Exponentielles Wachstum – Definition, Erklärung und Beispiele

Das Wachstum beschreibt die Zu- oder Abnahme einer bestimmten Größe mit der Zeit. Ein exponentielles Wachstum besteht, wenn sich die Größe in festen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor verändert. Die anschauliche Bedeutung des Begriffs „exponentiell“ schauen wir uns an einigen Beispielen zum exponentiellen Wachstum an.

Die Algenfläche auf einem See wird mit der Zeit immer größer. Zu Beginn der Beobachtung betrug sie Quadratmeter. Jede Woche verdreifacht sich die mit Algen bewachsene Fläche. Wir können ermitteln, wie sich die Algenfläche verändert, indem wir den Wert der Vorwoche jeweils mit drei multiplizieren:

Bei diesem exponentiellen Wachstum liegt eine Verdreifachung vor. Pro Woche multiplizieren wir die Fläche also mit dem Faktor . Dieser Faktor wird auch Wachstumsfaktor des exponentiellen Wachstums genannt.

Auch beim Thema Zinsen kann uns exponentielles Wachstum begegnen:
Wird das Kapital auf einem Konto beispielsweise jährlich mit verzinst, ist der Wachstumsfaktor dieses exponentiellen Wachstums:

Wir können die Bedeutung des exponentiellen Wachstums in diesem Fall folgendermaßen erklären: Das Kapital verändert sich jedes Jahr um den Faktor . Das heißt, wir müssen das Kapital des Vorjahrs immer mit multiplizieren, um den neuen Kontostand zu erhalten. Da das Kapital so jeweils um die Zinsen ansteigt, stellt die Zinseszinsrechnung exponentielles Wachstum dar.

Auch wenn wir im Allgemeinen vom exponentiellen Wachstum sprechen, können die gleichen Zusammenhänge auch bei einer Abnahme vorliegen. Es handelt sich dann gewissermaßen um negatives exponentielles Wachstum, auch exponentieller Zerfall genannt.

Radioaktive Stoffe zerfallen beispielsweise exponentiell: Von eines radioaktiven Präparats zerfallen jährlich . In diesem Fall bedeutet exponentiell einfach erklärt, dass die Stoffmenge jährlich um den gleichen Faktor abnimmt.
Der Faktor ist hier:

Es sind also nach einem Jahr immer noch der Menge aus dem Vorjahr vorhanden. Die Definition von exponentiell ist hier erfüllt, da sich die Stoffmenge in festen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor verändert.

Wir verwenden in Mathe für exponentielles Wachstum verschiedene Darstellungen. Dazu betrachten wir eine Bakterienkultur. Zu Beginn der Messungen seien Bakterien vorhanden. Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich stündlich. Das Wachstum in diesem Beispiel ist exponentiell, der Wachstumsfaktor beträgt , da eine Verdopplung vorliegt.

Die Basis der Formel des exponentiellen Wachstums ist die Exponentialfunktion. Wir können ein exponentielles Wachstum durch den folgenden Funktionsterm beschreiben:

Dabei ist die Zeit, der Anfangsbestand bei und der Wachstumsfaktor. Bereits am Wachstumsfaktor lässt sich erkennen, ob es sich um einen exponentiellen Wachstumsvorgang oder exponentiellen Zerfall handelt. Es gilt:

• exponentielle Zunahme
• exponentielle Abnahme

Beim Bakterienwachstum ist der Anfangsbestand und der Wachstumsfaktor ist . Die Funktion, die dieses exponentielle Wachstum beschreibt, lautet:

Dabei gibt die Anzahl der Bakterien nach Stunden an.

So können wir beispielsweise für dieses exponentielle Wachstum berechnen, wie viele Bakterien nach Stunden vorhanden sind, indem wir in die Gleichung einsetzen:

Nach Stunden lautet die Berechnung des exponentiellen Wachstums für die Bakterienanzahl:

Wir können die Formel des exponentiellen Wachstums auch umstellen, um beispielsweise aus gegebenen Größen den Anfangsbestand zu ermitteln. Wir gehen von und aus:




Es ergibt sich die bereits bekannte Anfangspopulation von Bakterien.

Exponentielles Wachstum kann auch mithilfe einer Tabelle dargestellt werden. Eine Tabelle zum Beispiel des Bakterienwachstums sieht für die ersten vier Stunden wie folgt aus:

Auch mithilfe dieser Tabelle ist exponentielles Wachstum leicht erklärt: Die Anzahl der Bakterien verändert sich in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Faktor, hier jede Stunde um den Wachstumsfaktor .

Wir können exponentielles Wachstum auch grafisch darstellen. Dabei sieht der Kurvenverlauf des exponentiellen Zusammenhangs beim Bakterien-Beispiel wie folgt aus.

Quelle sofatutor.com

Ist der Zusammenhang exponentiell, wird die Steigung des Graphen für zunehmende Zeiten immer größer und die Kurve damit steiler.
Bei einer Abnahme ist die Kurve exponentiell fallend. Die Steigung wird dabei immer kleiner und die Kurve flacht immer weiter ab.

Häufig betrachtet wird auch der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
Ist die Zunahme exponentiell, nimmt die Steigerung pro Zeiteinheit immer weiter zu, während sie bei linearem Wachstum konstant bleibt. Dies wird auch deutlich, wenn wir die Graphen vergleichen: exponentiell oben und linear unten:

Beim exponentiellen Wachstum verändert sich der Bestand in festen Zeitabständen um einen konstanten Faktor, bei linearem Wachstum verändert sich der Bestand hingegen stets um einen konstanten Wert.