Rotationskörper – Herleitung und Beispiele zu Volumen und Oberfläche

Ein Rotationskörper ist in Mathe einfach erklärt ein Körper, der durch Drehung einer Fläche um eine Rotationsachse entsteht. Der Schwerpunkt eines Rotationskörpers liegt auf der Rotationsachse.
Beispielsweise entsteht durch Rotation eines Rechtecks um eine Seitenfläche ein Zylinder. Wird ein rechtwinkliges Dreieck um eine seiner Katheten rotiert, ergibt sich ein Kegel.

Oberflächeninhalt und Volumen eines Rotationskörpers, der sich aus einfachen Körpern wie zum Beispiel Zylindern und Kegeln zusammensetzt, können mit den Formeln für diese Körper berechnet werden. Dabei wird der Rotationskörper für die Volumenberechnung in leicht zu berechnende Teilkörper zerlegt. Bei der Bestimmung der Oberfläche muss zudem beachtet werden, welche Flächen der Teilkörper gegenseitig überdeckt werden. 

Rotationskörper, die uns im Alltag zum Beispiel in Form von Vasen oder Flaschen begegnen, können häufig nicht so einfach in bekannte Körper zerlegt werden. Wie wir für solche Rotationskörper Volumen und Oberfläche mithilfe von Integralen berechnen können, betrachten wir im Folgenden.

Rotationskörper können durch Rotation eines Funktionsgraphen um die -Achse beschrieben werden. Dabei wird das Flächenstück, das der Funktionsgraph in einem Intervall mit der -Achse einschließt, rotiert. Der Funktionsgraph entspricht dann dem Verlauf der Außenkontur eines Querschnitts.
Ist der Funktionsterm des rotierenden Graphen bekannt, kann das rotierende Flächenstück durch Integration bestimmt werden. Auch die Formeln für das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers enthalten ein Integral.

Wir wollen die Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, auch Rotationsvolumen genannt, allgemein herleiten. Dazu betrachten wir folgenden Körper, der sich durch Rotation des Graphen einer Funktion im Intervall um die -Achse ergibt.

Quelle sofatutor.com

Wir nähern das Volumen des Rotationskörpers, indem wir das Intervall in fünf gleich große Abschnitte unterteilen. Für jeden Abschnitt wählen wir einen Zylinder der Höhe , dessen Radius dem Funktionswert an der unteren Grenze des Abschnitts entspricht.

Jeder dieser fünf Zylinder hat dann das Volumen:

Das Volumen des Rotationskörpers können wir folgendermaßen als Summe schreiben:

Dabei erhalten wir eine immer genauere Näherung, je feiner wir das Intervall unterteilen. Für gleich große Teilstücke erhalten wir:

Wir bilden den Grenzwert für und erhalten für das Volumen:

Den Faktor schreiben wir zuletzt vor das Integral und erhalten für das Rotationsvolumen:

Die Oberfläche eines Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion um die -Achse im Intervall entsteht, setzt sich im Allgemeinen aus einer Grundfläche, einer Deckfläche und der Mantelfläche zusammen. Es gilt:

• Grundfläche:
• Deckfläche:
• Mantelfläche:
• Oberfläche:

Die Grund- und Deckfläche sind dabei Kreise, deren Radien den Funktionswerten an den Intervallgrenzen entsprechen. Auf eine Herleitung der Formel für die Mantelfläche des Rotationskörpers wollen wir an dieser Stelle verzichten. Sie kann durch eine Zerlegung des Intervalls und eine anschließende Grenzwertbetrachtung erfolgen. Dabei sind die Teilkörper Kegelstümpfe.

Wir betrachten den Rotationskörper der linearen Funktion im Intervall , dessen Volumen wir nun auf zwei Arten berechnen können.

• Der Körper ist ein Kegel mit der Höhe und dem Radius der Grundfläche . Die Länge der Mantellinie ist . Damit erhalten wir:
  
  
• Das Rotationsvolumen der Funktion im Intervall ist:
  
  Für die Oberfläche ergibt sich mit :
  

Wir erhalten mit beiden Ansätzen ein Volumen von und eine Oberfläche von .
Hinweis: Bei einem Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche zwischen zwei Funktionen entsteht, müssen die Rotationsvolumen beider Funktionsgraphen zunächst einzeln bestimmt und dann subtrahiert werden. Es ist nicht zulässig, die Differenz der Funktionen in die Formel für das Rotationsvolumen einzusetzen, da dies aufgrund des Quadrats zu einem falschen Ergebnis führt.