wir formulieren die Hauptbedingung für das Volumen der Schachtel, das wir aus Länge , Breite und Höhe berechnen:

Für die Kantenlänge der herausgeschnittenen Quadrate können wir als untere Grenze , als obere Grenze festlegen. Der Definitionsbereich für ist hier also das Intervall .
Die Nebenbedingungen ergeben sich hier aus den geometrischen Zusammenhängen. Die Höhe der Schachtel entspricht der Länge , die Länge und Breite der Schachtel sind im Vergleich zu den entsprechenden Maßen des Kartons um je verkürzt. Wir erhalten:

Diese Nebenbedingungen können wir direkt in die Hauptbedingung einsetzen und erhalten die Zielfunktion für das Volumen, die nur noch von abhängt:

Ausmultipliziert ergibt das:

Mögliche Extremstellen finden wir als Nullstellen der ersten Ableitung:

Die Nullstellen und ergeben sich mithilfe der Mitternachtsformel.

Da außerhalb des Definitionsbereichs liegt, betrachten wir im Folgenden nur .
Die zweite Ableitung hat bei einen negativen Wert (). Daraus folgern wir, dass an dieser Stelle ein lokales Maximum besitzt. Das Volumen der Schachtel in beträgt hier .
An den Rändern des Definitionsbereichs hätte die Schachtel ein Volumen von . Damit hat die Schachtel für ein maximales Volumen von rund . Die Schachtel hat dann die Maße: , und .