Der größte gemeinsame Teiler (\text{ggT}) im Überblick

  • Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, die gleichzeitig Teiler mehrerer Zahlen ist.

  • Für den größten gemeinsamen Teiler wird häufig die Abkürzung \text{ggT} verwendet.

  • Es gibt verschiedene Methoden, den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen, beispielsweise über die Teilermenge oder mit einer Primfaktorzerlegung.

  • Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler die 1 ist, werden teilerfremd genannt.

Größter gemeinsamer Teiler Video

Quelle sofatutor.com

Größter gemeinsamer Teiler – Definition und Erklärung

Der größte gemeinsame Teiler von zwei ganzen Zahlen ist definiert als die größte natürliche Zahl, die ein Teiler von beiden Zahlen ist. Das bedeutet, beide Zahlen sind ohne Rest durch ihn teilbar.

Oft wird für den größten gemeinsamen Teiler von zwei Zahlen a und b in Mathe kurz \text{ggT}(a, b) geschrieben.
Haben zwei Zahlen den größten gemeinsamen Teiler 1, dann haben diese keine gemeinsamen Teiler. Daher werden sie auch als teilerfremd bezeichnet.

Den größten gemeinsamen Teiler finden

Wir wollen nun einige Möglichkeiten betrachten, wie der \text{ggT} ermittelt werden kann.

Als Beispiel betrachten wir dafür die beiden Zahlen 42 und 140.

Teilermenge

Wir notieren die Teilermengen der Zahlen. Diese enthalten alle Zahlen, die Teiler von 42 bzw. 140 sind.
T_{42} = \{1, 2, 3, 6, 7, \mathbf{14}, 21, 42\}

T_{140} = \{1, 2, 4, 5, 7, 10, \mathbf{14}, 20, 28, 35, 70, 140\}

Daraus können wir zunächst alle gemeinsamen Teiler ablesen: 1, 2, 7 und 14. Die größte Zahl davon ist der größte gemeinsame Teiler. Das ist hier also die Zahl 14.

Wir schreiben: \text{ggT}(42, 140) = 14

Hinweis: Du kannst auch nur die Teilermenge der größeren Zahl aufschreiben und dann überprüfen, welche der Zahlen auch Teiler der kleineren Zahl sind. So können wir ebenfalls feststellen, dass 14 der größte gemeinsame Teiler von 42 und 140 ist, da alle größeren Zahlen aus der Teilermenge von 140 keine Teiler von 42 sind.

Primfaktorzerlegung

Wir notieren die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen. Das heißt, wir schreiben die Zahlen als Produkt von Primzahlen.

42 = \mathbf{2} \cdot 3 \cdot \mathbf{7}

140 = \mathbf{2} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \mathbf{7}

Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt aller gemeinsamen Primfaktoren.

Wir erhalten: \text{ggT}(42, 140) = 2 \cdot 7 = 14

Die verschiedenen Möglichkeiten zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers werden in der Abbildung gegenübergestellt:

Größten gemeinsamen Teiler (ggT) finden

Euklidischer Algorithmus

Eine weitere Möglichkeit, den \text{ggT} zu berechnen, ist die Formel des Euklidischen Algorithmus.

Dazu teilen wir die größere durch die kleinere Zahl und notieren den Rest:

\dfrac{140}{42} = 3 \text{Rest} \mathbf{14}

Nun bilden wir den Quotienten aus dem Nenner und dem Rest:

\dfrac{42}{14} = 3 \text{Rest} \mathbf{0}

Diesen Schritt wiederholen wir, falls nötig, solange, bis wir den Rest 0 erhalten.

Der größte gemeinsame Teiler ist stets der Nenner des letzten Rechenschritts. In unserem Fall also die 14.

Es gilt: \text{ggT}(42, 140) = 14

Größter gemeinsamer Teiler – weitere Beispiele

Wir wollen nun noch ein Beispiel mit mehr als zwei Zahlen und die Anwendung des größten gemeinsamen Teilers in der Bruchrechnung betrachten.

\text{ggT} von mehreren Zahlen

Gesucht ist der größte gemeinsame Teiler von 12, 48 und 60.

Wir führen eine Primfaktorzerlegung der Zahlen durch:

  • 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
  • 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3
  • 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

Aus den gemeinsamen Primfaktoren 2, 2 und 3 ergibt sich: \text{ggT}(12, 48, 60) = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12.

Es ist auch möglich, den größten gemeinsamen Teiler von mehr als zwei Zahlen schrittweise zu bestimmen. Die Reihenfolge ist dabei nach den Rechenregeln vom \text{ggT} frei wählbar:

zwei Zahlen drei oder mehr Zahlen
\text{ggT}(a, b) = \text{ggT}(b, a) \text{ggT}(a, b, c) = \text{ggT}(\text{ggT}(a, b), c) = \text{ggT}(a, \text{ggT}(b, c)) = \text{ggT}(b, \text{ggT}(a,c))

Bruchrechnung mit dem \text{ggT}

In der Bruchrechnung kann der größte gemeinsame Teiler beim Kürzen von Brüchen genutzt werden. Dazu ermitteln wir den \text{ggT} von Zähler und Nenner und kürzen den Bruch mit dem \text{ggT}. Da wir so direkt mit der größtmöglichen Zahl kürzen, erhalten wir einen vollständig gekürzten Bruch als Ergebnis.

Beispiel: \dfrac{18}{30}

Wir bestimmen den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner mit der Primfaktorzerlegung:

  • 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3
  • 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

\Rightarrow \quad \text{ggT}(18, 30) = 2 \cdot 3 = 6

Wir kürzen den Bruch mit 6 und erhalten:

\dfrac{18 : 6}{30 : 6} = \dfrac{3}{5}

Dieser Bruch kann nun nicht weiter gekürzt werden, wir sagen auch: Er ist vollständig gekürzt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Größter gemeinsamer Teiler (\text{ggT})

Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen ist die größte natürliche Zahl, durch die beide Zahlen ohne Rest teilbar sind. Allgemein kann der größte gemeinsame Teiler auch für drei oder mehr Zahlen angegeben werden.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten den größten gemeinsamen Teiler zu finden, zum Beispiel anhand der Teilermengen, mit einer Primfaktorzerlegung oder durch den Euklidischen Algorithmus.

Der größte gemeinsame Teiler kann beispielsweise als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren berechnet werden.

Wenn der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen 1 ist, so werden die Zahlen als teilerfremd bezeichnet.

Eine schnelle Methode, den größten gemeinsamen Teiler zu ermitteln, ist die  Primfaktorzerlegung. Der größte gemeinsame Teiler ist dann das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.