Exponentielles Wachstum – Definition, Erklärung und Beispiele

Eine Größe verändert sich in festen Zeitabständen um den gleichen Faktor. Beispiele sind Bakterienwachstum, Zinseszins und radioaktiver Zerfall. Lerne die Formel, Grafiken und den Unterschied zu linearem Wachstum kennen. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.

Inhaltsverzeichnis zum Thema Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum im Überblick

  • Die Definition exponentiellen Wachstums ist, dass sich eine Größe in festen Zeitabständen um den gleichen Faktor verändert.

  • Beispiele für exponentielles Wachstum sind Bakterienwachstum, Zinseszins oder der Zerfall radioaktiver Stoffe.
  • Die Funktionsgleichung des exponentiellen Wachstums lautet N(t) = N_0 \cdot b^t mit Anfangsbestand N_0 und Wachstumsfaktor b.

  • Der Graph des exponentiellen Wachstums ist eine Kurve.
  • Im Unterschied zu linearem Wachstum verändert sich beim exponentiellen Wachstum eine Größe in festen Zeitabständen immer um den gleichen Faktor, nicht um einen konstanten Wert.

Exponentielles Wachstum: Lernvideo

Quelle: sofatutor.com

Exponentielles Wachstum einfach erklärt

Das Wachstum beschreibt die Zu- oder Abnahme einer bestimmten Größe mit der Zeit. Ein exponentielles Wachstum besteht, wenn sich die Größe in festen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor verändert. Die anschauliche Bedeutung des Begriffs „exponentiell schauen wir uns an einigen Beispielen zum exponentiellen Wachstum an.

Exponentielles Wachstum – Beispiel aus dem Alltag

Die Algenfläche auf einem See wird mit der Zeit immer größer. Zu Beginn der Beobachtung betrug sie 30 Quadratmeter. Jede Woche verdreifacht sich die mit Algen bewachsene Fläche. Wir können ermitteln, wie sich die Algenfläche verändert, indem wir den Wert der Vorwoche jeweils mit drei multiplizieren:

Zeit / Wochen 0 1 2 3
Fläche / Quadratmetern 30 90 180 540

Bei diesem exponentiellen Wachstum liegt eine Verdreifachung vor. Pro Woche multiplizieren wir die Fläche also mit dem Faktor 3. Dieser Faktor wird auch Wachstumsfaktor des exponentiellen Wachstums genannt.

Zinseszins als Beispiel exponentiellen Wachstums

Auch beim Thema Zinsen kann uns exponentielles Wachstum begegnen:
Wird das Kapital auf einem Konto beispielsweise jährlich mit 2\, \% verzinst, ist der Wachstumsfaktor dieses exponentiellen Wachstums:

100\,\% + 2\,\% = 102\,\% = 1,02

Wir können die Bedeutung des exponentiellen Wachstums in diesem Fall folgendermaßen erklären: Das Kapital verändert sich jedes Jahr um den Faktor 1,02. Das heißt, wir müssen das Kapital des Vorjahrs immer mit 1,02 multiplizieren, um den neuen Kontostand zu erhalten. Da das Kapital so jeweils um die Zinsen ansteigt, stellt die Zinseszinsrechnung exponentielles Wachstum dar.

Beispiel exponentielle Abnahme

Auch wenn wir im Allgemeinen vom exponentiellen Wachstum sprechen, können die gleichen Zusammenhänge auch bei einer Abnahme vorliegen. Es handelt sich dann gewissermaßen um negatives exponentielles Wachstum, auch exponentieller Zerfall genannt.

Radioaktive Stoffe zerfallen beispielsweise exponentiell: Von 10~\text{g} eines radioaktiven Präparats zerfallen jährlich 15\,\%. In diesem Fall bedeutet exponentiell einfach erklärt, dass die Stoffmenge jährlich um den gleichen Faktor abnimmt.
Der Faktor ist hier:

100\,\% - 15\,\% = 85\,\% = 0,85

Es sind also nach einem Jahr immer noch 85\,\% der Menge aus dem Vorjahr vorhanden. Die Definition von exponentiell ist hier erfüllt, da sich die Stoffmenge in festen Zeitabschnitten immer um den gleichen Faktor verändert.

Darstellung exponentiellen Wachstums

Wir verwenden in Mathe für exponentielles Wachstum verschiedene Darstellungen. Dazu betrachten wir eine Bakterienkultur. Zu Beginn der Messungen seien 20 Bakterien vorhanden. Die Anzahl der Bakterien verdoppelt sich stündlich. Das Wachstum in diesem Beispiel ist exponentiell, der Wachstumsfaktor beträgt 2, da eine Verdopplung vorliegt.

Exponentielles Wachstum – Formel

Die Basis der Formel des exponentiellen Wachstums ist die Exponentialfunktion. Wir können ein exponentielles Wachstum durch den folgenden Funktionsterm beschreiben:

N(t)= N_0 \cdot b^t

Dabei ist t die Zeit, N_0 der Anfangsbestand bei t=0 und b der Wachstumsfaktor. Bereits am Wachstumsfaktor b lässt sich erkennen, ob es sich um einen exponentiellen Wachstumsvorgang oder exponentiellen Zerfall handelt. Es gilt:

  • b > 0 \quad \Rightarrow \quad exponentielle Zunahme
  • b < 0 \quad \Rightarrow \quad exponentielle Abnahme

Beim Bakterienwachstum ist der Anfangsbestand N_0 = 20 und der Wachstumsfaktor ist b = 2. Die Funktion, die dieses exponentielle Wachstum beschreibt, lautet:
N(t) = 20 \cdot 2^t
Dabei gibt N(t) die Anzahl der Bakterien nach t Stunden an.

So können wir beispielsweise für dieses exponentielle Wachstum berechnen, wie viele Bakterien nach 5 Stunden vorhanden sind, indem wir t = 5 in die Gleichung einsetzen:
N(5) = 20 \cdot 2^5 = 640
Nach t = 10 Stunden lautet die Berechnung des exponentiellen Wachstums für die Bakterienanzahl:
N(10) = 20 \cdot 2^{10} = 20,480
Wir können die Formel des exponentiellen Wachstums auch umstellen, um beispielsweise aus gegebenen Größen den Anfangsbestand zu ermitteln. Wir gehen von b = 2 und N(3) = 160 aus:
160 = N_0 \cdot 2^3
160 = N_0 \cdot 8 \quad |:8
160:8 = N_0
20=N_0
Es ergibt sich die bereits bekannte Anfangspopulation von N_0 = 20 Bakterien.

Exponentielles Wachstum – Tabelle

Exponentielles Wachstum kann auch mithilfe einer Tabelle dargestellt werden. Eine Tabelle zum Beispiel des Bakterienwachstums sieht für die ersten vier Stunden wie folgt aus:

Zeit / Stunden 0 1 2 3 4
Anzahl 20 40 80 160 320

Auch mithilfe dieser Tabelle ist exponentielles Wachstum leicht erklärt: Die Anzahl der Bakterien verändert sich in gleichen Zeitintervallen um den gleichen Faktor, hier jede Stunde um den Wachstumsfaktor b = 2.

Exponentielles Wachstum – Graph

Wir können exponentielles Wachstum auch grafisch darstellen. Dabei sieht der Kurvenverlauf des exponentiellen Zusammenhangs beim Bakterien-Beispiel wie folgt aus.

Grafische Darstellung des exponentiellen Wachstums

Quelle sofatutor.com

Ist der Zusammenhang exponentiell, wird die Steigung des Graphen für zunehmende Zeiten immer größer und die Kurve damit steiler.
Bei einer Abnahme ist die Kurve exponentiell fallend. Die Steigung wird dabei immer kleiner und die Kurve flacht immer weiter ab.

Vergleich zwischen exponentiellem und linearem Wachstum

Häufig betrachtet wird auch der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
Ist die Zunahme exponentiell, nimmt die Steigerung pro Zeiteinheit immer weiter zu, während sie bei linearem Wachstum konstant bleibt. Dies wird auch deutlich, wenn wir die Graphen vergleichen: exponentiell oben und linear unten:

Exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum verändert sich der Bestand in festen Zeitabständen um einen konstanten Faktor, bei linearem Wachstum verändert sich der Bestand hingegen stets um einen konstanten Wert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum verändert sich eine Anfangsgröße in festen Zeitabständen um den gleichen Faktor.

Beim exponentiellen Wachstum werden sehr schnell sehr große Werte erreicht. Der Grund dafür ist, dass die Veränderung immer um einen festen Faktor erfolgt.

Exponentielles Wachstum erkennt man daran, dass sich eine Größe in festen Zeitabständen um den gleichen Faktor verändert. Diese Erklärung exponentiellen Wachstums ist auch am Graphen erkennbar.

Der Begriff exponentiell bezieht sich auf die Veränderung einer Größe. Verändert sich die Größe in festen Zeitabständen um den gleichen Faktor, ist die Veränderung exponentiell.

Die Erklärung des Begriffs exponentiell bezieht sich auf die Veränderung einer Größe. Diese können wir mit einer Formel, einer Tabelle oder einem Graphen darstellen.

Ein Beispiel für exponentielles Wachstum ist ein Bakterienwachstum. Auch die Zunahme eines Kapitals durch Zinseszins ist exponentiell.

Die Steigung exponentiellen Wachstums lässt sich grafisch darstellen. Der Graph ist eine Kurve, bei der die Steigung mit zunehmenden x-Werten zunimmt.

Beim exponentiellen Wachstum wächst eine Größe in festen Zeitabständen immer um den gleichen Faktor. Beim linearen Wachstum wächst eine Größe in festen Zeitabständen immer um einen konstanten Wert.

Quadratische Funktionen sind nicht exponentiell, da hier der Anfangswert in festen Abständen quadriert wird. Bei exponentiellen Funktionen wird der y-Wert in festen Abständen um einen konstanten Faktor verändert.

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