Flächeninhalt eines Dreiecks – Formel, Erklärung und Beispiele

Lerne, wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks bestimmt und welche speziellen Formeln für rechtwinklige, gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke gelten. Interessiert? Dies und vieles mehr im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Flächeninhalt eines Dreiecks

Flächeninhalt eines Dreiecks im Überblick

  • Die allgemeine Formel für die Flächenberechnung eines Dreiecks mit Grundseite g und Höhe h lautet:

    A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

  • Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks lässt sich als Hälfte des zugehörigen Rechtecks mit den zueinander senkrecht stehenden Seiten a und b berechnen:

    A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

  • Für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a gilt:

    A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}

  • Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks mit Basis c lautet:

    A = \frac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4\cdot a^2 -c }

Flächeninhalt Dreieck: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks

Eine geometrische Figur mit drei Ecken und drei Seiten wird als Dreieck bezeichnet. Ein solches Dreieck schließt eine Fläche ein, deren Größe berechnet werden kann. Der Flächeninhalt A ergibt sich mithilfe der Grundseite g und Höhe h des Dreiecks mit folgender Formel für den Flächeninhalt A eines Dreiecks:
A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h

Dabei wird eine beliebige Seite des Dreiecks als Grundseite g bezeichnet. Der Abstand von g zur gegenüberliegenden Ecke wird als Höhe h angegeben. Diese Formel gilt allgemein für den Flächeninhalt eines Dreiecks und damit auch für den Flächeninhalt eines unregelmäßigen Dreiecks. Unregelmäßig bedeutet, dass alle Seiten verschieden lang sind.
Für spezielle Dreiecke, wie rechtwinklige, gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke, gelten zusätzlich spezielle Formeln, die wir noch betrachten werden.
Wir bestimmen nun an einem Beispiel die Fläche eines unregelmäßigen Dreiecks:

unregelmäßiges Dreieck

Gegeben ist die Grundseite g= 20~\text{m} und zugehörige Höhe h_g=5~\text{m}.
Zur Flächenberechnung des Dreiecks nutzen wir die allgemeine Formel:
A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g = \dfrac{1}{2} \cdot 20~\text{m} \cdot 5~\text{m} = \dfrac{1}{2} \cdot 100~\text{m}^2 = 50~\text{m}^2

Hinweis: Achte darauf, dass beide Seitenlängen die gleiche Einheit haben, bevor du multiplizierst. Ist dies nicht der Fall, musst du sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen.

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen

Ein rechtwinkliges Dreieck ABC ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel. Wenn wir ein solches Dreieck an der längsten Seite c spiegeln, ergibt sich ein Rechteck mit Seitenlängen a und b. Die Dreiecksfläche entspricht daher in diesem Fall der Hälfte der Rechtecksfläche A_{\text{Rechteck}} = a \cdot b.

Rechtwinkliges Dreieck

Die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seiten a und b, die am rechten Winkel anliegen, lautet:
A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten a. Um den Inhalt eines gleichseitigen Dreiecks aus der Seitenlänge a zu berechnen, wird folgende Formel verwendet:
A = \dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}

Gleichseitiges Dreieck

Beispiel: Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks sind gegeben als a=4~\text{cm}. Eingesetzt in die Formel für den Flächeninhalt erhalten wir:
A = \dfrac{1}{2} \cdot \left(4~\text{cm}\right)^2 \cdot \sqrt{3} \approx 13,\!86~\text{cm}^2

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Schenkel a und b sowie eine Basis c mit von a und b verschiedener Länge.

Gleichschenkliges Dreieck

Die Formel für die Fläche eines solchen Dreiecks lautet:
A = \dfrac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c^2}

Beispiel: Gegeben sind die Basis c = 4~\text{cm} und die Schenkel a=6~\text{cm}. Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks liefert:
A = \dfrac{1}{4} \cdot 4~\text{cm} \cdot \sqrt{4 \cdot \left(6~\text{cm}\right)^2 - \left(4~\text{cm}\right)^2} \approx 11,\!31~\text{cm}^2

Flächeninhalt Dreieck Rechner



Weitere Dreiecksberechnungen – Fläche, Grundseite, Höhe und Umfang

Umfang eines Dreiecks berechnen:
Der Umfang U eines Dreiecks wird durch die Addition aller Seitenlängen bestimmt. Bei einem Dreieck mit den Seiten a, b und c ergibt sich:
U = a + b + c

Seitenlänge aus Flächeninhalt und Höhe berechnen:
Sind Flächeninhalt A und Höhe h gegeben, kann die Grundseite des Dreiecks durch Umstellen der Formel berechnet werden:
g = \dfrac{2A}{h}

Höhe aus Flächeninhalt und Grundseite berechnen:
Genauso kann die Formel nach der Höhe h umgestellt werden, wenn der Flächeninhalt sowie die Grundseite g gegeben sind:
h= \dfrac{2A}{g}

Flächeninhalt ohne Höhe berechnen:
Ist die Höhe h nicht bekannt, kann die bekannte Formel für den Flächeninhalt nicht verwendet werden. Hier gibt es die Formel von Heron, die lediglich die Seitenlängen benötigt. So kann der Flächeninhalt des Dreiecks ohne die Höhe berechnet werden:
A = \sqrt{s\cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen und s steht für die Hälfte des Umfangs:
s = \dfrac{a+b+c}{2}

Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt eines Dreiecks

Die allgemeine Formel zur Berechnung des Flächeninhalts lautet:
A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h
Dabei steht g für die Grundseite und h für die zugehörige Höhe im Dreieck.

Hier wird der Satz von Heron benutzt, der eine Formel zur Flächenberechnung liefert, die nur die Seitenlängen a, b und c des Dreiecks nutzt:
A = \sqrt{s\cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
s steht für die Hälfte des Umfangs:
s = \frac{a+b+c}{2}

Ein rechtwinkliges Dreieck wird als Hälfte des zugehörigen Rechtecks berechnet:
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
Dabei sind a und b die am rechten Winkel anliegenden Seiten.

Ist das Dreieck nicht gleichschenklig, nicht gleichseitig und nicht rechtwinklig, wird die allgemeine Formel für ein unregelmäßiges Dreieck genutzt. Dazu wird die Grundseite g und Höhe h benötigt:
A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h

Zur Berechnung des Flächeninhalts eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge a kann folgende Formel verwendet werden:
A = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}

Der Satz des Pythagoras setzt die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks in einen Zusammenhang:
c^2 = a^2 + b^2
Zur Flächenberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks werden die Katheten a und b benötigt:
A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
Gegebenenfalls kann der Satz des Pythagoras genutzt werden, um eine fehlende Seitenlänge zu bestimmen.

Super! Das Thema: kannst du schon! Teile deine Learnings und Fragen mit der Community!

Alle Artikel aus dem Fach Mathematik