Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation einfach erklärt

Lerne, wie das Kommutativgesetz dir in der Mathematik hilft, Summanden und Faktoren zu vertauschen, ohne das Ergebnis zu ändern. Entdecke Anwendungen in Brüchen, Matrizen und Mengen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Kommutativgesetz

Das Quiz zum Thema: Kommutativgesetz

Was besagt das Kommutativgesetz der Addition?

Frage 1 von 5

Wo gilt das Kommutativgesetz?

Frage 2 von 5

Was ist das Kommutativgesetz der Multiplikation?

Frage 3 von 5

Für welche Rechenart gilt das Kommutativgesetz?

Frage 4 von 5

Wann darf man das Kommutativgesetz anwenden?

Frage 5 von 5

Das Kommutativgesetz im Überblick

  • Das Kommutativgesetz heißt auch Vertauschungsgesetz, weil es erlaubt, Summanden oder Faktoren in einem Term zu vertauschen.

  • Das Kommutativgesetz gilt bei der Addition und Multiplikation.

  • Neben dem Kommutativgesetz gibt es auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz als wichtige Gesetze für die Grundrechenarten.

Kommutativgesetz: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

Rechengesetze in der Mathematik – Kommutativgesetz

Die wichtigsten Rechenregeln in Mathe heißen Gesetze. Zu ihnen gehören zum Beispiel das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz ebenso wie das Kommutativgesetz, das wir hier genauer betrachten wollen.

Der Name Kommutativgesetz hat die Bedeutung Vertauschungsgesetz vom lateinischen Verb commutare, was „vertauschen“ bedeutet. Im Folgenden wird erklärt, was wir wo vertauschen dürfen.

Kommutativgesetz der Addition – Definition

Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass wir bei einer Summe die Summanden vertauschen dürfen, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

a + b = b + a

Auf einen formalen Beweis für das Kommutativgesetz der Addition wollen wir verzichten und uns dafür seine Gültigkeit mit der folgenden Darstellung veranschaulichen.

Kommutativgesetz: Beweis

Wenn wir 2 + 3 rechnen, erhalten wir das gleiche Ergebnis wie bei der Rechnung mit den vertauschten Summanden 3 + 2. Beide Rechnungen haben das Ergebnis 5.

Kommutativgesetz der Multiplikation – Definition

Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass wir bei einem Produkt die Faktoren vertauschen dürfen, ohne dass sich dabei das Ergebnis verändert.

a \cdot b = b \cdot a

Auch das können wir uns an einem Beispiel veranschaulichen:

3 \cdot 2 = 6 und 2 \cdot 3 = 6

Kommutativgesetz – Subtraktion und Division

Für die Subtraktion und Division gilt das Kommutativgesetz dagegen nicht. Hier ändert sich das Ergebnis einer Aufgabe in der Regel durch eine Vertauschung:

5 - 2 = 3, aber 2 - 5 = -3

8 : 2 = 4, aber 2 : 8 = \dfrac{1}{4} = 0,25

 Unterschied – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz

Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten beide bei der Addition und Multiplikation. Dabei besagt das Assoziativgesetz, dass sich das Ergebnis nicht ändert, wenn Klammern gesetzt werden, es wird auch Klammergesetz genannt. Nach dem Kommutativgesetz bleibt das Ergebnis einer Rechnung gleich, wenn Summanden oder Faktoren vertauscht werden, es wird auch Vertauschungsgesetz genannt.

Betrachten wir mögliche Berechnungen von 7 + 5 + 3:

Assoziativgesetz:
(7 + 5) + 3 = 12 + 3 = 15
7 + (5 + 3) = 7 + 8 = 15

Kommutativgesetz:
7 + 5 + 3 = 12 + 3 = 15
7 + 3 + 5 = 10 + 5 = 15
5 + 3 + 7 = 8 + 7 = 15

Kommutativgesetz – Anwendungen und Beispiele

Allgemein sind Elemente einer Rechnung kommutativ, wenn ihr Vertauschen das Ergebnis nicht ändert. Dafür gibt es verschiedene Anwendungen, die wir hier kurz mit ein paar Beispielen betrachten wollen.

Kommutativgesetz bei Termen

Das Kommutativgesetz gilt auch bei der Addition und Multiplikation von Termen.

Beispiel:
\begin{array}{rcccccccc} 2x + 3y - x + y & = & 2x & + & 3y & + & (-x) & + & y \\ & = & 2x & + & (-x) & + & 3y & + & y \\ & = & & x & & + & & 4y & \\ \end{array}

Kommutativgesetz bei Brüchen

Auch die Addition und Multiplikation von Brüchen ist kommutativ. Oft kannst du hier durch das Vertauschen geschickt kürzen oder leichter einen gemeinsamen Nenner finden.

Beispiel:
\begin{array}{rcccccl} \frac{1}{4} + \frac{5}{18} + \frac{5}{12} & = & \frac{1}{4} & + & \frac{5}{12} & + & \frac{5}{18} \\ & = & \frac{3}{12} & + & \frac{5}{12} & + & \frac{5}{18} \\ & = & & \frac{8}{12} & & + & \frac{5}{18} \\ & = & & \frac{4}{6} & & + & \frac{5}{18} \\ & = & & \frac{12}{18} & & + & \frac{5}{18} = \frac{17}{18} \end{array}

Da Prozentzahlen als Brüche oder Dezimalzahlen dargestellt werden können, gilt das Kommutativgesetz folglich auch in der Prozentrechnung.

Kommutativgesetz bei Matrizen

Bei Matrizen gilt das Kommutativgesetz der Addition, die Matrizenmultiplikation ist aber nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind die Multiplikation von Matrizen mit Skalaren und das Skalarprodukt von Vektoren.

Beispiel Kommutativgesetz beim Skalarprodukt:
\left(\begin{array}{c} 3\\ 2\\ -1 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 5 \end{array}\right) = 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 5 = 3 - 4 - 5 = -6
\left(\begin{array}{c} 1\\ -2\\ 5 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3\\ 2\\ -1 \end{array}\right) = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 + 5 \cdot (-1) = 3 - 4 - 5 = -6

Kommutativgesetz bei Mengen

Für Mengen gilt das Kommutativgesetz bezüglich Schnitt und Vereinigung:

A \cap B = B \cap A
A \cup B = B \cup B

Hingegen ist die Differenz von Mengen nicht kommutativ. Wir betrachten ein Gegenbeispiel zum Beweis, dass das Kommutativgesetz bei der Differenz von Mengen nicht gilt:

Bei den Mengen A = \{1, 2, 3\} und B = \{3, 4\} liefern die Differenzen unterschiedliche Mengen:

A \setminus B = \{1, 2\}
B \setminus A = \{4\}

Häufig gestellte Fragen zum Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz gilt bei der Addition und bei der Multiplikation.

Das Kommutativgesetz für Addition und Multiplikation lautet:
a + b = b + a
a \cdot b = b \cdot a

Das Kommutativgesetz besagt, dass die Summanden einer Addition oder die Faktoren einer Multiplikation vertauscht werden können. Das Ergebnis der Rechnung bleibt nach der Vertauschung unverändert.

Das Kommutativgesetz gilt bei der Addition und Multiplikation von reellen Zahlen.
Bei Mengen sind der Schnitt und die Vereinigung kommutativ. Bei Matrizen kann das Kommutativgesetz bei der Addition sowie der Multiplikation mit Skalaren angewendet werden. Außerdem gilt es beim Skalarprodukt von Vektoren.

Das Kommutativgesetz der Multiplikation lautet:
a \cdot b = b \cdot a

Für die Subtraktion gilt das Kommutativgesetz nicht. Es ist aber möglich, eine Differenz in eine Summe umzuschreiben und dann das Kommutativgesetz der Addition anzuwenden.
Beispiel: 3 - 1 = 3 + (-1) = -1 + 3 = 2

Um das Kommutativgesetz anzuwenden, vertauschen wir die Summanden einer Addition oder die Faktoren einer Multiplikation. Das Ergebnis der Rechnung bleibt gleich.

Drei wichtige Rechengesetze der Mathematik sind das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz.

Beim Assoziativgesetz können Klammern gesetzt werden, um die Reihenfolge der Berechnung zu ändern. Das Kommutativgesetz erlaubt es im Unterschied dazu, die Summanden oder Faktoren zu vertauschen.

Das Kommutativgesetz darf bei der Addition und bei der Multiplikation verwendet werden. 

Das Kommutativgesetz der Addition lautet:
a + b = b + a

Das Kommutativgesetz darf bei der Addition und bei der Multiplikation verwendet werden. 

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