Additionsverfahren – Gleichungssysteme lösen: Erklärung und Beispiele

Das Additionsverfahren ist eine Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme, indem Gleichungen miteinander addiert werden. Erfahre, wie man Variablen eliminieren und die Lösung finden kann.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Additionsverfahren

Das Quiz zum Thema: Additionsverfahren

Was ist das Additionsverfahren?

Frage 1 von 5

Wie geht das Additionsverfahren?

Frage 2 von 5

Warum kann man Gleichungen addieren?

Frage 3 von 5

Wie setzt man das Additionsverfahren ein?

Frage 4 von 5

Woher hat das Additionsverfahren seinen Namen?

Frage 5 von 5

Additionsverfahren im Überblick

  • Das Additionsverfahren ist ein Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme.

  • Es eignet sich besonders für Gleichungssysteme, bei denen die Koeffizienten vor einer der Variablen in mehreren Gleichungen den gleichen Betrag haben. 

  • Das gaußsche Eliminationsverfahren zur Lösung von Gleichungssysteme basiert auf dem Additionsverfahren.

Additionsverfahren: Lerntext

Quelle sofatutor.com

Additionsverfahren einfach erklärt

In Mathe wird das Additionsverfahren bei Aufgaben verwendet, die das Lösen eines linearen Gleichungssystems erfordern. Um ein lineares Gleichungssystem mit mehreren Variablen zu lösen, müssen wir die Anzahl der Variablen, die in einer Gleichung vorkommen, verringern. Beim Additionsverfahren geschieht dies, indem wir Gleichungen addieren.

Wie du allgemein vorgehen musst, wenn du ein lineares Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen möchtest, gehen wir nun an einem Beispiel durch.

 Additionsverfahren – Anleitung

Additionsverfahren Beispiel

\begin{array}{crrrr} \text{I} & 2x & -5y & = & 14 \\ \text{II} & 3x & +5y & = & 11 \\ \hline \text{I}+\text{II} & 5x & & = & 25 \\ \end{array}

Das Ergebnis ist eine Gleichung, die nur noch eine Variable enthält:

\begin{array}{rcll} 5x & = & 25 & \vert :5 \\ x & = & 5 & \end{array}

Wir können nach x auflösen und erhalten x = 5. Dieses Ergebnis setzen wir nun in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, um die zweite Variable zu berechnen:

\begin{array}{rrcll} 2x & - 5y & = & 14 & \\ 2 \cdot 5 & - 5y & = & 14 & \\ 10 & -5y & = & 14 & \vert -10 \\ & -5y & = & 4 & \vert :(-5) \\ & y & = & -0,8 & \end{array}

Die Lösung des Gleichungssystems ist das Wertepaar x = 5 und y = -0,8.
Zur Probe können wir die berechneten Werte in eine der Gleichungen einsetzen:

\begin{array}{rcrcl} 3x & + & 5y & = & 11 \\ 3 \cdot 5 & + & 5 \cdot (-0,8) & = & 11 \\ 15 & - & 4 & = & 11 \\ && 11 & = & 11 \end{array}

Wir erhalten eine wahre Aussage, damit stimmt das Ergebnis.

Additionsverfahren Beispiele

Nicht bei jedem Gleichungssystem fällt bei Addition der Gleichungen direkt eine der Variablen weg, so wie in unserem Einführungsbeispiel. Wir können aber jedes Gleichungssystem durch Multiplikation der Gleichungen mit geeigneten Faktoren auf eine solche Form bringen. Dabei ist das Ziel, dass eine der Variablen bei der Addition der Gleichungen wegfällt. Das bedeutet, die Koeffizienten dieser Variable müssen addiert 0 ergeben. Dazu müssen die Koeffizienten den gleichen Betrag mit unterschiedlichem Vorzeichen aufweisen. Im Einführungsbeispiel sind das 5 und -5, dadurch fällt bei der Addition die Variable y weg.
Betrachten wir ein Beispiel, bei dem wir die richtige Form erst durch Multiplikation erzeugen müssen:

\begin{array}{rrrrr} \text{I} & 4x & +2y & = & 64 \\ \text{II} & x & +y & = & 24 \\ \end{array}

Wir möchten nun y eliminieren und multiplizieren dafür die zweite Gleichung mit -2:

\begin{array}{lrrcrl} \text{II} & x & + y & = & 24 & \vert \cdot(-2) \\ \text{II}^\prime & -2x & -2y & = & -48 & \end{array}

Nun können wir die Gleichungen addieren:

\begin{array}{crrrr} \text{I} & 4x & +2y & = & 64 \\ \text{II}^\prime & -2x & -2y & = & -48 \\ \hline \text{I}+\text{II}^\prime & 2x & & = & 16 \\ \end{array}

Wir berechnen x:

\begin{array}{rcll} 2x & = & 16 & \vert :2 \\ x & = & 8 & \end{array}

Und setzen das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, um y zu bestimmen:

\begin{array}{rrcll} x & +y & = & 24 & \\ 8 & +y & = & 24 & \vert -8 \\ & y & = & 16 & \\ \end{array}

Die Lösung des Gleichungssystems lautet:

x = 8 und y = 16

Hinweis: Es gibt immer verschiedene Möglichkeiten, das Additionsverfahren auf ein Gleichungssystem anzuwenden. In unserem Beispiel hätte es sich auch angeboten, Gleichung \text{I} durch -2 zu teilen. Dies entspricht einer Multiplikation mit -\frac{1}{2}, es ist also auch eine Division zulässig.

Additionsverfahren mit drei Variablen

Das Additionsverfahren kann auch bei linearen Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen und Gleichungen angewendet werden. Dabei wird zum Beispiel bei einem linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten zunächst eine der Gleichungen genutzt, um eine Variable aus den anderen beiden Gleichungen zu eliminieren. Damit hat sich das Problem auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert, die wir wie gewohnt lösen können. Zuletzt wird diese Lösung dann in die dritte Gleichung eingesetzt, um den Wert der verbleibenden Variablen zu bestimmen.
Beispiel:

\begin{array}{rrrrrr} \text{I} & x & +2y & -z & = & -2 \\ \text{II} & 3x & +y & +z & = & 1 \\ \text{III} & -x & -y & +z & = & 3 \end{array}

Wir nutzen Gleichung \text{I}, um in den anderen beiden Gleichungen z zu eliminieren:

\text{II}^\prime = \text{II} + \text{I}
\text{II}^\prime: 4x + 3y = -1
\text{III}^\prime = \text{III} + \text{I}
\text{III}^\prime: y = 1

Die Gleichung \text{III}^\prime liefert bereits y = 1. Wir setzen den Wert in \text{II}^\prime ein und erhalten:

\begin{array}{rcccll} 4x & + & 3 \cdot 1 & = & -1 & \\ 4x & + & 3 & = & -1 & \vert -3 \\ 4x & & & = & -4 & \vert :4 \\ & & x & = & -1 & \end{array}

Zuletzt setzen wir x = -1 und y = 1 in Gleichung \text{I} ein und berechnen z:

\begin{array}{ccccccrl} -1 & + & 2 \cdot 1 & - & z & = & -2 & \\ & 1 && - & z & = & -2 & \vert -1 \\ &&& - & z & = & -3 & \vert :(-1) \\ &&&& z & = & 3 & \end{array}

Ein systematisches Vorgehen zur Anwendung des Additionsverfahrens auf lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen ist das sogenannte gaußsche Eliminationsverfahren (auch Gauß-Algorithmus).

Häufig gestellte Fragen zum Thema Additionsverfahren

Das Additionsverfahren ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Das Additionsverfahren hat die Schritte:

  • Eliminieren einer Variablen durch Addition der Gleichungen
  • Auflösen nach der verbleibenden Variablen
  • Ergebnis einsetzen und verbleibende Variable berechnen

Beim Additionsverfahren berechnet man die Lösung eines linearen Gleichungssystems durch Addition der Gleichungen.

Bei einer Gleichung haben die Terme rechts und links des Gleichheitszeichens den gleichen Wert. Nach einer Addition der linken und der rechten Seiten zweier Gleichung stehen diese auch wieder im Gleichgewicht:
\begin{array}{cccc} \text{I} & A & = & A \\ \text{II} & B & = & B \\ \hline \text{I}+\text{II} & A + B & = & A + B \\ \end{array}

Das Additionsverfahren kann für jedes lineare Gleichungssystem genutzt werden. Besonders geeignet ist es, wenn die Koeffizienten einer Variablen in mehreren Gleichungen ganzzahlige Vielfache voneinander sind.

Das Gleichungssystem wird, wenn nötig, durch Multiplikation in die passende Form gebracht und die Gleichungen werden dann addiert.

Das Additionsverfahren wird manchmal auch Additionsmethode genannt. Auch das gaußsche Eliminationsverfahren (Gauß-Algorithmus) ist eine spezielle Form des Additionsverfahrens.

Das Eliminieren von Variablen erfolgt beim Additionsverfahren durch Addition der Gleichungen eines Gleichungssystems, daher auch der Name Additionsverfahren.

Das Additionsverfahren dient der Lösung linearer Gleichungssysteme. Das Bestimmen der Parameter einer quadratischen Funktion in der allgemeinen Form f(x) = ax^2 + bx + c kann über ein solches Gleichungssystem erfolgen.

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