Trigonometrische Funktionen – Übersicht

Erfahre, wie trigonometrische Funktionen den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen in Dreiecken beschreiben. Die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen sind hier die Hauptakteure. Lerne mehr über Eigenschaften, Ableitungen, Verschiebungen und das Zeichnen von trigonometrischen Funktionen!

Inhaltsverzeichnis zum Thema Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen im Überblick

  • Die trigonometrischen Funktionen geben den Zusammenhang zwischen Seitenverhältnissen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken an.

  • Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion \sin(x), die Cosinusfunktion \cos(x) und die Tangensfunktion \tan(x).

  • Alle drei Funktionen verlaufen periodisch und können durch verschiedene Parameter gestreckt, gestaucht oder verschoben werden.
  • Periodische Vorgänge werden in den Naturwissenschaften durch trigonometrische Funktionen beschrieben.
Trigonometrische Funktionen: Lernvideo

Quelle sofatutor.com

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Trigonometrische Funktionen – einfach erklärt

Die trigonometrischen Funktionen (auch Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen genannt) beschreiben den Zusammenhang zwischen Längenverhältnissen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken. Sie können als Längen im Einheitskreis veranschaulicht werden. Dabei wird der Winkel häufig durch die zugehörige Bogenlänge angegeben.

Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen sind in den Naturwissenschaften die grundlegenden Funktionen, um periodische Vorgänge zu beschreiben.
Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion, die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion.

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den drei Winkeln \alpha, \beta und \gamma (\gamma = 90^\circ) lauten die Formeln für die trigonometrischen Funktionen:

\sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \alpha}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{a}{c}
\cos \alpha = \dfrac{\text{Ankathete von} ~ \alpha}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{b}{c}
\tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \alpha}{\text{Ankathete von} ~ \alpha} = \dfrac{a}{b}

\sin \beta = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \beta}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{b}{c}
\cos \beta = \dfrac{\text{Ankathete von} ~ \beta}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{a}{c}
\tan \beta = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \beta}{\text{Ankathete von} ~ \beta} = \dfrac{b}{a}

Rechtwinkliges Dreieck

Trigonometrische Funktionen – Eigenschaften

Die trigonometrischen Funktionen sind durch bestimmte Eigenschaften charakterisiert. Im Folgenden werden Periode, Definitions– und Wertebereich sowie Nullstellen und die Symmetrie der trigonometrischen Funktionen genannt.
Im Rahmen einer Kurvendiskussion können zusätzlich noch die Extremstellen, die Monotonie, die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten der trigonometrischen Funktionen anhand der Ableitung bestimmt werden. 

Sinusfunktion

Die wichtigsten Eigenschaften der Sinusfunktion f(x) = \sin(x) sind:

  • Periode: p = 2\pi
  • Definitionsbereich: \mathbb{D} = \mathbb{R}
  • Wertebereich: \mathbb{W} = \bigl[ -1; 1 \bigr]
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 \vert 0)
  • Nullstellen: x_k = k \cdot \pi mit k \in \mathbb{Z}
  • Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung (\sin(-x) = -\sin(x))
  • Allgemeine Form: f(x) = a \sin(b(x - c)) + d
Sinusfunktion - Eigenschaften

Cosinusfunktion

Die wichtigsten Eigenschaften der Cosinusfunktion f(x) = \cos(x) sind:

  • Periode: 2\pi
  • Definitionsbereich: \mathbb{D} = \mathbb{R}
  • Wertebereich: \mathbb{W} = \bigl[ -1; 1 \bigr]
  • Schnittpunkt mit der y-Achse: (0 \vert 1)
  • Nullstellen: x_k = (2k-1) \cdot \frac{\pi}{2} mit k \in \mathbb{Z}
  • Symmetrie: achsensymmetrisch zum Ursprung (\cos(x) = \cos(-x))
  • Allgemeine Form: f(x) = a \cos(b(x - c)) + d
Cosinusfunktion Eigenschaften

Tangensfunktion

Die wichtigsten Eigenschaften der Tangensfunktion f(x) = \tan(x) sind:

  • Periode: \pi
  • Definitionsbereich: \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus\{(2k-1) \cdot \frac{\pi}{2} \vert k \in \mathbb{Z}\}
  • Wertebereich: \mathbb{W} = \mathbb{R}
  • Nullstellen: x_k = k \cdot \pi mit k \in \mathbb{Z}
  • Symmetrie: punktsymmetrisch zum Ursprung (\tan(-x) = -\tan(x))
trigonometrische Funktionen

Der Tangens entspricht dem Quotienten aus Sinus und Cosinus:

\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}

Trigonometrische Funktionen verschieben

Die Parameter c und d in der allgemeinen Form der Funktionsgleichung sorgen für eine Verschiebung des Funktionsgraphen. Dabei gilt:

  • Wenn c positiv ist, wird der Graph nach links verschoben.
  • Wenn c negativ ist, wird der Graph nach rechts verschoben.
  • Wenn d positiv ist, wird der Graph nach oben verschoben.
  • Wenn d negativ ist, wird der Graph nach unten verschoben.

Hinweis: Durch eine Verschiebung nach links oder rechts können die Graphen der Sinus- und Cosinusfunktion direkt aufeinander abgebildet werden. Es kann also jede Sinusfunktion durch eine entsprechend verschobene Cosinusfunktion dargestellt werden und umgekehrt.
Zudem werden die Graphen aller trigonometrischen Funktionen durch eine Verschiebung um ein Vielfaches der Periodenlänge stets wieder auf sich selbst abgebildet, da sich die Funktionswerte periodisch wiederholen.

Die Parameter a und b bewirken eine Streckung oder Stauchung des Funktionsgraphen.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Für die Ableitungen der Sinus- und Cosinusfunktion gilt:

\begin{array}{lcl} f(x) = \sin(x)& \Rightarrow & f^{\prime}(x) = \cos(x)\\ f(x) = \cos(x) & \Rightarrow & f^{\prime}(x) = - \sin(x) \\ f(x) = - \sin(x) & \Rightarrow & f^{\prime}(x) = - \cos(x)\\ f(x) = - \cos(x) & \Rightarrow & f^{\prime}(x) = \sin(x)\\ \end{array}

Die Ableitung des Tangens ist etwas komplizierter:

\begin{array}{rcl} \Bigl(\tan(x)\Bigr)^\prime &=& \dfrac{1}{\cos^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} \\ \\ &=& \dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \left(\dfrac{ \sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 \\ \\ &=& 1 + \tan^2(x) \end{array}

Auch über die Quotientenregel kann die Ableitung des Tangens bestimmt werden, da er der Quotient aus Sinus und Cosinus ist:

\Bigl(\tan(x)\Bigr)^\prime = \left(\dfrac{sin(x)}{\cos(x)}\right)^\prime = \dfrac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \dfrac{1}{\cos^2(x)}

Hier wurde jeweils der Zusammenhang, dass die Summe aus dem Sinus ins Quadrat und dem Cosinus ins Quadrat immer 1 ergibt, verwendet:

\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1

Rechnen mit trigonometrischen Funktionen

Beim Lösen von Aufgaben zu trigonometrischen Funktionen mit dem Taschenrechner muss beachtet werden, ob die Winkel in Grad oder im Bogenmaß gegeben oder gefragt sind. Das Bogenmaß ist dabei das Verhältnis zwischen der Bogenlänge, die ein Winkel umfasst, und dem Radius eines Kreises. Im Taschenrechner sind diese beiden Einheiten abgekürzt mit \textbf{Deg} (Grad) und \textbf{Rad} (Bogenmaß).
Dabei entspricht ein voller Kreis einem Winkel von 360^\circ sowie einer Bogenlänge von 2\pi.

Trigonometrische Funktionen bestimmen

Ist nicht vorgegeben, ob es sich um eine Sinus- oder Cosinusfunktion handelt, kannst du frei wählen, ob du von Sinus oder Cosinus ausgehen willst. Im Anschluss werden die Parameter der Funktion bestimmt.

Allgemeine Form beim Sinus: a \cdot \sin(b\cdot(x -c))+d

  • Parameter a: halbe Differenz der y-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte
  • Parameter b: b = \frac{2\pi}{p} mit Periodenlänge p (Abstand zwischen zwei benachbarten Hoch- oder zwei benachbarten Tiefpunkten)
  • Parameter c: Phasenverschiebung (Abstand des ersten Wendepunkts (Sinusfunktion) oder Hochpunkts (Cosinusfunktion) zu x=0) in x-Richtung
  • Parameter d: Verschiebung der Funktion in y-Richtung

Der Funktionsterm der trigonometrischen Funktion wird aufgestellt, indem die bestimmten Werte für die Parameter in die allgemeine Form der Funktionsgleichung eingesetzt werden.

Trigonometrische Funktionen zeichnen

Eine trigonometrische Funktion lässt sich am besten zeichnen, indem zunächst die charakteristischen Punkte der Funktion zusammengetragen werden. Wichtige Punkte sind:

  • der Schnittpunkt mit der y-Achse,
  • die Nullstellen,
  • die Hoch- und Tiefpunkte.

Um diese Punkte korrekt zu bestimmen, ist es wichtig, die Periode und die Amplitude der Funktion zu kennen.
Sind alle diese Eigenschaften der Funktion bestimmt, können die charakteristischen Punkte im Koordinatensystem eingezeichnet und zu einem Funktionsgraphen verbunden werden. Schauen wir uns dafür die folgende Beispielfunktion an:

f(x) = 3 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{2}) - 1 = 3 \cdot \sin(1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{2}))) -1

Wir lesen daraus für die einzelnen Parameter ab:

\begin{array}{lcl} a = 3& \Rightarrow & \text{Amplitude vergrößert sich zu}~ 3.\\ b = 1 & \Rightarrow & \text{Periode bleibt unverändert}~(p = 2\pi). \\ c = -\frac{\pi}{2} & \Rightarrow & \text{Graph der Funktion ist um}~\frac{\pi}{2}~\text{nach links verschoben}.\\ d = -1 & \Rightarrow & \text{Graph der Funktion ist um}~1~\text{nach unten verschoben}.\\ \end{array}

Mit einer Verschiebung des Graphen verschieben sich auch der Schnittpunkt mit der y-Achse, die Nullstellen und die Hoch- und Tiefpunkte. Die folgende Tabelle gibt die charakteristischen Punkte dieser trigonometrischen Funktion im Intervall [0;2\pi] an.

f(x) = 3 \cdot \sin(x + \frac{\pi}{2}) - 1
Schnittpunkt mit der y-Achse \bigl(0 \vert {-}4\bigr)
Nullstellen x_1 = \frac{\pi}{2}
x_2 = \frac{2\pi}{3}
Hochpunkte HP = \bigl(\pi \vert 2\bigr)
Tiefpunkte TP_1 = \bigl(0 \vert -4\bigr)
TP_2 = \bigl(2\pi \vert -4\bigr)

Diese Punkte können nun im Koordinatensystem markiert und zum Graph der Funktion verbunden werden.

Wichtig: Bei Tangensfunktionen müssen die Definitionslücken beachtet werden. An diesen Stellen hat der Graph der Funktion senkrechte Asymptoten. Eine Tangensfunktion der Form f(x) = \tan(x) ist unter anderem an den Stellen x = \frac{\pi}{2} und x= \frac{2}{3} \pi nicht definiert. Das bedeutet, bei diesen x-Werten kann eine senkrechte Linie als Hilfslinie eingezeichnet werden. Der Graph der Tangensfunktion nähert sich dieser Hilfslinie nur an, berührt sie jedoch nicht. Der Graph einer Tangensfunktion ist also keine durchgehende Linie.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen beschreiben den Zusammenhang zwischen Seitenverhältnissen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken. Sie werden auch genutzt, um periodische Vorgänge z. B. in der Physik zu veranschaulichen.

Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion, die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion.

Für einen Winkel \alpha sind die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen definiert als:

  • \sin \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \alpha}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{a}{c},
  • \cos \alpha = \dfrac{\text{Ankathete von} ~ \alpha}{\text{Hypothenuse}} = \dfrac{b}{c} und
  • \tan \alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete von} ~ \alpha}{\text{Ankathete von} ~ \alpha} = \dfrac{a}{b}

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