Proportionale und antiproportionale Zuordnung – Definition, Formeln und Beispiele
Erfahre, wie proportionale Funktionen das Wachstum beschreiben und wie antiproportionale Funktionen eine indirekte Beziehung darstellen. Entdecke die Formeln, Graphen und Beispiele für beide Arten von Zuordnungen. Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
Inhaltsverzeichnis zum Thema Proportionale und antiproportionale Zuordnung
Proportionale und antiproportionale Zuordnung im Überblick
Quelle sofatutor.com
Proportionale Funktion – Definition und Formel
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem 
-Wert einen eindeutigen 
-Wert zuordnet. beschreibt dabei die unabhängige und die abhängige Variable.
Wachsen – und -Wert im gleichen Verhältnis, kannst du von einer proportionalen Zuordnung sprechen. Wie du dieses Verhältnis anhand der Wertetabelle sowie der Steigung erkennen kannst, lernst du im Folgenden.
Wertetabelle proportionale Funktion
Jede Zuordnung kann mithilfe einer Wertetabelle dargestellt werden. Dabei findest du in der linken Spalte die -Werte und in der rechten Spalte die zugehörigen -Werte beziehungsweise 
.
Stell dir vor, du gehst in einen Supermarkt und möchtest Gummibärchen für dich und deine Freunde kaufen. Eine Tüte kostet 
, zwei Tüten entsprechend 
, drei Tüten 
und so weiter. Diesen Sachverhalt kannst du in eine Wertetabelle eintragen.
| Anzahl Gummibärchentüten () |
Preis ( bzw. ) |
|---|---|
 |
|
 |
|
 |
|
| … | … |
Der Preis steigt im gleichen Verhältnis wie die Anzahl der Tüten. Verdoppelt sich die Anzahl der Tüten, verdoppelt sich auch der Preis. Verdreifacht sich die Anzahl der Tüten, verdreifacht sich auch der Preis etc.
Proportionale Funktion – Gleichung und Graph
Jede proportionale Funktion kann durch eine Funktionsgleichung der Art 
dargestellt werden. Proportionale Funktionen sind demnach lineare Funktionen, die durch den Ursprung verlaufen. Du weißt bereits, dass die Anzahl der gekauften Gummibärchentüten und den zugehörigen Preis beschreibt.
ist die Steigung des Funktionsgraphen. Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, entspricht die Steigung dem Proportionalitätsfaktor und kann mit der Formel
berechnet werden.
Für 
wäre dann 
. Für das Steigungsdreieck am Funktionsgraphen würde das bedeuten, dass du pro Einheit nach rechts drei Einheiten nach oben gehst. Hier siehst du den Graphen der proportionalen Funktion .
Auch für die anderen Wertepaare aus der Tabelle erhalten wir den gleichen Wert für die Steigung:
: 
: 
Die Steigung und somit das Verhältnis von Funktionswert und dem zugehörigen -Wert ist konstant. Diese Eigenschaft von proportionalen Zuordnungen heißt Quotientengleichheit.
Proportionale Funktionen werden auch als direkt proportionale Zuordnungen bezeichnet und es gilt: Je mehr von der einen Größe, desto mehr von der anderen Größe. Also beispielsweise je mehr Gummibärchen du kaufst, desto mehr musst du bezahlen.
Proportionale Funktion – Beispiel
Lisa möchte ihren Geburtstag mit 
Freundinnen und Freunden im Freizeitpark feiern. Letztes Jahr hat sie mit 
Freundinnen und Freunden im gleichen Freizeitpark gefeiert und 
für die Eintrittskarten bezahlt. Wie viel muss sie dieses Jahr bezahlen? Beachte, dass sie selbst an ihrem Geburtstag keinen Eintritt bezahlen muss.
Da der zu zahlende Preis im gleichen Verhältnis wächst wie die Anzahl der Gäste, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung. Du weißt, dass der Preis für Gäste betrug. Um herauszufinden, wie viel du für Gäste zahlen musst, berechnest du zunächst, wie viel du für einen Gast zahlst, indem du den Preis durch teilst. Das Ergebnis von 
pro Gast multiplizierst du dann mit der gewünschten Anzahl der Gäste und erhältst so einen Gesamtpreis von 
.
| Anzahl Gäste () |
Preis |
|---|---|
|
|
|
|
|
|
| … | … |
Die passende Funktionsvorschrift für diese proportionale Zuordnung Preis pro Gast 
Gesamtpreis wäre 
.
Antiproportionale Funktion – Definition und Formel
Neben den proportionalen Funktionen gibt es auch antiproportionale Funktionen. Was die Antiproportionalität ausmacht, lernst du jetzt.
Wertetabelle antiproportionale Funktion
Proportionale und antiproportionale Funktionen kannst du in einer Wertetabelle darstellen, indem du die dir bekannten -Werte mit den zugehörigen -Werten einträgst.
Lucia soll ihr Zimmer aufräumen und benötigt dafür allein 
. Hilft ihr großer Bruder mit, benötigen sie 
und mit der Hilfe ihrer Mutter reichen zu dritt 
.
| Personenzahl () |
Benötigte Zeit () |
|---|---|
|
|
|
|
|
|
| … | … |
Mit der doppelten Anzahl an Helfern halbiert sich also die benötigte Zeit. Es gilt: Je mehr Leute helfen, desto weniger Zeit wird benötigt.
Antiproportionale Zuordnungen werden auch als indirekt proportional bezeichnet.
Antiproportionale Funktion – Funktionsgleichung und Graph
Auch antiproportionale Funktionen lassen sich mithilfe einer Funktionsgleichung darstellen. Im Gegensatz zur proportionalen Funktion hat der Funktionsgraph nicht die Form einer Geraden, sondern ist eine Hyperbel.
Die benötigte Zeit zum Aufräumen des Zimmers lässt sich mit der Funktionsgleichung 
berechnen.
Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt die Produktgleichheit mit 
, wobei p der Antiproportionalitätsfaktor ist. Für das obige Beispiel wäre 
und somit:
Das Produkt aus und bleibt immer gleich.
Antiproportionale Funktion – Beispiel
Stephan hat eine Pizza, die in 
Stücke geschnitten ist. Isst er diese allein, hat er alle Stücke für sich. Teilt er mit einer Freundin, hat jeder von ihnen Stücke. Möchte auch sein Bruder noch etwas von der Pizza haben, bleiben für jeden Stücke Pizza.
Darstellen lässt sich dieser Sachverhalt durch die Funktion 
.
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Die folgende Tabelle fasst die Unterschiede zwischen proportionalen und antiproportionalen Funktionen zusammen.
| Proportionale Funktion | Antiproportionale Funktion | |
|---|---|---|
| alternative Bezeichnung | direkt proportionale Zuordnung | indirekt proportionale Zuordnung |
| Funktionsgleichung |  |
 |
| Proportionalitätsfaktor |  |
 |
| Merkhilfe | je mehr, desto mehr | je mehr, desto weniger |
Häufig gestellte Fragen zum Thema Proportionale und antiproportionale Zuordnung
Eine proportionale Funktion ist eine Funktion, deren Funktionswert im gleichen Verhältnis wie der zugehörige -Wert wächst.
. Während lineare Funktionen nicht zwingend durch den Ursprung verlaufen müssen, verläuft jede proportionale Funktion durch den Ursprung. Lineare Funktionen müssen nicht proportional sein, aber jede proportionale Funktion ist eine lineare Funktion.Eine antiproportionale Funktion ist eine Funktion der Form , wobei p der Antiproportionalitätsfaktor ist.
Ob eine Funktion proportional ist, erkennst du daran, dass – und – Wert im gleichen Verhältnis wachsen. Mit einer Verdopplung des -Werts geht eine Verdopplung des -Werts einher. Genauso verhält es sich mit Verdreifachung, Vervierfachung etc.
Nein, nicht jede Funktion ist proportional. Proportionale Funktionen sind eine Sonderform der linearen Funktionen.
Das Gegenteil von proportional ist antiproportional. Zuordnungen können aber auch weder proportional noch antiproportional sein.
Eine Proportion bezeichnet in der Mathematik eine Verhältnisgleichung, die Größen in Beziehung zueinander setzt.
Einen antiproportionalen Dreisatz berechnest du, indem du den -Wert durch den Wert teilst, mit dem du den -Wert multiplizierst.
Direkte Proportionalität bezeichnet eine proportionale Zuordnung.
Eine proportionale Funktion erkennt man daran, dass – und – Wert im gleichen Verhältnis wachsen. Mit einer Verdopplung des -Werts geht eine Verdopplung des -Werts einher. Genauso verhält es sich mit Verdreifachung, Vervierfachung etc.
Eine proportionale Funktion hat einen linearen Funktionsgraphen, während die antiproportionale Funktion als Hyperbel dargestellt ist.
Eine nicht proportionale Zuordnung ist eine Zuordnung, deren Größen nicht im gleichen Verhältnis wachsen. Ein Beispiel für nicht proportionale Zuordnungen ist die antiproportionale Zuordnung. Im Gegensatz zur proportionalen Zuordnung gilt „je mehr, desto weniger“.