Funktionen im Überblick

  • Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnet.
  • Die Rechenvorschrift, mit der jedem x ein y zugeordnet wird, nennen wir Funktionsgleichung.
  • Ein Paar aus einem x-Wert und dem dazugehörigen y-Wert wird Wertepaar genannt.
  • Der Graph einer Funktion stellt die Menge aller Wertepaare einer Funktion grafisch dar.

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Quelle sofatutor.com

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Funktionen – einfach erklärt

Funktionen ordnen jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Es handelt sich nicht um eine Funktion, wenn ein x-Wert zwei oder mehr y-Werte besitzt.
Jedem Element aus der Definitionsmenge \mathbb{D} (x-Werte) wird also eindeutig ein Element aus der Wertemenge \mathbb{W} (y-Werte) zugeordnet. Funktionen stellen somit eine Beziehung zwischen zwei Mengen dar.

f: x \mapsto y mit x \in \mathbb{D} und y \in \mathbb{W}

Dabei bezeichnet y den Funktionswert an einer Stelle x. Deswegen wird y auch geschrieben als f(x) (ausgesprochen: f von x). Die Rechenvorschrift, mit der sich zu jedem x-Wert der dazugehörige y-Wert berechnen lässt, heißt Funktionsgleichung.

Mathematische Funktion – Beispiel: f(x) = y = 2 \cdot x + 8

Der Funktionswert y ist immer abhängig von x. Daher wird x als unabhängige Variable und y als abhängige Variable bezeichnet.

Definitionsbereich von Funktionen
Die Menge an Werten, die für x in die Funktionsgleichung eingesetzt werden dürfen, wird Definitionsbereich (Definitionsmenge) \matbb{D} genannt.

Wertebereich von Funktionen
Die Menge aller y-Werte, die eine Funktion annehmen kann, wird als Wertebereich (Wertemenge) \mathbb{W} bezeichnet.

Funktionswert berechnen
Der Funktionswert ist immer einem x-Wert zugeordnet. Setzt man für das x in der Funktion eine Zahl aus der Definitionsmenge ein, erhält man den zugehörigen Funktionswert.

Beispiel: f(x) = 2 \cdot x + 8

Wir wollen den Funktionswert für x=4 berechnen. Dafür setzen wir 4 für x in die Funktionsgleichung ein und berechnen f(x):

f(4) = 2 \cdot 4 + 8 = 16

Funktionsgraph – Definition

Durch Anwendung der Funktionsgleichung ergeben sich Wertepaare bestehend aus einem x-Wert und dem zugehörigen Funktionswert y.

Beispiel: Das Wertepaar (4 \vert 16) ist Teil der Funktion f(x) = 2 \cdot x + 8.

Diese Wertepaare können in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Zeichnest du mehrere Wertepaare ein und verbindest ihre Punkte miteinander, erhältst du den Funktionsgraphen. Funktionsgraphen sind die grafischen Darstellungen von Funktionen, umfassen also die Menge aller Wertepaare einer Funktion.

Beispiel: Der Funktionsgraph von f(x) = 2 \cdot x + 8 verläuft durch die Punkte

  • (0 \vert f(0)) = (0 \vert 8),
  • (4,\!5 \vert f(4,\!5)) = (4,\!5 \vert 17),
  • (7 \vert f(22)) = (7 \vert 22) und
  • (9 \vert f(9)) = (9 \vert 26).
Funktionen graphisch darstellen

Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen

Jede Funktion verläuft anders, es gibt jedoch verschiedene Punkte, die eine Funktion haben kann, die sie charakterisiert. Die wichtigsten sind:

  • Nullstellen: Punkte, an denen der Graph der Funktion die x-Achse schneidet. Der Funktionswert ist an diesen Punkten null: f(x)=0. Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen besitzen.
  • y-Achsenabschnitt: Punkt, an dem der Graph der Funktion die y-Achse schneidet. x beträgt an diesen Punkten null: f(0). Eine Funktion kann die y-Achse maximal einmal schneiden.
  • Maximum: höchster Punkt des Graphen der Funktion und damit größter y-Wert der Funktion
  • Minimum: tiefster Punkt des Graphen der Funktion und damit kleinster y-Wert der Funktion

Eigenschaften von Funktionen

Funktionen besitzen verschiedene Eigenschaften, die sie definieren. Die wichtigsten Eigenschaften sind:

  • der Definitions- und Wertebereich, 
  • die charakteristischen Punkte des Funktionsgraphens,
  • Monotonie, Periodizität und Symmetrie des Funktionsgraphens und
  • die Grenzwerte der Funktion.

Funktionsarten

Es gibt viele verschiedene Arten von Funktionen, die alle unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Im Folgenden werden verschiedene Funktionstypen, ihre Funktionsgraphen und besondere Merkmale aufgezeigt. Dies bietet eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und ihre Graphen.

Lineare Funktionen
In linearen Funktionen kommt x nur mit der Potenz eins vor. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade im Koordinatensystem. Die Funktionsgleichung lautet allgemein:

f(x) = mx + b

Dabei ist:

  • m: die Steigung
  • b: der y-Achsenabschnitt
lineare Funktion

Quadratische Funktionen
In quadratischen Funktionen kommt x^2 als höchste Potenz vor. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung lautet:

f(x) = ax^2 + bx + c

Quadratische Funktionen

Der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel wird als Scheitelpunkt S bezeichnet. Quadratische Funktionen können neben der allgemeinen Form auch in der Scheitelpunktform f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e geschrieben werden. Die Formen lassen sich ineinander umwandeln.

Potenzfunktionen
Alle Funktionen der Form f(x) = x^n gehören zu den Potenzfunktionen. Dabei ist der Exponent n stets eine ganze Zahl.
Ihr grafischer Verlauf unterscheidet sich je nachdem, ob sie einen positiven, negativen, geraden oder ungeraden Exponenten haben.

Potenzfunktion

Potenzfunktionen mit negativem Exponenten können auch als Brüche geschrieben werden:
f(x) = x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}
Bei geradem Exponenten verläuft der Graph oberhalb der x-Achse, bei ungeradem Exponenten liegt der Graph für negative x-Werte unterhalb der x-Achse.

Hinweis: Potenzfunktionen mit positivem Exponenten gehören auch zu den ganzrationalen Funktionen. Solche mit negativem Exponenten gehören auch zu den gebrochen rationalen Funktionen.

Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktion) haben in ihrer Funktionsgleichung immer ein Polynom der Form:
f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
mit n \in \mathbb{n}, a_i \in \mathbb{R} und a_n \neq 0
Der höchste vorkommende Exponent n gibt den Grad des Polynoms an.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion besitzt maximal so viele Nullstellen wie der Grad der Funktion. Hier siehst du ein Beispiel für eine ganzrationale Funktion dritten Grads mit drei Nullstellen.

ganzrationale Funktion

Gebrochen rationale Funktion
Bei gebrochen rationalen Funktionen besteht die Funktionsgleichung aus einem Bruch mit Polynomen im Zähler und Nenner. Sie haben die allgemeine Form:
f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_2 x^2 + a_1 x + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + … + b_2 x^2 + b_1 x + b_0}
Je nach Zählergrad und Nennergrad unterscheiden sich die Graphen der gebrochen rationalen Funktionen. Für Nullstellen des Nennerpolynoms q(x) ist die Funktion nicht definiert. Der Graph hat hier senkrechte Asymptoten.

Der Graph der einfachsten gebrochen rationalen Funktion f(x) = \frac{1}{x} ist hier dargestellt. Er wird auch Hyperbel genannt.

Graph gebrochenrationale Funktion

Exponentialfunktionen
Hat eine Funktion die Form f(x) = a^x, handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Die Variable x steht hierbei im Exponenten. Bei Exponentialfunktionen bildet die x-Achse eine Asymptote.

Exponentialfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Basis e und wird auch e-Funktion genannt.

Logarithmusfunktion
Hat eine Funktion die Form f(x) = \log_{a} (x), handelt es sich um eine Logarithmusfunktion. Bei Logarithmusfunktionen bildet die y-Achse die Asymptote des Funktionsgraphen.

Logarithmusfunktion

Trigonometrische Funktionen
Die drei trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion \sin(x), die Cosinusfunktion \cos(x) und die Tangensfunktion \tan(x). Sie alle verlaufen periodisch.

trigonometrische Funktionen

Betragsfunktion und Signum-Funktion
Wie weit eine Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null entfernt ist, wird durch die Betragsfunktion f(x) = \vert x \vert angegeben. Sie wird unter anderem zur Abstandsberechnung genutzt und besteht aus zwei Halbgeraden, die sich im Ursprung treffen.
Die Signum-Funktion ist die Ableitung der Betragsfunktion. Sie wird auch als Vorzeichenfunktion bezeichnet, da sie das Vorzeichen einer Zahl angibt. Der Wertebereich umfasst nur die Zahlen -1, 0 und 1: \mathbb{W} = \{-1; 0; 1\}. Die Funktion besitzt im Ursprung einen Sprung, ist dort also nicht stetig. Aus diesem Grund spricht man auch von der abschnittsweise definierten Funktion. Es gilt:

sgn(x) = \begin{cases} ~~1 ~\text{für}~ x > 0 \\ ~~0 ~\text{für}~ x = 0 \\ -1 ~\text{für}~ x < 0 \end{cases}

Veränderung von Grundfunktionen – Mathe

Durch verschiedene Parameter kann eine Grundfunktion modifiziert werden. Dadurch kann sich auch der Definitions- oder der Wertebereich ändern. Funktionen können verschoben, gestreckt, gestaucht oder gespiegelt werden.

Betrachten wir die quadratische Funktion f(x) = x^2 als Grundfunktion.

Verschiebung in y-Richtung

Um eine Funktion in Richtung der y-Achse, also nach oben oder nach unten, zu verschieben, wird der Parameter e zur Funktion addiert.

f(x) + e

Dabei gilt:

  • Wenn e positiv ist, verschiebt sich der Funktionsgraph um e Einheiten nach oben.
  • Wenn e negativ ist, verschiebt sich der Funktionsgraph um e Einheiten nach unten.

Beispiel
Der Graph der Funktion f(x) = x^2 - 3 ist im Vergleich zur Normalparabel x^2 um 3 Einheiten nach unten verschoben.

Verschiebung in x-Richtung

Um eine Funktion in Richtung der x-Achse, also nach rechts oder nach links, zu verschieben, wird der Parameter d direkt in die Funktionsgleichung eingefügt.

f(x+d)

Dabei gilt:

  • Wenn d positiv ist, verschiebt sich der Funktionsgraph um d Einheiten nach links.
  • Wenn d negativ ist, verschiebt sich der Funktionsgraph um d Einheiten nach rechts.

Beispiel
Der Graph der Funktion f(x) = (x+2)^2 ist im Vergleich zur Normalparabel um 3 Einheiten nach rechts verschoben.

Verschiebung von Funktionsgraphen

Streckung und Stauchung von Funktionsgraphen

Wird ein Funktionsgraph gestreckt, bedeutet das, dass er steiler verläuft. Gestauchte Funktionsgraphen verlaufen weniger steil. Beides wird durch den Parameter a beeinflusst.

a \cdot f(x)

Dabei gilt:

\vert a \vert > 1: Der Funktionsgraph wird gestreckt.
\vert a \vert < 1: Der Funktionsgraph wird gestaucht.

Beispiel
Der Graph der Funktion f(x) = 2x^2 ist im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, ist also schmaler und verläuft steiler.

Spiegelung von Funktionsgraphen

Funktionen können an der y-Achse gespiegelt werden. Wird x mit -1 multipliziert, wird die Funktion an der y-Achse gespiegelt:

f(-x)

Bei achsensymmetrischen Funktionen verändert sich der Verlauf des Graphen nicht, da gilt: f(-x) = f(x).

Beispiel
Der Graph der Funktion f(x) = -x + 3 ist im Vergleich zum Graph der Funktion f(x) = x + 3 an der y-Achse gespiegelt.

Funktionen können auch an der x-Achse gespiegelt werden. Dann entsteht eine neue Funktion. Ist der Vorfaktor a negativ, wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt:

-f(x)

Beispiel
Der Graph der Funktion f(x) = - x^2 ist im Vergleich zur Normalparabel an der x-Achse gespiegelt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, in der x nur mit der Potenz eins vorkommt. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion hat die Form f(x) = mx + b. Der Graph einer linearen Funktion verläuft als Gerade im Koordinatensystem.
Der Definitionsbereich umfasst alle Werte, die für x in die Funktionsgleichung eingesetzt werden können.
Funktionen besitzen je nach Art der Funktion verschiedene Eigenschaften. Bei allen wird jedoch jedem x-Wert aus der Definitionsmenge genau ein y-Wert aus dem Wertebereich zugeordnet.

Es existieren viele verschiedene Arten von Funktionen. Die wichtigsten sind: 

  • ganzrationale Funktionen wie
    • lineare Funktionen und 
    • quadratische Funktionen,
  • gebrochen rationale Funktionen,
  • Exponentialfunktionen,
  • Logarithmusfunktionen und 
  • trigonometrische Funktionen.

Mithilfe einer Wertetabelle lassen sich Funktionen einfach in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Die Funktionsgleichung ist die Rechenvorschrift, mit der jedem x genau ein y zugeordnet werden kann.
Der Grad einer ganzrationalen Funktion entspricht dem höchsten Exponenten und x, der in der Funktion vorkommt. Somit kann der Grad direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden.