Größter gemeinsamer Teiler (ggT) – Definition, Erklärung und Beispiele
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die mehreren Zahlen gemeinsam teilt. Lerne, wie du den ggT mithilfe von Teilermengen, Primfaktorzerlegung und dem Euklidischen Algorithmus findest. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Größter gemeinsamer Teiler (
)
Der größte gemeinsame Teiler () im Überblick
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, die gleichzeitig Teiler mehrerer Zahlen ist.
Für den größten gemeinsamen Teiler wird häufig die Abkürzung
verwendet.Es gibt verschiedene Methoden, den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, beispielsweise über die Teilermenge oder mit einer Primfaktorzerlegung.
Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler die
ist, werden teilerfremd genannt.
Quelle sofatutor.com
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Größter gemeinsamer Teiler – Definition und Erklärung
Der größte gemeinsame Teiler von zwei ganzen Zahlen ist definiert als die größte natürliche Zahl, die ein Teiler von beiden Zahlen ist. Das bedeutet, beide Zahlen sind ohne Rest durch ihn teilbar.
Oft wird für den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen 
und 
in Mathe kurz 
geschrieben.
Haben zwei Zahlen den größten gemeinsamen Teiler , dann haben diese keine gemeinsamen Teiler. Daher werden sie auch als teilerfremd bezeichnet.
Den größten gemeinsamen Teiler finden
Wir wollen nun einige Möglichkeiten betrachten, wie der ermittelt werden kann.
Als Beispiel betrachten wir dafür die beiden Zahlen 
und 
.
Teilermenge
Wir notieren die Teilermengen der Zahlen. Diese enthalten alle Zahlen, die Teiler von bzw. sind.
Daraus können wir zunächst alle gemeinsamen Teiler ablesen: , 
, 
und 
. Die größte Zahl davon ist der größte gemeinsame Teiler. Das ist hier also die Zahl .
Wir schreiben: 
Hinweis: Du kannst auch nur die Teilermenge der größeren Zahl aufschreiben und dann überprüfen, welche der Zahlen auch Teiler der kleineren Zahl sind. So können wir ebenfalls feststellen, dass
Primfaktorzerlegung
Wir notieren die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Das heißt, wir schreiben die Zahlen als Produkt von Primzahlen.
Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren.
Wir erhalten: 
Die verschiedenen Möglichkeiten zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers werden in der Abbildung gegenübergestellt:
Euklidischer Algorithmus
Eine weitere Möglichkeit, den zu berechnen, ist die Formel des euklidischen Algorithmus.
Dazu teilen wir die größere durch die kleinere Zahl und notieren den Rest:
Nun bilden wir den Quotienten aus dem Nenner und dem Rest:
Diesen Schritt wiederholen wir, falls nötig, so lange, bis wir den Rest 
erhalten.
Der größte gemeinsame Teiler ist stets der Nenner des letzten Rechenschritts. In unserem Fall also die .
Es gilt:
Größter gemeinsamer Teiler – weitere Beispiele
Wir wollen nun noch ein Beispiel mit mehr als zwei Zahlen und die Anwendung des größten gemeinsamen Teilers in der Bruchrechnung betrachten.
von mehreren Zahlen
Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 
, 
und 
.
Wir führen eine Primfaktorzerlegung der Zahlen durch:
Aus den gemeinsamen Primfaktoren , und 
ergibt sich: 
Es ist auch möglich, den größten gemeinsamen Teiler von mehr als zwei Zahlen schrittweise zu bestimmen. Die Reihenfolge ist dabei nach den Rechenregeln vom frei wählbar:
| Zwei Zahlen | Drei oder mehr Zahlen |
|---|---|
 |
 |
Bruchrechnung mit dem
In der Bruchrechnung kann der größte gemeinsame Teiler beim Kürzen von Brüchen genutzt werden. Dazu ermitteln wir den von Zähler und Nenner und kürzen den Bruch mit dem . Da wir so direkt mit der größtmöglichen Zahl kürzen, erhalten wir einen vollständig gekürzten Bruch als Ergebnis.
Beispiel: 
Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner mit der Primfaktorzerlegung:
Wir kürzen den Bruch mit 
und erhalten:
Dieser Bruch kann nun nicht weiter gekürzt werden, wir sagen auch: Er ist vollständig gekürzt.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler ()
Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Allgemein kann der größte gemeinsame Teiler auch für drei oder mehr Zahlen angegeben werden.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den größten gemeinsamen Teiler zu finden, zum Beispiel anhand der Teilermengen, mit einer Primfaktorzerlegung oder durch den euklidischen Algorithmus.
Der größte gemeinsame Teiler kann beispielsweise als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren berechnet werden.
Es gilt: 
Wenn der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist, werden die Zahlen als teilerfremd bezeichnet.
Eine schnelle Methode, den größten gemeinsamen Teiler zu ermitteln, ist die Primfaktorzerlegung. Der größte gemeinsame Teiler ist dann das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.
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