Dreiecke und Dreiecksarten einfach erklärt

Lerne alles über die Grundlagen, Arten und Berechnungen von Dreiecken. Von allgemeinen Dreiecken bis zu speziellen Linien und Flächenberechnungen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Dreiecke und Dreiecksarten

Das Quiz zum Thema: Dreiecke & Dreiecksarten

Welche sind die drei Dreiecksarten (anhand ihrer Winkel)?

Frage 1 von 5

Wie viele gleich lange Seiten hat ein gleichseitiges Dreieck?

Frage 2 von 5

Was gibt die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks an?

Frage 3 von 5

Was ist die Bezeichnung für eine Gerade im Dreieck, die von der Mitte einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke geht?

Frage 4 von 5

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit zwei Dreiecke als kongruent gelten?

Frage 5 von 5

Dreiecke und Dreiecksarten im Überblick

  • Dreiecke sind geometrische Figuren, die drei Ecken und drei Seiten besitzen. Die Ecken werden üblicherweise mit A, B und C und die Seiten mit a, b und c beschriftet.

  • Jedes Dreieck besitzt drei Innenwinkel, die in Summe immer 180^\circ ergeben. Sie werden häufig als \alpha, \beta und \gamma bezeichnet.
  • Es gibt verschiedene Arten von Dreiecken, zum Beispiel: spitzwinklige Dreiecke, stumpfwinklige Dreiecke, rechtwinklige Dreiecke, unregelmäßige Dreiecke, gleichschenklige Dreiecke, gleichseitige Dreiecke.

Dreiecksarten Video

Quelle sofatutor.com

Allgemeines Dreieck – Definition, Beschriftung und Eigenschaften

Bei einem Dreieck handelt es sich um eine ebene geometrische Figur. Es besitzt drei Ecken und drei Seiten. Die Ecken werden mit Großbuchstaben gegen den Uhrzeigersinn beschriftet. Oft werden die Buchstaben A, B und C verwendet. Die Seiten des Dreiecks bezeichnen wir mit Kleinbuchstaben entsprechend der gegenüberliegenden Ecke, beispielsweise a, b und c, wobei die Seite a der Ecke A, die Seite b der Ecke B und die Seite c der Ecke C gegenüberliegen. Die Innenwinkel sind mit Buchstaben des griechischen Alphabets beschriftet, zum Beispiel \alpha, \beta und \gamma. Der Innenwinkel \alpha befindet sich dabei am Eckpunkt A, der Winkel \beta am Eckpunkt B und der Winkel \gamma am Eckpunkt C.

Beschriftung eines Dreiecks

Eigenschaften eines Dreiecks:

  • Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer 180^\circ. Es gilt:
    \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
  • Für die Außenwinkel des Dreiecks gilt, dass diese immer so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Winkel sind.
  • Im Dreieck liegt die längste Seite immer dem größten Winkel und die kürzeste Seite dem kleinsten Winkel gegenüber. 

Kongruenzsätze im Dreieck

Passen zwei Dreiecke genau aufeinander, werden sie deckungsgleich oder kongruent genannt. Sie können dafür auch gedreht werden. Die Kongruenzsätze geben verschiedene Bedingungen vor, mit denen man prüfen kann, ob zwei Dreiecke kongruent sind.

Kongruenzsatz Bedeutung
SSS Alle drei Seiten der Dreiecke sind gleich groß.
SWS Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel stimmen genau überein.
WSW Zwei Winkel an einer Seite sind gleich.
SSW Zwei Seiten und der Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind gleich.

Ist eine der vier Bedingungen erfüllt, sind die zwei Dreiecke kongruent zueinander. 

Die Kongruenzsätze können auch eine Grundlage beim Konstruieren von Dreiecken darstellen, da mindestens drei Informationen über das Dreieck (Seitenlängen, Winkelgrößen) bekannt sein müssen, um es zeichnen zu können. 

Besondere Linien im Dreieck

Neben den drei Seiten existieren im Dreieck noch die Höhe, die Mittelsenkrechte, die Seitenhalbierende und die Winkelhalbierende style=“font-weight: 400;“>. Alle vier Linien existieren im Dreieck für jede der drei Seiten, also je dreimal. 

  • Höhe: eine auf der Seite senkrecht stehende Gerade, die zur gegenüberliegenden Ecke geht
  • Mittelsenkrechte: eine senkrechte Gerade, die durch die Mitte der Seite geht
  • Seitenhalbierende: eine Gerade, die von der Mitte der Seite zur gegenüberliegenden Ecke geht
  • Winkelhalbierende: eine Gerade, die den Winkel in zwei gleich große Hälften teilt 

Höhenschnittpunkt

Da ein Dreieck immer drei Höhen besitzt, entsteht der sogenannte Höhenschnittpunkt. So wird der Punkt bezeichnet, an dem sich alle drei Höhen schneiden. Je nach Art des Dreiecks ist die Lage dieses Höhenschnittpunkts verschieden.

  • Spitzwinkliges Dreieck: Höhenschnittpunkt liegt innerhalb des Dreiecks
  • Stumpfwinkliges Dreieck: Höhenschnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks
  • Rechtwinkliges Dreieck: Höhenschnittpunkt liegt auf dem Eckpunkt am rechten Winkel

Umkreis und Inkreis eines Dreiecks

Der Umkreis ist der Kreis, auf dem alle Eckpunkte des Dreiecks liegen. Es ist der kleinste Kreis, der das gesamte Dreieck einschließt. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten. Um den Umkreis zu konstruieren, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Alle drei Mittelsenkrechten konstruieren
  • Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt des Umkreises festlegen
  • Der Radius des Umkreises ist nun der Abstand des Schnittpunkts zu einem der drei Eckpunkte.
  • Kreis mit dem Zirkel zeichnen, er sollte durch alle drei Eckpunkte gehen.

Bei dem Inkreis handelt es sich um den größten Kreis, der komplett im Dreieck liegt. Er berührt alle drei Seiten des Dreiecks. Der Inkreis eines Dreiecks lässt sich mithilfe der Winkelhalbierenden konstruieren

  • Alle drei Winkelhalbierenden konstruieren
  • Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt des Inkreises.
  • Der Radius des Inkreises ist nun der Abstand vom Schnittpunkt zu einer Seite des Dreiecks (dem nächsten Punkt der Seite).
  • Kreis mit dem Zirkel zeichnen, er sollte die Seiten nicht schneiden, nur berühren und komplett innerhalb des Dreiecks liegen. 

Dreiecksarten und ihre Eigenschaften

Dreiecke besitzen verschiedene Formen, nach denen sie in Kategorien eingeteilt werden können. Wir betrachten hier sechs gängige Arten von Dreiecken. Dabei klassifizieren wir die Dreiecke nach ihren Winkeln oder ihren Seiten. Die folgende Aufzählung bietet eine Übersicht über die gängigen Dreiecksarten.

Dreiecksarten nach ihren Winkeln klassifiziert:

  • Stumpfwinkliges Dreieck: Ein Innenwinkel ist größer als 90^\circ.
  • Spitzwinkliges Dreieck: Alle Innenwinkel sind kleiner als 90^\circ.
  • Rechtwinkliges Dreieck: Ein Innenwinkel ist genau 90^\circ.

Dreiecksarten nach ihren Seiten klassifiziert:

  • Ungleichmäßiges Dreieck: Alle Seiten sind verschieden lang.
  • Gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten sind gleich lang.
  • Gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind genau gleich lang.

Anhand ihrer Seitenverhältnisse oder der Winkel lassen sich die verschiedenen Dreiecksarten erkennen. Die folgende Grafik zeigt Beispiele für die verschiedenen Dreiecksformen und die dazugehörigen Namen der Dreiecksarten

Dreiecksarten Beispiele

Stumpfwinkliges Dreieck

Als stumpfer Winkel wird ein Winkel bezeichnet, der größer als 90^\circ ist. Ein stumpfwinkliges Dreieck besitzt einen stumpfen Winkel. Dieser ist zwischen 90^\circ und 180^\circ groß. Durch den Innenwinkelsatz ist gegeben, dass ein Dreieck maximal einen stumpfen Winkel besitzen kann. Dem stumpfen Winkel liegt immer die längste Seite gegenüber.

Spitzwinkliges Dreieck

Als spitzer Winkel wird ein Winkel bezeichnet, der kleiner als 90^\circ ist. In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Winkel kleiner als 90^\circ.

Rechtwinkliges Dreieck

Als rechter Winkel wird ein Winkel bezeichnet, der genau 90^\circ ist. Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen rechten Winkel. Auch hier ist durch den Innenwinkelsatz gegeben, dass ein Dreieck nur einen rechten Winkel besitzen kann. Dieser liegt immer der längsten Seite gegenüber. Diese längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird im rechtwinkligen Dreieck als Hypotenuse bezeichnet. Die beiden am rechten Winkel anliegenden Seiten nennen wir Katheten.

Satz des Pythagoras 

Der Satz des Pythagoras gibt die Beziehung der drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks an. Er besagt:

a^2 + b^2 = c^2

Wichtig ist hierbei, dass c die Hypotenuse, also die längste Seite, ist. Das ist immer die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Zudem gilt der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Somit lässt sich im rechtwinkligen Dreieck die dritte Seitenlänge mithilfe der anderen beiden berechnen.

Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt, dass ein Dreieck ABC einen rechten Winkel besitzt, wenn der Punkt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser \overline{AB} liegt. Dieser Satz kann genutzt werden, um ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. 

Seitenverhältnisse

Im rechtwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse zwischen Winkeln und Seitenlänge festgelegt. Sie definieren die Winkelfunktionen Sinus (\sin), Cosinus (\cos) und Tangens (\tan) für jeden der beiden spitzen Winkel. Dabei bezeichnet der Begriff Ankathete die am Winkel anliegende Kathete, der Begriff Gegenkathete bezeichnet die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. 

Die Winkelfunktionen lauten:

\text{Sinus} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}

\text{Cosinus} = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}

\text{Tangens} = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

Sinus, Cosinus und Tangens ergeben sich also aus dem Verhältnis zweier Seiten zueinander. Sind \alpha und \beta die beiden spitzen Winkel, können die Winkelfunktionen geschrieben werden als:

\sin(\alpha) = \dfrac{a}{c}

\cos(\alpha) = \dfrac{b}{c}

\sin(\beta) = \dfrac{b}{c}

\cos(\beta) = \dfrac{a}{c}

Der Sinus von \alpha entspricht also dem Cosinus von \beta und der Cosinus von \alpha entspricht dem Sinus von \beta.

\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}

\tan(\beta) = \dfrac{b}{a}

Unregelmäßiges Dreieck

Als ungleichmäßiges Dreieck wird ein Dreieck bezeichnet, das drei unterschiedlich lange Seiten besitzt. Es wird auch als ungleichseitiges Dreieck bezeichnet. Es gilt:

a \neq b \neq c

Gleichschenkliges Dreieck

Sind zwei Seiten eines Dreiecks gleich lang, sprechen wir von einem gleichschenkligen Dreieck. Die beiden gleich langen Seiten werden als Schenkel bezeichnet, die dritte Seite als Basis. Zudem besitzt das gleichschenklige Dreieck auch zwei gleich große Winkel, die sogenannten Basiswinkel. Sie liegen an der Basis an und damit je einem der Schenkel gegenüber. Bei dem gleichschenkligen Dreieck handelt es sich um ein symmetrisches Dreieck. 

Ein gleichschenkliges Dreieck kann zusätzlich auch einen rechten Winkel besitzen. Dieser kann jedoch nur zwischen den beiden Schenkeln liegen. Das ist der Fall, wenn die beiden Basiswinkel je 45^\circ groß sind. Ein solches Dreieck kann dann gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck genannt werden. 

Gleichseitiges Dreieck

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten genau gleich lang. Es gilt:

a = b = c

Somit sind auch alle drei Winkel genau gleich groß. Da durch den Innenwinkelsatz gegeben ist, dass alle drei Winkel zusammen 180^\circ ergeben, sind die einzelnen Winkel 180^\circ : 3 = 60^\circ groß.

\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ

Dadurch handelt es sich bei dem gleichseitigen Dreieck auch immer um ein symmetrisches Dreieck.

Umfang eines Dreiecks berechnen

Beim Umfang handelt es sich um eine Längenangabe. Der Umfang gibt an, wie lang die Strecke einmal um das Dreieck herum ist, wenn man sich genau auf den Seiten des Dreiecks bewegt. Der Umfang eines Dreiecks lässt sich berechnen, indem alle drei Seitenlängen addiert werden. Die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Dreiecks lautet:

U = a + b + c

Im rechtwinkligen Dreieck kann der Umfang auch berechnet werden, wenn uns nur zwei der drei Seiten gegeben sind. Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die fehlende Seitenlänge ermittelt und somit der Umfang berechnet werden. 

Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen

Der Flächeninhalt A gibt die vom Dreieck eingeschlossene Fläche an. Er lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g

Hierbei ist g die Grundseite des Dreiecks. Du kannst dafür eine beliebige Seite des Dreiecks wählen. In den meisten Fällen wird die Seite genutzt, die sich unten befindet und horizontal verläuft. Bei h_g handelt es sich um die senkrecht auf g stehende Höhe.

Flächeninhalt eines rechtwinkliges Dreieck berechnen

Für den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks benötigen wir keine Höhe. Hier können statt g und h_g die Katheten, also die am rechten Winkel anliegenden Seiten, verwendet werden.
Liegt der rechte Winkel beispielsweise am Eckpunkt C, wird er von den Seiten a und b eingeschlossen. Die Formel für den Flächeninhalt lautet dann folgendermaßen:

A = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b

Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen

Auch für das gleichschenklige Dreieck existiert eine Formel, die nur von zwei Seitenlängen abhängig ist. Dabei ist a die Länge der gleich langen Schenkel und c die Länge der Basis.

A = \dfrac{1}{4} \cdot c \cdot \sqrt{4 \cdot a^2 - c}

Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks berechnen

Für das gleichseitige Dreieck kann die folgende Formel zur Berechnung des Flächeninhalts verwendet werden:

A = \dfrac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3}

Hierbei bezeichnet a die Länge einer Seite. Da alle drei Seiten gleich lang sind, ist es egal, welche der Seiten in die Formel eingesetzt wird.

Weitere Tipps findest du in unserer ausführlichen Anleitung zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken. 

 Weitere Berechnungen im Dreieck

Weitere Berechnungen im Dreieck sind:

  • der Höhensatz,
  • der Kathetensatz
  • der Sinus- und der Cosinussatz und
  • die Berechnung der Höhe eines Dreiecks.

Höhe eines Dreiecks berechnen

Die Höhe eines Dreiecks ist eine Strecke, die senkrecht auf einer der drei Seiten steht und in der gegenüberliegenden Ecke endet. Somit gibt es drei verschiedene Höhen, die senkrecht auf a stehende Höhe h_a, die senkrecht auf b stehende Höhe h_b und die senkrecht auf c stehende Höhe h_c. Es gibt für alle drei Höhen zwei Formeln zur Berechnung:

h_a = b \cdot \sin(\gamma) = c \cdot \sind(\beta)
h_b = a \cdot \sin(\gamma) = c \cdot \sin(\alpha)
h_c = a \cdot \sin(\beta) = b \cdot \sin(\alpha)

Sind keine der Winkel angegeben, kann die Höhe auch ohne diese ermittelt werden. Dafür wird zunächst s berechnet:

s = \dfrac{1}{2} \cdot ( a + b + c )

Mithilfe dieser Größe können die drei verschiedenen Höhen berechnet werden:

h_a = \dfrac{2}{a} \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
h_b = \dfrac{2}{b} \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}
h_c = \dfrac{2}{c} \cdot \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s-b) \cdot (s-c)}

Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen

Da alle Seiten und alle drei Winkel im gleichseitigen Dreieck genau gleich groß sind, sind auch die drei Höhen genau identisch. Es gilt:

h = h_a = h_b = h_c

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

h = \dfrac{a}{2} \cdot \sqrt{3}

Höhe im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck teilt die auf der Hypotenuse stehende Höhe diese in zwei Abschnitte. Diese sogenannten Hypotenusenabschnitte werden mit p und q beschriftet. Der Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke besagt nun:

h^2 = p \cdot q

Sind p und q nicht gegeben, kann die Höhe im rechtwinkligen Dreieck selbstverständlich auch mit den anderen Formeln berechnet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Dreiecke und Dreiecksarten

Ein Dreieck ist eine geometrische Form, die drei Ecken und drei Seiten besitzt.

Dreiecke können ganz verschieden aussehen. Gemeinsam haben sie alle, dass sie drei Ecken und drei Seiten besitzen. Die Ecken können dabei gegen den Uhrzeigersinn mit Großbuchstaben wie A, B und C beschriftet sein. Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben entsprechend der gegenüberliegenden Seite bezeichnet, also beispielsweise a, b und c.

Wie der Name schon sagt, hat ein Dreieck drei Ecken.

Ein Dreieck besitzt drei Seiten.

Die drei Seiten im Dreieck werden mit Kleinbuchstaben entsprechend der gegenüberliegenden Seite beschriftet. Ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C hat also beispielsweise die Seiten a, b und c.
In einem rechtwinkligen Dreieck wird die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite Hypotenuse genannt. Die am rechten Winkel anliegenden Seiten heißen Katheten.

Da es sich bei dem Dreieck nicht um einen Körper handelt und mathematisch gesehen nur Körper Kanten besitzen, besitzt das Dreieck keine Kanten.

Die drei Innenwinkel im Dreieck ergeben zusammen immer 180^\circ.
Alle drei Winkel addiert sind 180^\circ groß. Die Größe der einzelnen Winkel unterscheidet sich in jedem Dreieck.
Die wichtigsten Eigenschaften eines Dreiecks sind, dass es drei Ecken und drei Seiten besitzt. Zudem ergeben die Innenwinkel addiert immer 180^\circ. Die Außenwinkel ergeben addiert 360^\circ. Auch liegt die längste Seite eines Dreiecks immer dem größten Winkel gegenüber. Die kürzeste Seite liegt demnach dem kleinsten Winkel gegenüber.
Ein Dreieck besitzt drei Höhen. Die Höhe h_a auf der Seite a, die Höhe h_b auf der Seite b und die Höhe h_c auf der Seite c. Diese lassen sich mit den Formeln h_a = b \cdot \sin(\gamma) = c \cdot \sind(\beta), h_b = a \cdot \sin(\gamma) = c \cdot \sin(\alpha) und h_c = a \cdot \sin(\beta) = b \cdot \sin(\alpha) berechnen.

Addiert man die Längen aller drei Seiten eines Dreiecks, ergibt sich der Umfang des Dreiecks.

Der Umfang eines Dreiecks berechnet sich als U = a + b + c. Der Flächeninhalt kann mit der Formel A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h_g berechnet werden.

Die sechs gängigen Dreiecksarten sind spitzwinkliges Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck, rechtwinkliges Dreieck, unregelmäßiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und gleichseitiges Dreieck.

Dreiecke können anhand ihrer Winkel oder ihrer Seiten kategorisiert werden. Kategorisiert nach den Winkeln gibt es drei Arten: spitzwinkliges, stumpfwinkliges und rechtwinkliges Dreieck. Eingeteilt nach den Seiten gibt es drei Arten: unregelmäßiges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck.

Es gibt sechs gängige Arten von Dreiecken.

Sind alle drei Seiten im Dreieck gleich lang, handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. In diesem Dreieck sind auch immer alle drei Winkel gleich groß.

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten, die sogenannten Schenkel, gleich lang.

Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel, welcher größer als 90^\circ ist. Besitzt ein Dreieck einen solchen Winkel, spricht man von einem stumpfwinkligen Dreieck. Ein Dreieck kann maximal einen stumpfen Winkel besitzen.

Ein spitzer Winkel ist ein Winkel, der kleiner als 90^\circ ist. Besitzt ein Dreieck nur solche Winkel, spricht man von einem spitzwinkligen Dreieck.

Ein Dreieck ist dann spitzwinklig, wenn alle drei Winkel spitze Winkel sind, das heißt kleiner als 90^\circ.

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel, der genau 90^\circ groß ist. Ihm gegenüber liegt die längste Seite des Dreiecks. Die beiden übrigen Winkel sind beide kleiner als 90^\circ.

Aufgrund des Innenwinkelsatzes ist gegeben, dass Dreiecke maximal einen rechten Winkel besitzen können.

Da der Innenwinkelsatz besagt, dass alle drei Innenwinkel eines Dreiecks addiert immer 180^\circ ergeben, kann ein Dreieck maximal einen stumpfen Winkel besitzen.

Bei gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken handelt es sich um symmetrische Dreiecke. Beide besitzen mindestens eine Symmetrieachse.

Die Kongruenzsätze können als Grundlage zur Konstruktion von Dreiecken verwendet werden, da mindestens drei Informationen (Winkelgrößen oder Seitenlängen) gegeben sein müssen.

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